阶段质量检测二变化率与导数

1、第15页共9页阶段质量检测(二)变化率与导数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1.函数y= sin x(cosx+ 1)的导数是()A. cos 2( cosxB. cos 2 + sin x2C. cos 2( + cosxD. cos x+ cosx解析：选 C y' = (sin x)' (cosx + 1) + sin x(cosx+ 1)' = cosx(cosx+ 1)+ sin x( sin x) =cos 2x+ cosx.2. (2019全国卷n )曲线y= 2sin x+ cosx

2、在点(n 1)处的切线方程为()A. x y n 1 = 0B . 2x y 2 n 1 = 0C . 2x+ y 2 n+ 1= 0D . x+ y n+ 1 = 0解析：选 C 设 y= f(x)= 2sin x+ cosx,则 f' (x)= 2cosx sin x,f' ( n= 2,曲线在点(n 1)处的切线方程为y ( 1) = 2(x n )即 2x+ y 2n+ 1 = 0.3. 若曲线f(x) = x2+ ax+ b在点(0, b)处的切线方程是 x y+ 1 = 0,则()A.a= 1,b= 1B.a= 1,b= 1C.a= 1,b= 1D.a= 1,b=1

3、解析：选A 由f' (x)= 2x + a，得f' (0) = a = 1，将(0, b)代入切线方程得 b= 1,故选A.4. 若函数 f(x) = ax4+ bx2 + c满足 f' (1) = 2,贝V f' ( 1)等于()A. 1B . 2C. 2D. 0解析：选B '.f' (x)= 4ax3 + 2bx为奇函数，f' ( 1) = f' (1) = 2.5.函数f(x) = xsin x的导函数f' (x)在区间n, n!上的图像大致为()C.6若 f(x)= log3(2x- 1),则 f' (3)

4、=(2 A A.3B 2ln 32cC.3ln 32D.5ln 3解析：选 D -f' (x) =(2x -1 )n 3=5ln 3.7.曲线y= 3x3在x = 1处切线的倾斜角为nC.nD.解析：选 C '-y' = x2,.y' |x= 1= 1,切线的倾斜角a满足tan a= 1,0 W a< n,二 a=.48若函数 f(x)满足 f(x)= 3x3- f' (1) x2-x,则 f' (1)的值为(A 0B 2C 1D - 1解析：选 A f' (x)= x2- 2f' (1)x- 1,所以 f' (1)

5、 = 1-2f ' (1) - 1，贝U f' (1) = 0.139.在曲线f(x) = x上切线的倾斜角为”n的点的坐标为()A (1,1)B (- 1,- 1)C (- 1,1)D (1,1)或(一1,- 1)解析：选D因为f(x) = $所以f' (x)=戈 因为切线的倾斜角为:n,所以切线斜率为一1,解析：选 C -f(x) = xsin x,f (x)= sin x + xcosx,f (-x)= sin x-xcosx =- f' (x),.f (x)为奇函数，由此可排除A、B、D，故选1即 f'(X)= -2= 1，所以 X= ±

6、;1 ,则当 X= 1 时，f(1) = 1 ；当 x = 1 时，f(1) = 1,则点坐标为(1,1)或(1, 1).10.曲线y= x + x3在点31, 4处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为(1C. 1解析：选Dy' = 1 + x2,故切线的斜率 k = f(1) = 2,又切线过点1, 4 ,4切线方程为y3= 2(x 1),即 y= 2x 2,切线和x轴，y轴交点为3, 0 ,0,- 2 .112 1故所求三角形的面积=-x -=-，故选D.2339x2+ a211.函数 y=x I(a>0)在x= xo处的导数为0,那么Xo=()B.±1D. a2解析

7、：选B 因为x2 + a2 ' x x' x2+2x2 2 2 2 a 2x a x= 2xx2 a22 2厂，所以x0 a=0，解得 xo= ±a.12.若函数f(x)= eax(a>0, b>0)的图像在x= 0处的切线与圆x2+ y2= 1相切，则a+ b的最大值是()B. 2 2D. 2解析：选D函数的导数为f' (x)= beax a,所以 f' (0) = be0 a =；,a即在x= 0处的切线斜率k=-,b又 f(0)一 be°=- b，所以切点为(°, b 所以切线方程为y+1= -x,b b '

8、;即 ax+ by+ 1 = °.1圆心到直线 ax+ bx+ 1 = °的距离d=,= 1,V2即 a2+ b2= 1,所以 a2 + b2= 1 > 2ab, 即卩 °<ab< *.2 2 2又 a + b = (a+ b) 2ab= 1,所以(a + b)2= 2ab+ 1 < 1 + 1= 2,即a +2，所以a+ b的最大值是，2,选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2°分请把正确的答案填在题中的横线上)13若 f(x)= log3(x 1),贝y f (2) =.解析：.f(x)= log3(x 1),f&

9、#39; (x)=log 3(x 1)1x 1 In 31f' (2) =i7?14.(:解析：2019全国卷T )曲线y= 3(x2+ x)ex在点(°,°)处的切线方程为y' = 3(2x + 1)ex+ 3(x2 + x)ex= ex(3x2 + 9x+ 3),f切线斜率k = e°x 3= 3,f切线方程为y= 3x.答案：y= 3xx 一 115.已知函数f(x)=+ ln(x + 1)，其中实数a工一1若a = 2，则曲线y= f(x)在点(°,x十af(°)处的切线方程为.解析：f'(x) =x+ a x1

