2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(安徽卷)文

1、1 / 13 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷安徽卷) 数学数学(文科文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第 1 至第 2 页,第卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150分,考试时间 120分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位. 2.答第卷时,每小题选出答案后,用 2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.

2、3.答第卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 第卷(选择题 共 50分) 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 安徽,文 1)设 i是虚数单位,若复数 a-103-i(ar)是纯虚数,则 a 的值为( ). a.-3 b.-1 c.1 d.

3、3 答案:d 解析:由已知,得 a-103-=a-10(3+)(3-)(3+)=a-10(3+)10=a-3-i, 2 / 13 复数 a-103-为纯虚数,a-3=0,即 a=3. 2.(2013 安徽,文 2)已知 a=x|x+10,b=-2,-1,0,1,则(ra)b=( ). a.-2,-1 b.-2 c.-1,0,1 d.0,1 答案:a 解析:a=x|x-1,ra=x|x-1, (ra)b=-2,-1. 3.(2013 安徽,文 3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为( ). a.34 b.16 c.1112 d.2524 答案:c 解析:开始,28,s=0+12,n=2

4、+2=4; 返回,48,s=12+14=34,n=4+2=6; 返回,68,s=34+16=1112,n=6+2=8; 返回,88 不成立,输出 s=1112. 3 / 13 4.(2013 安徽,文 4)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( ). a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:b 解析:由(2x-1)x=0,得 x=12或 x=0. 故(2x-1)x=0是 x=0 的必要不充分条件. 5.(2013 安徽,文 5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( ). a.23

5、 b.25 c.35 d.910 答案:d 解析:五人录用三人共有 10 种不同方式,分别为:丙,丁,戊,乙,丁,戊,乙,丙,戊,乙,丙,丁,甲,丁,戊,甲,丙,戊,甲,丙,丁,甲,乙,戊,甲,乙,丁,甲,乙,丙. 其中含甲或乙的情况有 9种,故选 d. 6.(2013 安徽,文 6)直线 x+2y-5+5=0被圆 x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( ). a.1 b.2 c.4 d.46 答案:c 解析:由圆的一般方程可化为圆的标准方程: (x-1)2+(y-2)2=5,可知圆心坐标为(1,2),半径为5, 圆心到直线的距离为|1+4-5+5|12+22=1, 由勾股定理可得弦长一半为

6、(5)2-12=2. 故弦长为 4. 4 / 13 7.(2013 安徽,文 7)设 sn为等差数列an的前 n 项和,s8=4a3,a7=-2,则 a9=( ). a.-6 b.-4 c.-2 d.2 答案:a 解析:由 s8=4a3知:a1+a8=a3,a8=a3-a1=2d=a7+d,所以 a7=d=-2.所以 a9=a7+2d=-2-4=-6. 8.(2013 安徽,文 8)函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间a,b上可找到 n(n2)个不同的数 x1,x2,xn,使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn,则 n 的取值范围为( ). a.2,3 b.2,3,4 c.3,

7、4 d.3,4,5 答案:b 解析:f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn可化为f(x1)-0 x1-0=f(x2)-0 x2-0=f(xn)-0 xn-0,所以可以理解为图象上一点与坐标原点确定的斜率相等.由数形结合可得:曲线为 n=2,曲线为 n=3,曲线为 n=4. 9.(2013 安徽,文 9)设abc 的内角 a,b,c所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin a=5sin b,则角c=( ). a.3 b.23 c.34 d.56 答案:b 解析:3sin a=5sin b, 3a=5b. 又 b+c=2a, 由可得,a=53b,c=73b, 5 / 13

8、cos c=b2+a2-c22ab=b2+(53b)2-(73b)2253b2 =-12. c=23. 10.(2013 安徽,文 10)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点 x1,x2.若 f(x1)=x1x2,则关于 x 的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0 的不同实根个数为( ). a.3 b.4 c.5 d.6 答案:a 解析:由 f(x)=3x2+2ax+b=0,得 x=x1或 x=x2, 即 3(f(x)2+2af(x)+b=0的根为 f(x)=x1或 f(x)=x2的解,由题可知 f(x)的草图为: 由数形结合及 x1 0,1-x2 0 x 0,-1 x

