知识讲解三角函数的概念

1、三角函数的概念【考纲要求】1 .了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化2 .会表示终边相同的角；会象限角的表示方法3 .理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊 角的三角函数值.4 .熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题【知识网络】三角函数的概念的概念的推广任息 角 的角 函同角三角函数的基正 弦、余 弦 的 诱 导 公【考点梳理】考点一、角的概念与推广1 .任意角的概念：正角、负角、零角2 .象限角与轴线角：与口终边相同的角的集合：P | P =2kn +a,k w Z第一象限角的集合： |2k二：二一

2、2k;:, k Z2JT第二象限角的集合： ： |万 2k二：二.：二二, 2k二，k三Z3 二第三象限角的集合： ： |二-2k-：二：< 2kn ,k Z23 二第四象限角的集合： ： | 2k二：二 <2： 2k：,k Z2终边在x轴上的角的集合： P | P = kn, k w Z终边在y轴上的角的集合：P | P = kn +E,k WZ2 - - k 二终边在坐标轴上的角的集合： ： | ：=,k Z2要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系考点二、弧度制1

3、.弧长公式与扇形面积公式：11 2弧长l = r ,扇形面积S扇形=lr = r2 a (其中r是圆的半径，«是弧所对圆心角的弧度数) 222.角度制与弧度制的换算：180'=n；1-rad 电0.01745rad; 1rad = (180).57.30，= 57立18' 180二要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式考点三、任意角的三角函数1 .定义：在角口上的终边上任取一点 P(x, y),记r = OP =Jx2 + y2贝Usin =,cos： =x,tan ： = , cot=,sec： = ,csC =.rrxyxy2 .三角函数线：

4、如图，单位圆中的有向线段 MP , OM , AT分别叫做灯的正弦线，余弦线，正切3.： | ：-4.三角函数的定义域：y =sin#kn+，kZ； y=cota 2三角函数值在各个象限内的符号:y = cosot的定义域是 a w R ； y = tana , y = sect的定义域是y = csca的定义域是ot似¥ kn , k W Z.Q0sin(x cscacosa secatana, cota要点诠释:三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、 三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握.利用定义求

5、三角函数值 时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题 形象直观地表达出来.有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等 问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用考点四、同角三角函数间的基本关系式1.平方关系:.22,sin 工cos - -1;2,2sec - -1 tan :;2,2csc =二1 cot 工.2.商数关系:sin ;tan 二二;cos -cot =二sin工3.倒数关系:tan j cot =二1;sin - csc - =

6、1; cos-：/sec； =1要点诠释:同角三角函数的基本关系主要用于:(1)已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值;(2)证明三角恒等式；(3)化简三角函数式.三角变换中要注意“ 1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如1 = sin2 a + cos2 a ,1 = sec2 a -tan2 a = tan 45' =| ,则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方 程思想的运用.考点五、诱导公式1.2kn+ot(k w Z), ot, n ±ot, 2n -口的三角函数值等于 口的同名三角函数值，前面加上一个把 豆看 成锐角时原函数值所在象限

7、的符号2. |-1a , 3( 土a的三角函数值等于 a的互余函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值所在象限的符号 要点诠释:诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为01 90,角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限(奇、偶指的是兀一的奇数倍、偶数倍)”这个口诀进行记2忆.【典型例题】类型一、角的相关概念例1.已知日是第三象限角，求角:的终边所处的位置.【答案】e是第二或第四象限角2【解析】方法一：二日是第三象限角，即2kn十几<2kn +2，kw Z ,2二 13 二.*二一：一：二 k二,k Z ,224二 r 3 二当 k =2n时

8、，2nn + < <2nn + ，n = Z ,224Q.是第二象限角，23二 二7 二当k=2n+1时，2门冗+<2门兀+，n=Z,2240是第四象限角,2是第二或第四象限角2方法二:0由图知：一的终边落在二，四象限2【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法.本题容易误认为2是第二象限角，其错误原因为认23 二 ，为第三象限角的范围是（叫）.解决本题的关键就是为了凑出22n的整数倍，需要对整数进行分类.（2）确定“分角”所在象限的方法：若日是第k （1、2、3、4）象限的角，利用单位圆判断*一，（n= N ） n是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧 n等份，并从

9、x正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4,再循环，直到填满为止，则有标号k的区域就是角 一（nW N ）终边所在的范围。n0如：k=3,如下图中标有号码 3的区域就是 一终边所在位置.2举一反三:e【变式1】已知e是第二象限角，求角的终边所处的位置.【答案】一是第一或第二或第四象限角3【解析】方法一：二日是第二象限角，即2陋+ 土 <曰<2kn +n,kw Z , 2k二二 k二2" ' 一 ：二一：二一2" - 一，k 二 Z ,36 3 33当 k=3n 时，2nn+< <2nn + ，k w Z , 6330.一是第一

