行列式的计算方法-计算行列式的格式

1、行列式的计算方法摘要： 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组 , 行列式的计算是一个重 要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用 方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的 特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法， 而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。关键词 ： 行列式 矩阵 降阶The Methods of Determinant CalculationAbstract ：Solving multipl

2、e linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and the

3、n gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borro

4、w "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples . Keywords: determinant matrix reduction.1引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外，还在各种工程领域有着广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，所以说行

5、列式的计算是个重要的问题二阶行列式:a11a21ai2a22玄仆玄伐-玄12玄21 （1）3a11a12a13a21a22a23a31a32a33三阶行列式:-aiia22a33'ai2a23a3i' ai3a2ia3- ai3a22a3_aiia23a32-ai2a2ia33 由此可以看出二阶、三阶行列式计算结果的一些规律： 中每项都是三个数的乘积，并由行标与列标可以看出，这三个数分别取 自行列式的不同行与不同列； 式正好有6项，它恰好是1, 2, 3全排列的个数。0每项aq ,a2j2，a3j3前面的符号为（i）"j2j3），其中.（川23）为jjjs的逆序数。这

6、就是比较简单的采用对角线的方法计算行列式。在行列式的定义中，虽然计算结果的每一项是 n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中的n个元素（譬如an,ai2am）来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素，而n级行列式一共有n!项，计算它就需要做n!（n-1）个乘法。当n较大时，n!是一个相 当大的数字，直接从定义采用对角线法计算行列式几乎是不可能的事，本文依据行列式元素间的规律和行列式的性质总结了计算行列式几种常用和特殊的方 法。2. 计算行列式的常用方法2.1 利用行列式的定义直接计算根据行列式的定义Dn二送（T）"1" Jj a

7、1jla2jb anjn，可以利用行列式的定 jlj2 jn"义直接计算低阶稀疏行列式 例1.利用行列式的定义计算n阶行列式010000209999Dn =：:0 0 0 n-1n000解：根据行列式的定义，行列式展开后等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积，通过观察可知Dn的展开式中只有一个非零项12(n -1)n =n!,这一 项行标排列具有自然顺序排列，对应的列标排列为23n1，其逆序数为n-1, 故 Dn =(-1)心 n!当行列式的元素中有较多0时，可以利用定义法进行计算，但如果元素中出 现较多非0元素时，这种方法就不易求解。2.2 利用化为三角形的方法计算利用行列式的性

8、质把行列式通过一系列的变换转化成位于主对角线一侧的 元素全为零的行列式，这样得到的行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘n(n J)积。而对于非零元素位于次对角线的情形,行列式的值等于(-1) 2与次对角线19上所有元素的乘积。例2利用上三角形法计算n阶行列式Dn解：DnX1X1X1-XnX1X2X3=X1X2Xn-100-1Xn0n n 一扎iZ -17 Xi0= XiX2Xn0a0/l«2f-3X nX2X3Xn-10 001_1 a0i00 -1n 、=(1)"二洛乂2xZ -1 y Xi在例2中，行列式的每一行对应元素中包含有相同的元素， 这样使用化三角 形法较为简

9、便，但当行列式的元素不相同且无规律时， 计算量就会增加不少，此 时这种方法并不简单。2.3 利用降阶法计算行列式在计算行列式的时候可以根据行列式元素间的规律， 依据行列式的性质或行列式按行（列）展开定理，将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式来计算。若再继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶然后一直化为多个2阶行列式来计算例3.利用降阶法计算n阶行列式解：依据行列式按行（列）展开的定理，将Dn按第一行展开，即得:0Dn =a :0baa00baa000 00 0aaab0 aab0000ab00Dn =I-a-000abb000a0 00 0=an -baaa b0a然后将后面的行列式

