2020年高考数学《新高考创新题型》之12：数系扩充与复数(含精析)

1、222 +i2020 年高考数学（新高考创新题型）之 12.数系扩充与复数（含精析）一、选择题。1设集合 M = y | y =|cos x -sin x |, x ÎR，N = x |2 x1 - 3i|<1，i 为虚数单位，x ÎR，则 MN 为（ ）A（0，1） B（0，1 C0，1） D0，12已知 i 为虚数单位，aR，若(a-1)(a+1+i)=a2-1+（a-1）i 是纯虚数，则 a 的值为（ ） A.-1 或 1 B.1 C.-1 D.33已知 i 为虚数单位, 若复数z =1 -1i，z =2 +i，则 z ×z 2 12=( )A 3 -

2、i B. 2 -2 i C. 1 +i D 2 +2i4 若错误！未找到引用源。 是虚数单位，设错误！未找到引用源。，则复数错误！未找到 引用源。在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5复数z =a +bi (a,bÎR )的虚部记作 Im (z)=b，则Imæ 1 öç ÷è ø=（ ）A1 2B3 5C-13D-156若pA.6z =cosq+isinB.qp4（ i为虚数单位），则 pC.3z2=-1D.的q 值可能是（ ） p27 若qÎæçè3

3、5， 4 4ö÷ø，则复数 (cosq+sinq) +(sinq-cosq)i在复平面内所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限8已知 ( x +i )(1 -i ) = y，则实数x， y分别为（ ）Ax =-1， y =1Bx =-1， y =2Cx =1， y =1Dx =1，a , b , a , b ÎR, i为虚数单位9已知 a , b ÎR ,3 +i1 -i=a +bi (i为虚数单位），则a +b =（ ）A0B1C2 D310若函数 Z =( a2-2) +( a +2 )i为纯虚数，则a +i 20

4、07的值为（ ） 1 +aiA.1B.-1C.iD.-i二、填空题。11在实数集 R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集 C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“f”，定义如下：对于任意两个复数z =a +b i, z =a +b i, 1 1 1 2 2 2( )1 1 2 2，" z f z " 1 2当 且 仅 当"a f a "或"a =a 且b >b " 1 2 1 2 1 2，下面命题 1fif0;若z f z ， z f z 1 2 2 3，则z f z1 3；若z f

5、 z12，则对于任意 z ÎC ， z +z f z +z1 2；对于复数 z f 0，则z ×z f z ×z 12其中真命题是 .12已知复数 z cos i，z sin i，则 z ·z 的实部的最大值为_，虚部的1 2 1 2最大值为_三、解答题。13已知复数z =cos x +i, z =1 -isin x, x ÎR 1 2(1)求| z -z | 1 2的最小值；(2)设z =z ×z 12，记 f ( x ) =Imz (Im z表示复数 z 的虚部).将函数 f ( x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵

6、坐标不变)，再把所得的图像向右平移p2个单位长度，得到函数 g ( x)的图像.试求函数 g ( x)的解析式14已知复数z =13a +2+( a2-3)i，z =2 +(3a +1)i 2（a ÎR， i是虚数单位）（1）若复数z -z12在复平面上对应点落在第一象限，求实数 a 的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程 x2-6 x +m =0的根，求实数m值15已知：复数z =b cos C +( a +c )i , z =(2 a -c )cos B +4i ,且 z =z 1 2 12，其中 B 、 C为ABC 的内角， a 、 b 、 c 为角 A 、 B 、

7、C 所对的边（1）求角 B的大小；（2）若b =2 2，求ABC 的面积.；16已知复数 z =bi (b Î R ) （1）求复数 z，z -21 +i是实数， i 是虚数单位（2）若复数( m +z )2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围17已知复数w =（m2 -2 m -3) +( m 2-m -12)i，（ m ÎR ， i为虚单位）。（1）若 w为实数，求 m的值；（2）若复数 w对应的点在第四象限，求实数 m 的取值范围18已知：对于任意的多项式 f ( x )与任意复数 z， f ( z ) =0 Û x -z整除 f ( x)。利用上述定理

8、解决下列问题：在复数范围内分解因式： x2+x +1；求所 有满足 x2+x +1 整除 x2 n+xn+1的正整数 n 构成的集合 A。)1C【解析】M =x cos2 x x ÎR =0,1,N = x1 + 3i1x <1 = x x <1 =x -1 <x <1，M N = 0，1,故选 C.2C【解析】(a-1)(a+1+i)=a2-1+（a-1）i 是纯虚数，所以 a2-1=0 且 a-10，解得 a=-1，选 C. 3A【解析】z ×z =(1-i )(2 +i ) =2 -2i +i -i 1 22=3 -i4D【解析】Q1 +i (

9、1+i)(2 +i) 3 +3i -1 2 3 = = = + i2 -i (2 -i)(2 +i) 5 5 52 2由条件可知：a = , b =-5 52 2 Z = - i, 故答案选D. 5 55 D5 D【解析】 把p2代入验证即得。7 B8 D7 D8 A7 【 解 析 】 命 题 ， 1 的 实 部 是 1, i 的 实 部 是 0, 正 确 ； 命 题 ， 设z =a +b i, z =a +b i, z =a +b i 1 1 1 2 2 2 3 3 3，由已知得a >a 或 a =a 且 b >b ， a >a 1 2 1 2 1 2 2 3或一 个 三