10、象限角，3、，一一 5二 f _当 k=3n +1 时，2nn 十<一 <2nn+n，k = Z , 63.是第二象限角，3,3 二 二5 二当 k =3n+2时，2nn +<<2nn + ,k= Z , 2330一是第四象限角，30.一是第一或第二或第四象限角.3方法二：k=2,如下图中标有号码 2的区域就是 一终边所在位置.3由图知：士的终边落在一，二，四象限1cm）3【变式2】已知弧长50cm的弧所对圆心角为 200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到【答案】29cm.类型二、任意角的三角函数 例2.若sin日cos日0,则角日在 象限.【答案】第一或第三方法一：由

11、 sinHcosB >0 知（1） ISin">0 或（2） !sin"<0 cos10cos1 : 0LL由（1）知e在第一象P由（2）知日在第三象限, 所以-在第一或第三象限.方法二：由sin 8cos日0有sin2日0 ,所以 2k二：二 2.，二 2k以 +.g* Z ,即 k 二：二:k 二, 一 k Z 2当k=2n（nWZ）时，日为第一象限，当k = 2n+1（n w Z）时，日为第三象限故9为第一或第三象限.二 5711方法三：分别令&二二、二几、二以二n ,代入sin9 cos9 0 ,6 666.二 .7只有9 = 不、日=一几

12、满足条件,66所以日为第一或第三象限【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题举一反三：【变式1】确定tan(-3)sn5的符号.cosl【答案】原式小于零【解析】因为 7,5,1分别是第三、第四、第一象限的角，所以tan(-3)>0 , sin5<0, cos1>0,所以原式小于零【变式2】已知tana cosa >0,tan ;sin工【答案】二tan 二： 1一一 一. 一 .【解析】= =< 0 , .cosa < 0 , tana <0,则a是第二象限角.sin 二 cos ;sin x |cosx|

13、tanx【变式3】求+-L+的值.|sinx| cosx | tan x |【答案】当x为第一象限角时，值为3;当x为第二、三、四象限角时，值为 -1.例3.已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为射线4x + 3y = 0(x>0),则2sin a (sin a + cot« ) cosa的值是()A.15B.Z5C.85D.-5【解析】在角a的终边上任取一点 P(3, -4),则有r = 5 ,4 4398则原式=(一 + ) +*-=8 ,故选C.55-425 5举一反三:【变式】已知角 久的终边过点(a,2a)(a #0),求sin«、cos&#

14、171;、tan«的值【解析】r = a2 (2a)2 =、5 | a |(1)当 a >0时，r = V5a , .sina =5 cosa = , tana = 2 ；55(2)当 a<0时，r = J5a , .sina =25. 5, cos” = - , tana = 2.类型三、诱导公式352.例4.已知 cos(a)=,求 cos(-兀+ot)sin (口一一)的值. 63663522.【解析】cos(- 二：)-sin (: - -) = cos二-(-：)-sin -(一-二) 6666. 2 ''2 .=-cos( - ： ) sin

15、(-：) = - cos(- -二)-11 一cos (- -二)6666、-3.12 .31.333举一反三：【变式1】计算：sin 330，+cos240【答案】-1【解析】原式 =sin(360 : -30 ) cos(180+60 b = sin 30 ' cos60 c = 1n：it【变式2】化简sin(a -)十cos(a +).【答案】0冗【解析】原式=sin（： -） cosjijiji)=sin(: -) -sin(: - -) =0类型四、同角三角函数的基本关系式一 1-的值;例 5.已知 sin P +cos P=g，且 0<P<n.求 sinP c

16、os P、sin P - cos P入12【答案】-；25【解析】方法一:由 sin :=1 可得：sin2 P +2sin c cosB +cos2 P 525，即 1 2sin : cos :125，.,.sin : cos - - 1 251, sinPcos%-丝525 sin :cosP是方程x2112-x = 0的两根, 525sin -=-53cos -=-5sin ' =一3 5cosY5- 0 < P <n ,- sin P >0 ,4 : 3- sin P = , cosP sin P -cos : = 751一 一 2 - 一一- -2 -1方法

17、二：由 sin P+cos P =可得：sin P+2sin 口 cos P+cos P=,5251225一-1即 1 +2sin c cos 3 = , . .sin c cos P.0 < P <n , . .sin P >0 , - -cos P < 0 , sin P -cos P > 0由(sin P -cosP)2=1 -2sin : cos :彳 c 1249=12 =2525举一反三:【变式】已知sin :工4cos 工211 求+)V 222 sin 二 cos :的值.【答案】16【解析】由sina+cosa =可得: 2.2 一sin -一.21+ 2sin a cosa + cos * =1 + 2sin 久 cos« =;于是 sin : cos:,22sin - cos - 2 _2 _sin - cos -22sin - cos = 16.例6.已知2sina +cos。=0 ,求下列各式的值4sin : - 3cos -22(1) - ; (2) 2sin a -3sin a cosa -5cos a一1【解析】由 2sina +cosa =0得 tan =,(1)原式4sin 二一3cos ;cos：2sin 2: 5cos：4 tan