10、按第一列展开，即得Dn =an -bb(-1) nnn 1 n=a (-1) b值得注意的是，根据行列式的性质利用降阶法时，应该将某行（列）元素尽 可能多地变成零，之后再按行（列）展开，这样计算才能体现出降阶法计算行列式的简便性，但是针对一些构造特殊的行列式，因为n阶行列式Dn的第i行构成的k级子式有C；个，故一般行列式只是能降阶而不能减少其计算量，这种方法往往无效。2利用降阶法可以计算行列式,那是不是也可以通过加边使其变成一个相等的n 1阶行列式呢?2.4镶边法一个n阶行列式aiia21ai2a22alna2n，女口果玄11玄1231n或玄11玄213n1中除了 311a n1an2a nn

11、外其余元素全为0,那么该行列式便可利用行列式按行（列）展开定理将其转化 为一个计算n-1阶行列式。反过来，也可以利用相同的方法把一个n阶行列式转 化为一个与之相等的n 1阶行列式，这就是镶边法。2.4.1镶边法解题步骤 通过加边（列）的方法把一个 n级行列式转化为一个与之相等的 n，1阶 行列式； 根据行列式的性质把添加进去的行（列）的适当的倍数加到其它行（列）使其它行（列）出现更多的0元素后再进行计算。2.4.2镶边的一般方式首行首列首行末列末行首列末行末列。当然也可以添加在行列式任意某一行与某一列的位置，但是等价变形后，总变成上述四种情况之一。例4利用镶边法计算n阶行列式iXiX2Xn0X

12、i +yiX2XnDn =0aXiX2 +ay2Xna0XiX2Xn"iXiX2Xn-iyi00-ia0-y2 4 0m-i00yn解:XiX2XnynX1Xn11-XiX2yiyn0yi000 y2am*XnxiyiXiX2X2y2XnXn(yyyn =0)00yn000rmynd $YiXn)Yn2.5 递推法递推法就是利用行列式元素间的规律，在 n阶与n -1阶（或更低阶）行列 式之间建立递推关系，再利用所得的关系式计算行列式的值。递推法主要是降阶 递推法，常见的有两种类型：i. Dn二LDn型；这时根据递推关系可推出关系式 Dn =LnDi2. Dn =pDn4 qDn/(n

13、 2, q =0) 型;这时可设、一：是方程x2-px-q=0的根，则由根与系数的关系可得=p,s0 =q，于是有：Dn- LDn4 = ： （Dn口）（I ）Dn - ：Dn4=(Dn4 -: Dn J若'，则由（I）和（U）得-0DJ- 02（D2 -辺1）Dn注意又由（I）和（U）递推可得Dn - D 2（D2 - 'Di）Dn _：Dn 厂 2（D2 -： Di）若：=：,贝U （ I ）和（u ）可变成 Dn -Dn_1 = : （Dnj - : Dn）,即Dn - ： Dn二:-2（。2 - ： Di）,故 DnDn八 © -：口）= ：（ Dn 二亠&q

14、uot;：nJ3（D2 -DJ） gn'（D2 ）=:-2DnN 2： 2（D2 - ： Di）=:2（： DnJ3 g2（D2 -：D） 2: 2（D2 - ： DJ=:3Dn j33：心© - ： DJ=以此类推，最后可得：D ： nJDi （n -1）： 2（D2 -： DJ例5利用递推法计算n阶行列式2i000i2i 000i2 00Dn =aa-0002i000i2解：由于Dn =2Dn4 - Dn,，则不妨设: > -是方程X2x 0的根，则:=-=10于是 Dn =in4Di （n -i）in'（D2 - Di） =（2 - n）D（n-i）。？2

