河北省部分学校2026-2027学年高二（上）联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河北省部分学校高二（上）联考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是B1C1的中点，则下列各式能表示向量的是（）A. B.

C. D.2.已知平面α，β的法向量分别是=（3，-4，1），=（5，4，1），则平面α与β的位置关系是（）A.相交但不垂直 B.α∥β C.α⊥β D.α与β重合3.已知空间向量=（1，2，z），=（x,1，2），若（+2）∥（2-），则（）A.x=，z=1 B.x=，z=4 C.x=2，z=- D.x=1，z=14.已知圆台的母线与下底面成60°角，且下底面半径是上底面半径的2倍.记圆台的侧面积为S1，上、下底面积之和为S2，则=（）A. B.1 C. D.5.如图，△ABC和△ABD所在的平面互相垂直，且AC=BC，AD=BD.设O为AB的中点，则下列结论错误的是（）A.OC⊥平面ABD

B.AB⊥平面COD

C.AB⊥CD

D.∠CDO=6.已知m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个互不重合的平面，则下列条件中，一定能使α∥β成立的是（）A.α⊥γ，β⊥γ B.m∥α，m∥β

C.m⊂α，n⊂β，m∥n D.m⊥α，m⊥β7.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AB=∠A1AD=，棱AA1=2AB，B1E=，则异面直线BA1与D1E所成角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.8.在正四棱锥S-ABCD中，侧棱长是底面边长的倍，点P在侧棱SD上.若SD⊥平面PAC，直线SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，则SE：EC=（）A.3：4 B.2：3 C.2：1 D.3：1二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的有（）A.若{，，}是空间的一个基底，则{+，-，}也是空间的一个基底

B.在三棱锥O-ABC中，

C.若，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为

D.若空间向量=（x,2，0）与=（3，4-x,x）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（-8，+∞）10.已知空间非零向量=（1，m,0），=（m,m2，0），=（m,m2，m3），则（）A.，可以相互垂直

B.，为平面xOy的共面向量

C.-是平面xOy的一个法向量

D.，不能作为其确定平面内的一组基底11.如图，在矩形AEFC中，AE=，EF=2，B为EF的中点.现分别沿AB，BC将△ABE，△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则下列结论正确的有（）A.三棱锥P-ABC的体积为 B.异面直线PA与BC所成角的余弦值为

C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D.三棱锥P-ABC外接球的表面积是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系中，点A（3，1，5），B（-2，-1，4），则直线AB与Oyz平面的交点P的坐标为

.13.已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M，N分别是AB，CD的中点.若异面直线AC，BD所成的角为60°，则MN=

.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E满足，则点E到平面A1BD的距离为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，，且∥.

（1）求，；

（2）求向量与所成夹角的余弦值；

（3）求在上的投影向量（用坐标表示）.16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，AB=AP=1，.D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近点P）.

（1）用，，表示；

（2）求直线AE与平面PAB所成角的正弦值.17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC=1，AA1=2.

（1）求证：平面A1BC⊥平面ABC；

（2）若直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求平面AA1B1B与平面BCC1B1夹角的余弦值.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段BC上的动点，F为线段PB的中点.

（1）求证：AF⊥EF；

（2）当E为线段BC的中点时，求二面角F-AE-B的余弦值.19.(本小题17分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，D，E，F分别是棱AB，BC，PC的中点，AB=AC=1，PA=2.

（1）证明：PB∥平面DEF；

（2）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；

（3）求点C到平面DEF的距离.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】BC

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】或7

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为，所以，所以x=2，y=-4，

又因为，所以，所以z=2，

所以，，；

（2）因为，，

所以，，，

所以，

所以向量与所成夹角的余弦值为；

（3）在上的投影向量为．

16.【答案】解：（1）因为D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近点P），

所以

=，

即；

（2）因为平面PAB⊥平面PBC，

所以在平面PAB内过A作AF垂直两平面的交线PB于F，

则根据面面垂直的性质定理可得AF⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，

所以BC⊥AF，

又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥PA，又BC⊥AF，且PA∩AF=A，又PA，AF⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，

所以BC⊥AB，

又AB=AP=1，．D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近点P），

所以BC==1，

所以分别以BC，BA所在直线为x轴，y轴，以过B且垂直平面ABC的直线为z轴，建系如图：

则A（0，1，0），B（0，0，0），C（1，0，0），P（0，1，1），D（，0，0），

所以，，，，

所以由（1）可得

==（，，），

又BC⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为，

所以直线AE与平面PAB所成角的正弦值为：

|cos＜，＞|===．

17.【答案】解：（1）证明：在△A1AC中，∵，AC=1，AA1=2，

由余弦定理得．

∴，∴A1C⊥AC，

∵，AB∩AC=A，AB、AC⊂平面ABC，∴A1C⊥平面ABC．

∵A1C⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ABC．

（2）由（1），得A1C⊥平面ABC，又∵AC、BC⊂平面ABC，，，

又∵AB⊥AC，∴A1C，AC、BC两两相互垂直，

以点C为坐标原点，分别以CA、CB、CA1所在的直线为x、y、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

设BC=k（k＞0），由（1）知，

则C（0，0，0），，B（0，k,0），，

∴，，，

设平面BCC1B1的一个法向量为，

则，即，

令，则y=0，z=1，∴，

设直线A1B与平面BCC1B1所成的角为θ，

则，解得，

∴，

在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵BB1∥CC1，且BB1=CC1，∴，

设平面AA1B1B的法向量为=（a,b,c），

则，即，

令b=1，则，c=，，

设平面AA1B1B与平面BCC1B1的夹角为α，

则，

即平面AA1B1B与平面BCC1B1夹角的余弦值为．

18.【答案】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以PA⊥BC，

因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥BC，

又PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

而AF⊂平面PAB，所以BC⊥AF，

因为PA=AB，F为线段PB的中点，所以AF⊥PB，

又BC∩PB=B，BC、PB⊂平面PBC，

所以AF⊥平面PBC，

而EF⊂平面PBC，

所以AF⊥EF．

（2）解：作FG∥PA交AB于点G，则FG⊥平面ABCD，

作GH⊥AE于点H，连接FH，

由三垂线定理知，∠FHG即为二面角F-AE-B的平面角，

设PA=AB=2，

当E为线段BC的中点时，BE=1，AE=，

因为F是PB的中点，FG∥PA，所以G是AB的中点，所以AG=1，FG=PA=1，

在Rt△ABE中，sin∠BAE==，

所以，即GH=，

在Rt△FGH中，FH===，

所以cos∠FHG===，

故二面角F-AE-B的余弦值为．

19.【答案】解：（1）证明：在△PBC中，因为E，F分别是BC，PC的中点，所以EF∥PB．

因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，

所以PB∥平面DEF．

（2）因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC．

因为AB⊥AC，所以AB，AC，AP两两垂直．

以点A为坐标原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系