等比数列例题解析

1、等比数列例题解析【例1】 已知Sn是数列an的前n项和，Sn=Pn(p R, n N*)，那么 数列an. A 是等比数列B .当pz 0时是等比数列C .当pz 0, pz 1时是等比数列D .不是等比数列分析 由Sn= pn(n N*)，有ai=Si = p,并且当n2时，an=S n Sn-1= pn - pn-1 = (p - 1)pn-1pZ 0故a2 = (p- 1)p，因此数列a n成等比数列二p-1 z o(p-1)pn_p(p-1) (p-2p但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D.说明数列an成等比数列的必要条件是anz 0(n N*)，还要注意对任n N* , n2

2、, 旦都为同一常数是其定义规定的准确含义.【例2】an已知等比数列1, X, X2，X2n，2,求 x?卞彳X2n.T1, xX?,，X2n, 2成等比数列，公比 q.2 = 1 q2n+1X1X2X3 X2n = qq2 q3q2n=q1+2+3+2n2n(1+2n)n(2 n 1)q1【例3】等比数列a n中，(1)已知a2 = 4, a5 = - ?，求通项公式；(2)已知 a3 a4 a5 = 8，求 a2a3a4a5a6 的值.1解(1)a5 = a2q5 / q =-n _21、n-2=a?q= 4(-)=(2) - a3 a5 a4a3 a4 a5a3 =8又 a?a6 a4-a

3、2a3a4a5a6 = a4 = 32【例4】 已知a> 0, b>0且b,在a, b之间插入n个正数x, x?, xn，使得a, X, x?，,xn, b成等比数列，求证 n X/2 Xn V证明 设这n + 2个数所成数列的公比为 q,则b=aqn+1n 1 bqa n 卅二 n x1x2xn = n aqaq2aqn = aq 2a b=abv -2【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b- c)2 + (c- a)2 + (d- b)2(a- d)2.证法一 / a、b、c、d成等比数列a b Eb c d b2 ac, c2 bd, ad bc左边=b2- 2bc

4、+ c2 + c2 2ac+ a2 + d2- 2bd + b2=2(b2 ac) + 2(c2 bd) + (a2 2bc + d2)=a2 2ad+ d2=(a d)2 =右边证毕.证法二 Ta、b、c、d成等比数列，设其公比为q,则：b = aq, c= aq2, d=aq3左边=(aq aq2)2 + (aq2 a)2 + (aq3 aq)2=a2 2a2q3 + a2q6=(a aq3)2=(a d)2=右边证毕.说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法住了求证式中右边没有 b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的 c的路子.证法二则是把a、b、c、d统一化成

5、等比数列的基本元素a、决的.证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的 方法具有普遍性.【例6】求数列的通项公式：(1)a n中，ai = 2, an+1 = 3an+ 2(2)a 门中，ai=2,电=5 且 an+2 3an+1 + 2an = 0 思路：转化为等比数列.解(1)an+1 = 3an + 2 - an+1 + 1= 3(an + 1) a n +1是等比数列 an+ 1=3 3n-1an=3n 1(2)an+2 3an+1 + 2an =0= an+2 an+1 = 2(an+1 an) an+1 an是等比数列，即an+1 an=(a2 a1) 2n-1

6、 =3 2n-1再注意到 a2 a1=3 , a3 a2=3 21, a4 a3=3 - 22,，an an_1=3-是抓b、q去解-2n-2,这些等式相加，即可以得到2n-22 1n 1an = 31 + 2 + 2 + 2= 3 21= 3(2 1)说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知.(1)中发现an+ 1是等比数列，中发现a n+1 an是等比数列，这也是通常说的化归思想 的一种体现.2a2【例7】 若实数a1> a2、a3、a4都不为零，且满足(a： + a；)a； (a1 + a3)a4 + a； + a：=0求证：a1> a2、a3成等比数列，且公比为a

7、 证 T a、a?、玄3、均为不为零的实数(aj +a；)x2 2a2(a1 + a3)x+ a； +a3 = 0为实系数一兀次方程 等式(a2 + a2)a4 2a2 (a1 + a3)a4 + a2 + a： = 0说明上述方程有实数根a4. 上述方程的判别式 0,即2a2(a1 + a3)2 4(af + a；)(a； + a：)=4(a；玄诜)20(a2 aa3)w 0又 aa?、玄3为实数 (a； &旧3)2 > 0必有 a2 a1a3 = 0 即 a2 = a1a3因而、玄2、玄3成等比数列又 a4a2a12a2 (a1 ' a3)a2(a1 ' a3

8、)2 2 = 22( a1 a2)a1a1a3 a4即为等比数列a玄2、ag的公比.【例8】若a、b、c成等差数列，且 a+1、b、c与a、b、c+ 2都成等比数列，求b的值.解 设 a、b、c 分别为 b d、b、b+ d,由已知 b d+ 1、b、b+ d 与 b d、b、b + d+ 2都成等比数列，有b2 = (b d+ 1)(b + d)b2 = (b d)(b + d+ 2)整理，得b2 = b2 d2 + b + db2 = b2 d2 + 2b 2d b + d=2b 2d 即 b=3d 代入，得9d2=(3d d+ 1)(3d + d)9d2=(2d + 1) 4d解之，得d

9、=4或d=0(舍) b=12【例9】 已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d，又知d 工 1，且 a4=b4， al0=b 10:(1)求a1与d的值；(2)bi6是不是an中的项?思路：运用通项公式列方程a4 = b4(1)由 a10 = b身a1 + 3d = ad319a1 + 9d = a1d3a1 (1 d ) = 3d a1 (1 d9) = 9d=d6+ d3 2=0二 d1 =1(舍)或d2 =幼一2 ar = -d =论2(2) / b16=b1 d15= 32b1且 a4 = a1 + 3d = -23 2 = b4b4 = b1 d3 = 2b1 = 23 2-