10、角 函 数 ， 就 可 最 小 值 ，z z =-2 2 +3 = 2 -1；（2）1 2z -z =1 2p2 2 sin( x - ) +34， 思 见 其 最 小 值 为(cos x +i )(1 -i sin x ) =sin x +cos x +(1 -sin x cos x)i，故 Im z =1 -sin x cos x =1 -12sin 2 x，根据图象平移的知识可很快得出 g ( x )的 表达式.解：(1)z =cos x +i, z =1 -isin x, x ÎR ， | z -z |= 1 2 1 2(cos x -1)2+(1+sin x)2p= 3 +

11、2 2 sin( x - )4.当p psin( x - ) =-1，即 x =2 k p- ( k ÎZ)4 4时，| z -z |1 2 min= 3 -2 2 ( = 2 -1).(2)z =z ×z 12，z =z ×z =sin x +cos x +(1 -sin x cos x )i 1 2.f ( x ) =1 -sin x cos x =1 -12sin 2 x ( x ÎR).将函数 f ( x )的图像上所有点的 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对2ïî应的函数是 y =1 -112sin

12、x.把 函 数 y =1 -12s i nxp的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 得 到 的 图 像 对 应 的 函 数 是21 p y =1 - sin( x - )2 2 g ( x ) =1 -1 p 1sin( x - ) =1 + cos x( x ÎR) 2 2 2.14（1）-2 <a <-1,（2）13.【解析】（1）本题解法为按题意列出关于实数 a 的不等式，解之即可得实数 a 的取值范围. 由条件得，z -z =( 1 23a +2-2) +( a2-3a -4)i,因为z -z1 2在复平面上对应点落在第一象限，ì 3

13、39;故有 ía +2-2 >0ì 1ï-2<a<- í 2 解得-2 <a <-1, （ 2 ）因为实系数一元二次方程ïîa2-3a -4 >0ïîa >4或a <-1x 2 -6 x +m =0的虚根成对出现，即虚数z1也是实系数一元二次方程 x 2 -6 x +m =0的根，再根据韦达定理列出实数 m 的等量关系. 即 z +z =1 16a +2=6，即a =-1，把a =-1代入，则z =3 -2i ， z =3 +2i 1 1，所以m =z z =131

14、1本题也可设z =a +b i( a , b ÎR , b ¹0) 1 1 1 1 1 1，代入方程 x2-6 x +m =0，利用复数相等列等量关系.（1）由条件得， z -z =(1 23a +2-2) +( a2-3a -4)i（2 分）因为z -z1 2ì 3ï -2 >0在复平面上对应点落在第一象限，故有 ía +2a2 -3a -4 >0ì 1ï-2<a<- í 2 解得-2 <a <-1ïîa >4或a <-1（2）因为虚数z1是实系

15、数一元二次方程 x2-6 x +m =0的根所以z +z =1 16a +2=6 ，即 a =-1，把 a =-1代入，则 z =3 -2i ， z =3 +2i1 1，所以m =z z =131 115（1）B =p3；（2）2 33î【解析】解题思路：（1)先利用复数相等得出三角形的边角关系，再利用正弦定理将边转化为角，利用三角关系求角 B;(2)利用余弦定理求出有关 a , c的关系，再利用三角形的面积公式进行求解 .规律总结：解三角形，要根据条件灵活选择正弦定理、余 弦定理、面积公式，本题中已知 两角与其中一角的对边，较容易想到先选择正弦定理.解：（1）z =z1 2， b

16、cos C =(2 a -c ) cos B，a +c =4；由得2a cos B =b cos C =c cos B;在DABC中，由正弦定理得2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B2 sin A cos B =sin( B +C ) =sin A0 <A <psin A >0cos B =12,0 <B <pB =p3(2) b =2 2,由余弦定理得 b2=a2+c2-2 ac cos B Þ a2+c2-ac =8,-由得 a2+c2+2 ac =16- 由得ac =83，SDABC1 1 8 3 2 3 =

17、 ac sin B = ´ ´ =2 2 3 2 3.16（1）z =-2i；（2） ( -¥,-2)【解析】（1）由 z =bi (b Î R )，化简z -2 bi -2 (bi -2)(1 -i ) b -2 b +2 = = = + i1 +i 1 +i (1 +i )(1 -i ) 2 2.根据z -21 +ib +2是 实 数 ， 可 得 =02， 求 得 b 的 值 ， 可 得 z的 值 ；（ 2 ） 化 简( m +z )2=( m -2i)2=( m2-4) -4 mi， 根 据 该 复 数 所 表 示 的 点 在 第 一 象 限 ，

18、可 得ìm2 -4 >0 í-4 m >0，解不等式组求得实数m的取值范围.解：(1)因为 z =bi (b Î R )，所以z -2 bi -2 (bi -2)(1 -i ) b -2 b +2 z -2 = = = + i ，又1 +i 1 +i (1 +i )(1 -i ) 2 2 1 +i是实数，所以b +22=0 ，即 b =-2，所以 z =-2i.（2）由（1）得z =-2i，所以( m +z )2=( m -2i)2=( m2-4) -4 mi，î又因为复数( m +z )2ìm2 -4 >0所表示的点在第一象限，所以 í ，得-4 m >0m <-2.所以实数 m 的取值范围是 ( -¥