2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)理 (2)

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页,第卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第卷每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷一、选择题:本大题

2、共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013江西,理1)已知集合m=1,2,zi,i为虚数单位,n=3,4,mn=4,则复数z=(). a.-2ib.2ic.-4id.4i答案:c解析:由mn=4,得zi=4,z=4i=-4i.故选c.2.(2013江西,理2)函数y=xln(1-x)的定义域为().a.(0,1)b. 0,1)c.(0,1d.0,1答案:b解析:要使函数有意义,需x0,1-x>0,解得0x<1,即所求定义域为0,1).故选b.3.(2013江西,理3)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于().a.-2

3、4b.0c.12d.24答案:a解析:由题意得:(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或-1.当x=-1时,3x+3=0,不满足题意.当x=-3时,原数列是等比数列,前三项为-3,-6,-12,故第四项为-24.4.(2013江西,理4)总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481a.08b.07c.02d.01答案:d

4、解析:选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01,故选d.5.(2013江西,理5)x2-2x35展开式中的常数项为().a.80b.-80c.40d.-40答案:c解析:展开式的通项为tr+1=c5rx2(5-r)(-2)rx-3r=c5r(-2)rx10-5r.令10-5r=0,得r=2,所以t2+1=c52(-2)2=40.故选c.6.(2013江西,理6)若s1=12 x2dx,s2=12 1xdx,s3=12 exdx,则s1,s2,s3的大小关系为().a.s1<s2<s3b.s2<s1<s3c.s2<s3<s1d.s3<s2&

5、lt;s1答案:b解析:s1=12 x2dx=13x3|12=73,s2=12 1xdx=ln x|12=ln 2,s3=12 exdx=ex|12=e2-e=e(e-1)>e>73,所以s2<s1<s3,故选b.7.(2013江西,理7)阅读如下程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为().a.s=2*i-2b.s=2*i-1c.s=2*id.s=2*i+4答案:c解析:当i=2时,s=2×2+1=5;当i=3时,s=2×3+4=10不满足s<10,排除选项d;当i=4时,s=2×4+1=9;当i=5时,选项a,b

6、中的s满足s<10,继续循环,选项c中的s=10不满足s<10,退出循环,输出i=5,故选c.8.(2013江西,理8)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且abcd,正方体的六个面所在的平面与直线ce,ef相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=().a.8b.9c.10d.11答案:a解析:由ce与ab共面,且与正方体的上底面平行,则与ce相交的平面个数m=4.作fo底面ced,一定有面eof平行于正方体的左、右侧面,即fe平行于正方体的左、右侧面,所以n=4,m+n=8.故选a.9.(2013江西,理9)过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于a,b两点,

7、o为坐标原点,当aob的面积取最大值时,直线l的斜率等于().a.33b.-33c.±33d.-3答案:b解析:曲线y=1-x2的图象如图所示:若直线l与曲线相交于a,b两点,则直线l的斜率k<0,设l:y=k(x-2),则点o到l的距离d=-2kk2+1.又saob=12|ab|·d=12×21-d2·d=(1-d2)·d21-d2+d22=12,当且仅当1-d2=d2,即d2=12时,saob取得最大值.所以2k2k2+1=12,k2=13,k=-33.故选b.10.(2013江西,理10)如图,半径为1的半圆o与等边三角形abc夹在

8、两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于f,g两点,与三角形abc两边相交于e,d两点.设弧fg的长为x(0<x<),y=eb+bc+cd,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图像大致是().答案:d第卷注意事项:第卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.(2013江西,理11)函数y=sin 2x+23sin2x的最小正周期t为. 答案:解析:y=sin 2x+3(1-cos 2x)=2sin2x-3+3,t=22=.12.(2013江西,理12)设e1,e2为单

9、位向量,且e1,e2的夹角为3,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为. 答案:52解析:a·b=(e1+3e2)·2e1=2e12+6e1·e2=2+6×12×cos3=5,a在b上的射影为a·b|b|=52.13.(2013江西,理13)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)=. 答案:2解析:令ex=t,则x=ln t,f(t)=ln t+t,f'(t)=1t+1,f'(1)=2.14.(2013江西,理14)抛物线x2=2py(p&

10、gt;0)的焦点为f,其准线与双曲线x23-y23=1相交于a,b两点,若abf为等边三角形,则p=. 答案:6解析:抛物线的准线方程为y=-p2,设a,b的横坐标分别为xa,xb,则|xa|2=|xb|2=3+p42,所以|ab|=|2xa|.又焦点到准线的距离为p,由等边三角形的特点得p=32|ab|,即p2=34×4×3+p42,所以p=6.三、选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.15.(2013江西,理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线c的参数方程为x=t,y=t2(t为参数),若以直角坐标系的原点为极

11、点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c的极坐标方程为. 答案:cos2-sin =0解析:由参数方程x=t,y=t2得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.由公式x=cos,y=sin得曲线c的极坐标方程为cos2=sin .(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|x-2|-1|1的解集为. 答案:0,4解析:原不等式等价于-1|x-2|-11,即0|x-2|2,解得0x4.四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(2013江西,理16)(本小题满分12分)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知cos c+

12、(cos a-3sin a)cos b=0.(1)求角b的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解:(1)由已知得-cos(a+b)+cos acos b-3sin acos b=0,即有sin asin b-3sin acos b=0,因为sin a0,所以sin b-3cos b=0,又cos b0,所以tan b=3,又0<b<,所以b=3.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos b.因为a+c=1,cos b=12,有b2=3a-122+14.又0<a<1,于是有14b2<1,即有12b<1.17.(2013江西,理17)(本小题满分