10、切=&1 = "-：2- b16= 32b1 = 32a1，如果 b16 是an中的第 k 项，则32a=a + (k 1)d-(k 1)d= 33a =33d k=34即b16是an中的第34项.121【例10】设an是等差数列，5=()an，已知bi + b2 + b3 =-,281bib2b3 = -，求等差数列的通项.8解 设等差数列an的公差为d,则an=a + (n 1)d1 a 4（n J） d- bn = （） 1b1b3 =（1）j （；）a1+2d =（1）2（a1+d）由 b1b2b31 18，解得b2=11，解得b2 =2，代入已知条件b1b2b3bb

11、整理得*21814b1 + b3 = 171 3 8解这个方程组，得1 .，b3 =2b1 = 2， b3 =或b18二 a= 1， d=2 或 a=3， d= 2当 a = 1， d=2 时，an=a + (n 1)d=2n 3当 a=3， d=2 时，an=a + (n 1)d=5 2n【例11】三个数成等比数列，若第二个数加 4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.解法一按等比数列设三个数，设原数列为a，aq, aq2由已知：a，aq+ 4，aq2成等差数列即：2（aq+ 4）=a + aq2得：(a? + 4)2=ai(a3 + 32)a, aq+ 4,

12、 aq2 + 32成等比数列即：(aq+ 4)2=a(aq2 + 32)=aq+ 2 = 4a2la，两式联立解得：<=2或彳a =9(q=33 =521050这三数为：2 , 6, 18或=5999解法二按等差数列设三个数，设原数列为b d, b 4, b+ d由已知：三个数成等比数列即：(b 4)2=(b d)(b + d)二 8b d2 = 16b d, b, b + d + 32成等比数列即 b2=(b d)(b + d+ 32)二 32b d2 32d = 026b ='9fb= 10、两式联立，解得：，或<d =8Id = 8-3三数为 2 ,- 10 , 50

13、或2, 6, 18.999解法三任意设三个未知数，设原数列为a1, a2, a3由已知：a1，a2，a3成等比数列得：a； = a1 a3ai，a? + 4，a3成等差数列得：2(a? + 4)=a+ aga1，a2 + 4, a3 + 32成等比数列、式联立，解得:ai10950= 2或 a2 = 6a3 = 18-a3说明将三个成等差数列的数设为a-d, a, a+ d;将三个成等比数列的数设为a, aq, aq2（或-,a, aq）是一种常用技巧，可起到 q简化计算过程的作用.【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第

14、三个数的和是12,求这四个数.分析本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为a-d, a, a+ d,则第四个数由已知条2件可推得：也-a方法二设后三个数为b, bq, bq2，则第一个数由已知条件推得为2bbq.方法三 设第一个数与第二个数分别为x, y，则第三、第四个数依次为12- y, 16-x.由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一 设前三个数为a-d, a, a+ d,则第四个数为（a也.a依题意,有严-d+(a d)2a=16a+ (a+ d) = 12解方程组得:a1 = 4 或d1 =4=9d2 = 6所求四个数为：0, 4, 8,

15、 16或15, 9, 3, 1 .解法二 设后三个数为：b, bq, bq2，则第一个数为：2b- bqf2依题意有:2b bq + bq =16b+ bq = 12b=4乃2=9解方程组得：c或 1lqi=2q2=-所求四个数为：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1 .解法三 设四个数依次为 x, y, 12 y, 16 x.依题意有x + (12 y) = 2yy (16 - x) = (12 - y)2fx1 = 02 =15解方程组得：或“1=4$2=9这四个数为 0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1 .【例13】已知三个数成等差数列，其和为126;另外三个数成等比

16、数列， 把两个数列的对应项依次相加，分别得到85, 76, 84.求这两个数列.解 设成等差数列的三个数为 b d, b, b+ d，由已知，b d+ b + b+ d=126 b=42这三个数可写成 42 d, 42, 42 + d .再设另三个数为 a, aq, aq2.由题设，得a+ 42 d = 851 ap+ 42 = 76aq2 + 42 + d = 84a d = 43整理，得aq=342aq +d = 42解这个方程组，得a=17 或 a2=68当 a=17 时，q=2, d= 261当 a = 68时，q =, d = 252从而得到：成等比数列的三个数为17, 34 , 6

17、8,此时成等差的三个数为68, 42, 16;或者成等比的三个数为68, 34 , 17,此时成等差的三个数为17,42, 67.【例14】已知在数列an中，aa?、ag成等差数列，a?、电、成等比数列，玄3、aq、的倒数成等差数列，证明：aag、成等比数列.证明 由已知，有2a2=a + 电2 342 1 1=丰a4a3a5由,2a3 a5a3 + a52&1 +a3 =_ 22&3 a3a5a5 （ai + a2）a3 +a5a； + a3aaia5 + a3a5由，得92 = a<|a2代入，得整理，得a3即a3（a3+ a5）=a5（ai + a3）2a3 = ai a5所以a、a3、成等比数列.【例 15】 已知(b c)logmx+ (c a)logmy+ (a b)logmz=0.(1) 设a, b, c依次成等差数列，且公差不为零，求证： x, y, z成等比数 列.(2) 设正数x, y, z依次成等比数列，且公比不为1,求证：a, b, c成等差数列.证