15、 i其中：Dr =2,D2 =4_i=3 ；i 2所以：Dn = (2n) Dr (n 1)D2 =4-2n 3n = n 1即原式=n 1上面介绍的几种计算行列式的方法都是比较常用的，同时通过上面的例题分 析和解题过程可以发现，上述几种计算方法只是适用一些行列式较为简单和行列 式元素间具有明显规律的情况，而对于一些比较特殊或行列式元素间的关系隐藏 较深的行列式，就要通过其它的途径来解决问题，下面给出几种计算行列式的特 殊方法。3. 计算行列式的几种特殊方法3. 1矩阵法如果一个行列式的对应矩阵可以转化为两个矩阵的乘积，而且这两个矩阵所对应的行列式都比较容易计算，即可利用公式AB = A|B

16、计算出n阶行列式的值。例6利用矩阵法计算n阶行列式. n- n1 a1 bn1 - a1bn-d n n1 - b1 - ab1aDn解：该行列式的第i行第j列元素可化为1 ai bj =1 aibj a2b2a/b,1 - aiajn -1.n -1bjZ,2 (1, ai , ai ,nV,ai )1bjbj2所以该行列式可转化为两个矩阵乘积的行列式，即aia2a3ana2n -4b1a3an1b1b121b2b22n-1b21b3b32n-1bs1bnbn2n-1bn1a12a1nJ.a1111 b11a22a2 nJ.a2bb2b3bn1aa3-2a3anJ.b;2b2a2bsa2bn

17、a1an2an nlanb,nAb3b nJLMnn(ajaj n(bj -bi) = naj(bj-b)1 1:j m:jm1 岂:j m3.2分离线性因子法3.2.1分离线性因子法分离线性因子法就是把行列式看成含有一个或一些字母的多项式，将它变 换，如果它可被一些因子互素的线性因子所整除，同时它也可被这些因子的积所整除，就可将行列式的某些项与线性因子的项进行比较，继而找出多相式的所有 因子，然后用这些因子的乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。3.2.2 一般的解题思路如果行列式Dn有些元素是某一变量(参数)的多项式，不妨设此变量为a， 那么可将该行列式Dn看作关于a的多项式f(a)，

18、然后找出因子互素的线性因子 g(a),h(a)，即 f (ah(a) g(a);辺在h(a)和g(a)中选出一个特殊项进行比较，如果 g(a)与f(a)的次数相 等，就用待定系数法，确定出h(a)的值；如果g(a)的次数比f(a)的次数小，继 续找出h(a)的线性因子，直至将f(a)的所有线性因子全部找出，从而求出行列 式Dn的值例7利用分离线性因子法计算n阶行列式2a冲)X2(x -b) a2 2'1 - ' 22a'n -22 n -A2a2 -n 4其中i (i = j)ax _b(x_b)2(x-b)n_ 2 _ 2n_ n2b打 + 2打 + /-2A-1+-

19、2解: Dn E1iaia- 2 _ 2 _nA_n A2a心_2扎n/-n _2+入n /丄，-n_2人nj_ 2-nAa'-n A.入n知J.将行列式最后一行乘以(-1)后再加到上一行去，并以此类推，直至第为止，得1 x-b (x-b)2Dn =2x1 入 22n/. 1n J/. 2显而易见，Dn是一个关于X的多项式D(x)，且Dn(O)=O由行列式的性质知Dn( -1 bO,Dn('2bO Dn('nJ b) = 0所以Dn(x)的根为 0，1 b,a 2b - , *b故 D n = px (x- r ib)(x - 2 _ b) (x - n 1 - b)进

20、而可得Dn(x)的n次项系数，令其为P，即P=(-1)% 2'12.2,n -2.1n 4/. 2= (-1)n1I ( - j)n.j综上可得：Dn=(-1)n1丨丨( i - j) i 丨 x(x - - b)1 J. j _1i Tn 4- j)丨(i b - x)i =13.2.3利用分离线性因子法的注意能够利用分离线性因子法进行计算的行列式大都是含有字母变量 (参数)的 行列式，当某个变量(参数)取某个特定值的时候行列式的值为 0，则该行列式 必含有某个特定因子。3类如：a12a1a22a2an2 ann_2 a1n Aa1n _2a2n Ja2n 2ann Aan0abc1