10、 i(x + a 2 x + 1a + 12(X+ a)2 + 1.当 a = 2 时，f' (0) =2 +(0+ 2)10+ 17,而f(0) = 1 因此曲线 y= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y 1 = f(x 0)，即7x4y 2= 0.答案：7x 4y 2= 0(n n '-2，2 时，f(x)= x + sin x,设 a= f(1),b= f(2), c= f(3)，贝U a, b, c 的大小关系是 .解析：f(2) = f( n 2), f(3) = f( n- 3),因为 f' (x)= 1+ cosx> 0,故f(x)在一n，

11、n上是增函数，nJ> n 2>1> n 3>0, f( n 2)>f(1)>f( n 3)，即 c<a<b.答案：c<a<b三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤）17.（本小题满分10分）求下列函数的导数:1(1) y= sin x+ x ；(2) y= (x2+ 2)(3x 1);(3)y= x ；1(4)y= ?sin 2x.解：(1)y' = (sin x)(2)y' = (x2 + 2)' (3x 1) + (x2 + 2)(3x 1)2=2x(3x 1)

12、+ 3(x2 + 2)2=9x 2x+ 6.(3)y' = x' e-x+ x (ex)'=e_ X xe_ x= (1 - x)e_x.1 1(4)y' = 2(sin 2x)' = 2 x 2 cos 2x= cos 2x.18. (本小题满分12分)已知函数f(x)= x, g(x) = aln x, a R若曲线y= f(x)与曲线y=g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.1 a解：f' (x)= , g' (x)= a(x>0),2pxx设两曲线的交点为 P(xo, yo),|：沁=aln xo,则j

13、丄=旦於伍0 xo' 解得 a= e， xo= e2,所以两条曲线交点的坐标为(e2, e).切线的斜率为k= f' (e2) = ±,1 2所以切线的方程为 y e= 2；(x e2),即 x 2ey+ e2= o.19. (本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x).(1) f(x)是三次函数，且 f(0) = 3, f' (0) = 0, f' (1) = 3, f' (2) = 0;2(2) f(x)是二次函数，且 x f' (x) (2x 1)f(x)= 1.解：(1)由题意设 f(x) = ax3 + bx2 + cx+

14、 d(a 0),2贝U f' (x)= 3ax + 2bx+ c.丁- f 0 = d = 3,f'0 = c= 0,由已知'尸,f 1 = 3a+ 2b+ c= 3,f' 2 = 12a+ 4b+ c= 0,解得 a= 1, b= 3, c= 0, d= 3,故 f(x) = x3 3x2 + 3.2(2)由题意设 f(x) = ax + bx+ c(aM 0),则 f' (x)= 2ax+ b.所以 x2(2ax+ b) (2x - 1)(ax2+ bx+ c)= 1,化简得(a b)x2+ (b- 2c)x+ c= 1,a= b,此式对任意x都成立

15、，所以b= 2c,c= 1,解得 a= 2, b= 2, c= 1,即卩 f(x) = 2x2 + 2x + 1.1 3720.(本小题满分12分)已知函数f(x) = x3 + 3xf' (a)(其中a R)，且f(a)= &,求:(1)f(x)的表达式；曲线y= f(x)在 x = a处的切线方程.解：(1)f' (x)= x2 + 3f' (a)，于是有2af' (a)= a2 + 3f' (a)? f' (a)=-,f(x)=3x332Lx,(2)由(1)知切点为一1,6,1切线的斜率f' (a)= 2切线方程为y7=-如

16、+ 1),即 3x+ 6y 4= 0.21.(本小题满分12分)已知曲线y= x+ In x在点(1,1)处的切线与曲线 y= ax2+ (a + 2)x + 1相切，求a的值.解：法一 ：$= x+ In x,1y' = 1 + x, y'L=1 = 2.曲线y= x+ In x在点(1,1)处的切线方程为y 1 = 2(x 1)，即y= 2x 1./ y= 2x 1 与曲线 y= ax2 + (a+ 2)x+ 1 相切，0(当a= 0时曲线变为 y= 2x+ 1与已知直线平行).y= 2x 1，由 2消去y，|y= ax + a+ 2 x+ 1,得 ax? + ax + 2

17、 = 0.由= a2 8a= 0，解得 a= 8.法二：同法一得切线方程为 y= 2x 1.设 y= 2x 1 与曲线 y= ax2 + (a + 2)x+ 1 相切于点(x°, ax0+ (a+ 2)x°+ 1).y' = 2ax+ (a + 2),y'lx= xo= 2axg+ (a+ 2).由 2axo+ a+ 2 = 2，|ax()+ a + 2 Xo+ 1 = 2x°- 1,1X0= 二,解得s2£= 8.故 a = 8.122.(本小题满分12分)设函数f(x) = ax+ x+b(a，b Z)在点(2, f(2)处的切线方程为 y=3.(1)求f(x)的解析式；求曲线y= f(x)在点(3, f(3)处的切线与直线 x= 1和直线y= x所围三角形的面积.1解：(1)f'