9、10 x1. 该函数的定义域为(0,1. 12.(2013 安徽,文 12)若非负变量 x,y满足约束条件x-y -1,x + 2y 4,则 x+y的最大值为 . 答案:4 解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分.由线性规划知识得最优解为(4,0),令 z=x+y,则zmax=4+0=4. 13.(2013 安徽,文 13)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a与 b 夹角的余弦值为 . 答案:-13 解析:|a|=3|b|=|a+2b|, |a|2=9|b|2=|a|2+4|b|2+4ab, ab=-|b|2, cos=ab|a|b|=-|b|23|b|2=-13.

10、14.(2013 安徽,文 14)定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0 x1时,f(x)=x(1-x),则当-1x0时,f(x)= . 答案:-12x(x+1) 解析:-1x0,0 x+11, f(x)=12f(x+1)=12(x+1)1-(x+1) =-12x(x+1). 7 / 13 15.(2013 安徽,文 15)如图,正方体 abcd-a1b1c1d1的棱长为 1,p 为 bc的中点,q为线段 cc1上的动点,过点 a,p,q的平面截该正方体所得的截面记为 s.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). 当 0cq12时,s 为四边形 当 cq

11、=12时,s 为等腰梯形 当 cq=34时,s 与 c1d1的交点 r 满足 c1r=13 当34cq1时,s 为六边形 当 cq=1 时,s的面积为62 答案: 解析:当 cq=12时,d1q2=d1c12+c1q2,ap2=ab2+bp2,所以 d1q=ap.又因为 ad1pq,ad1=2pq,所以正确;当 0cq12时,截面为 apqm,所以为四边形,故也正确,如图所示. 图 如图,当 cq=34时,由qcnqc1r得 c1qcq=c1rcn,即1434=c1r1,c1r=13,故正确. 8 / 13 图 如图所示,当 cq=1 时,截面为 apc1e. 可知 ac1=3,ep=2且 a

12、pc1e为菱形, s四边形 apc1e=62,故正确. 当34cq0,区间 i=x|f(x)0. (1)求 i 的长度(注:区间(,)的长度定义为 -); (2)给定常数 k(0,1),当 1-ka1+k 时,求 i长度的最小值. 解:(1)因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a0)有两个实根 x1=0,x2=a1+a2,故 f(x)0 的解集为x|x1xx2,因此区间i=(0,a1+a2),区间长度为a1+a2. (2)设 d(a)=a1+a2,则 d(a)=1-a2(1+a2)2, 令 d(a)=0,得 a=1.由于 0k1,故 当 1-ka0,d(a)单调递增; 当 1a1+k 时,d

13、(a)0,d(a)单调递减. 因此当 1-ka1+k 时,d(a)的最小值必定在 a=1-k或 a=1+k处取得. 而d(1-k)d(1+k)=1-k1+(1-k)21+k1+(1+k)2=2-k2-k32-k2+k31, 故 d(1-k)b0)的焦距为 4,且过点 p(2,3). (1)求椭圆 c 的方程; (2)设 q(x0,y0)(x0y00)为椭圆 c 上一点.过点 q作 x轴的垂线,垂足为 e.取点 a(0,22),连接 ae.过点a作 ae 的垂线交 x 轴于点 d.点 g是点 d 关于 y 轴的对称点,作直线 qg.问这样作出的直线 qg是否与椭圆 c一定有唯一的公共点?并说明理由. 解:(1)因为焦距为 4,所以 a2-b2=4.又因为椭圆 c 过点 p(2,3),所以2a2+3b2=1,故 a2=8,b2=4,从而椭圆c的方程为x28+y24=1. (2)由题意,e 点坐标为(x0,0).设 d(xd,0),则ae =(x0,-22),ad =(xd,-22). 再由 adae知,ae ad =0,即 xdx0+8=0. 由于 x0y00,故 xd=-8x0. 因为点 g 是点 d关于 y轴的对称点,所以点 g(8x0,0). 故直线 qg的斜