21、 +a111a0cb11 - a11bc0a、111+b1cba01111 -b等3.3借用“第三者”借用“第三者”法计算行列式,就是当所给的行列式A不易计算时，乘以一个适当的值不为0的行列式B，且AB二BC(C = 0),使其转化为求乘积的行列式。使用这种方法有优越，但B的选取不易，需要有足够的知识和经验。例8计算n阶行列式-0-'nd''n _2-'nJ3''nJ-n-2'nd-0解：取一2 二 2 :i sin nf(x) =0，1(X)nXn1n -11n-2-n(n J)(nJ2)| AAnA(n4)(n4)f(1)f仏)r /

22、I nf (九)f(1)a'-f (九)a*2(2牛(九2)9f(1)Vf (丸)2f(1)22(n 2),2(n4)AB 二f('),a n 4、fa )n -4二 a nf(k)k=0上题中不但计算出了行列式 A的值，而且同时也证明了 A相似于一个对角矩3.4利用范德蒙德行列式来计算范德蒙德行列式是一类比较特殊的行列式，通过观察其中的任一列可以发现，它都是某个数（字母）的不同方幕，且从上至下其幕次数由 0递增至n-1， 通过证明已经得知n阶范德蒙德行列式的值就等于组成这个行列式的 n个元素的所有可能差的乘积。利用范德蒙德行列式的时候，应先根据范德蒙德行列式的特点，将所给的行

23、列式转化为范德蒙德行列式,再利用其结果计算出所给行列式的值。例9利用范德蒙德行列式计算n阶行列式1 q1a21 a,1 a/1 a/1 a2°1an1 an21ann解：镶边得Dn =01 a11 a201 a/1 a2201 a1n1a2n1 an1an2n1 an再将第一列的（-1倍加到其它各列得:-1Dna1a2-12a12a2-12na1na2an2annan将此行列式拆分为两项即得200 0111 12n2n1a1a1a11a1a1a12n2n1aa2aa29a21a2aa29a2-2n2n1ananan1anananDn1a112现a.a21a.n 1a1 "n

24、 1a2a100 1印1a1 (a1-1)1a2 -1a2 (a2-1)n 二an-:1an 1an (an-1)0n-l /八ai-1)a2(a2 1)aann(an _1)2a02 an 泊 ii.i -aj -佝 一1)® -1) (an -1) 11 佝-aj1巴也2a1 a an (a1 1)(a2 (an 1)I 丨(ai 'aj)1卫也3.5利用拉普拉斯定理展开计算拉普拉斯定理：设在行列式D中任意取定了 k（1k乞n-1）个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D在利用拉普拉斯定理计算行列式的时候，应先根据行列式的性质对所给行

25、列 式进行转换，使其每行（列）的0元素尽可能的多，然后再利用行列式按行（列） 展开定理将其中含0元素多的某一行（列）进行展开。实质上，拉普拉斯定理是 对行列式按行（列）展开定理的推广。1 例10利用拉普拉斯定理计算n阶行列式12140121D =10130131解：在所给行列式中取定第一、二行，得到六个子式:M1M4-12M2M5-1 1M3M610它们对应的代数余子式为A =(-1)(1 2)(12)M1A2 =(_1)(1 2)(13)m2 = _m2A3 =(一1)(1 2) (1 4)M3一 M5A 十 1)(12) (2 3)M4 二 M4A5 =(-1)(1 2)(24)M5_M 5A =(_1)(1 2)(34)M6 =M6根据拉普拉斯定理得D = M1A1M2A2M 6A61213kJ10-13102113+-12011 02 13 +11 11 41 01 +0 32 10 124-1 1=(_1) (_8)_2 (-3) 1 (-1) 5 1-6 3 (_7) 1=8 6-1 5-18-7 二-7例11利用拉普拉斯定理计算n阶行列式bbL.九 bgbbbbZ解：如果从第3行开始每一行都减去第2行，再从