13、12分)正项数列an的前n项和sn满足:sn2-(n2+n-1)sn-(n2+n)=0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=n+1(n+2)2an2,数列bn的前n项和为tn.证明:对于任意的nn*,都有tn<564.(1)解:由sn2-(n2+n-1)sn-(n2+n)=0,得sn-(n2+n)(sn+1)=0.由于an是正项数列,所以sn>0,sn=n2+n.于是a1=s1=2,n2时,an=sn-sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上,数列an的通项an=2n.(2)证明:由于an=2n,bn=n+1(n+2)2an2,则bn=n+14n2(n+2

14、)2=1161n2-1(n+2)2.tn=1161-132+122-142+132-152+1(n-1)2-1(n+1)2+1n2-1(n+2)2=1161+122-1(n+1)2-1(n+2)2<1161+122=564.18.(2013江西,理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以o为起点,再从a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为x.若x=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率;(2)求x的分布列和数学期望.解:

15、(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有c82=28种,x=0时,两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为p(x=0)=828=27.(2)两向量数量积x的所有可能取值为-2,-1,0,1,x=-2时,有2种情形;x=1时,有8种情形;x=-1时,有10种情形.所以x的分布列为:x-2-101p1145142727ex=(-2)×114+(-1)×514+0×27+1×27=-314.19.(2013江西,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥pabcd中,pa平面abcd,e为bd的中点,g为pd的中点,dabdcb,ea

16、=eb=ab=1,pa=32,连接ce并延长交ad于f.(1)求证:ad平面cfg;(2)求平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值.解:(1)在abd中,因为e是bd中点,所以ea=eb=ed=ab=1,故bad=2,abe=aeb=3,因为dabdcb,所以eabecb,从而有fed=bec=aeb=3,所以fed=fea,故efad,af=fd,又因为pg=gd,所以fgpa.又pa平面abcd,所以cfad,故ad平面cfg.(2)以点a为坐标原点建立如图所示的坐标系,则a(0,0,0),b(1,0,0),c32,32,0,d(0,3,0),p0,0,32,故bc=12,32,0,cp=-

17、32,-32,32,cd=-32,32,0.设平面bcp的法向量n1=(1,y1,z1),则12+32y1=0,-32-32y1+32z1=0,解得y1=-33,z1=23,即n1=1,-33,23.设平面dcp的法向量n2=(1,y2,z2),则-32+32y2=0,-32-32y2+32z2=0,解得y2=3,z2=2.即n2=(1,3,2).从而平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值为cos =|n1·n2|n1|n2|=43169·8=24.20.(2013江西,理20)(本小题满分13分)如图,椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点p1,32

18、,离心率e=12,直线l的方程为x=4.(1)求椭圆c的方程;(2)ab是经过右焦点f的任一弦(不经过点p),设直线ab与直线l相交于点m,记pa,pb,pm的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数,使得k1+k2=k3?若存在,求的值;若不存在,说明理由.解:(1)由p1,32在椭圆上得,1a2+94b2=1,依题设知a=2c,则b2=3c2,代入解得c2=1,a2=4,b2=3.故椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)方法一:由题意可设ab的斜率为k,则直线ab的方程为y=k(x-1),代入椭圆方程3x2+4y2=12并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设a

19、(x1,y1),b(x2,y2),则有x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4(k2-3)4k2+3,在方程中令x=4得,m的坐标为(4,3k).从而k1=y1-32x1-1,k2=y2-32x2-1,k3=3k-324-1=k-12.注意到a,f,b共线,则有k=kaf=kbf,即有y1x1-1=y2x2-1=k.所以k1+k2=y1-32x1-1+y2-32x2-1=y1x1-1+y2x2-1-321x1-1+1x2-1=2k-32·x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1.代入得k1+k2=2k-32·8k24k2+3-24(k2-3)4k2+3-8k24k2+3

20、+1=2k-1,又k3=k-12,所以k1+k2=2k3.故存在常数=2符合题意.(2)方法二:设b(x0,y0)(x01),则直线fb的方程为:y=y0x0-1(x-1),令x=4,求得m4,3y0x0-1,从而直线pm的斜率为k3=2y0-x0+12(x0-1).联立y=y0x0-1(x-1),x24+y23=1,得a5x0-82x0-5,3y02x0-5,则直线pa的斜率为:k1=2y0-2x0+52(x0-1),直线pb的斜率为:k2=2y0-32(x0-1),所以k1+k2=2y0-2x0+52(x0-1)+2y0-32(x0-1)=2y0-x0+1x0-1=2k3,故存在常数=2符

21、合题意.21.(2013江西,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=a1-2x-12,a为常数且a>0.(1)证明:函数f(x)的图像关于直线x=12对称;(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为函数f(x)的二阶周期点.如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;(3)对于(2)中的x1,x2和a,设x3为函数f(f(x)的最大值点,a(x1,f(f(x1),b(x2,f(f(x2),c(x3,0).记abc的面积为s(a),讨论s(a)的单调性.(1)证明:因为f12+x=a(1-2|x|),f12-x=a(1-2|x|),有f12+x=f12-x,所以函数f(x)的图像关于直线x=12对称.(2)解:当0<a<12时,有f(f(x)