2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅱ)理

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国)数学(理科)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国,理1)设集合m=0,1,2,n=x|x2-3x+20,则mn=(). a.1b.2c.0,1d.1,2答案:d解析:m=0,1,2,n=x|x2-3x+20=x|1x2,mn=0,1,2x|1x2=1,2.故选d.2.(2014课标全国,理2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=().a.-5b.5c.-4+id.-4-i答案:a解析:由题意知:z2=-2+i.又z1=2+i

2、,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选a.3.(2014课标全国,理3)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=().a.1b.2c.3d.5答案:a解析:|a+b|=10,(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.|a-b|=6,(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.由可得a·b=1.故选a.4.(2014课标全国,理4)钝角三角形abc的面积是12,ab=1,bc=2,则ac=().a.5b.5c.2d.1答案:b解析:由题意知sabc=12ab·bc·sin b,即12=

3、12×1×2sin b,解得sin b=22.b=45°或b=135°.当b=45°时,ac2=ab2+bc2-2ab·bc·cos b=12+(2)2-2×1×2×22=1.此时ac2+ab2=bc2,abc为直角三角形,不符合题意;当b=135°时,ac2=ab2+bc2-2ab·bc·cos b=12+(2)2-2×1×2×-22=5,解得ac=5.符合题意.故选b.5.(2014课标全国,理5)某地区空气质量监测资料表明,一天的

4、空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是().a.0.8b.0.75c.0.6d.0.45答案:a解析:设某天空气质量为优良为事件a,随后一天空气质量为优良为事件b,由已知得p(a)=0.75,p(ab)=0.6,所求事件的概率为p(b|a)=p(ab)p(a)=0.60.75=0.8,故选a.6.(2014课标全国,理6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(

5、).a.1727b.59c.1027d.13答案:c解析:由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积v1=×32×6-×22×4-×32×2=20(cm3),原来毛坯体积v2=×32×6=54(cm3).故所求比值为v1v2=2054=1027.7.(2014课标全国,理7)执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的s=().a.4b.5c.6d.7答案:d解析:第一次:12成立,m=2,s=5,k=2;第二次:22成立,m=2,s=7,k=3;第三次:32不成立,输出s=

6、7.故输出的s=7.8.(2014课标全国,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=().a.0b.1c.2d.3答案:d解析:y=ax-ln(x+1),y'=a-1x+1.y'|x=0=a-1=2,得a=3.9.(2014课标全国,理9)设x,y满足约束条件x+y-70,x-3y+10,3x-y-50,则z=2x-y的最大值为().a.10b.8c.3d.2答案:b解析:线性目标函数z=2x-y满足的可行域如图所示.将直线l0:y=2x平行移动,当直线l0经过点m(5,2)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,也就是z取最大值,此时z

7、max=2×5-2=8.10.(2014课标全国,理10)设f为抛物线c:y2=3x的焦点,过f且倾斜角为30°的直线交c于a,b两点,o为坐标原点,则oab的面积为().a.334b.938c.6332d.94答案:d解析:由已知得f34,0,故直线ab的方程为y=tan 30°x-34,即y=33x-34.设a(x1,y1),b(x2,y2),联立y=33x-34,y2=3x,  将代入并整理得13x2-72x+316=0,x1+x2=212,线段|ab|=x1+x2+p=212+32=12.又原点(0,0)到直线ab的距离为d=3413+

8、1=38.soab=12|ab|d=12×12×38=94.11.(2014课标全国,理11)直三棱柱abc-a1b1c1中,bca=90°,m,n分别是a1b1,a1c1的中点,bc=ca=cc1,则bm与an所成角的余弦值为().a.110b.25c.3010d.22答案:c解析:如图,以点c1为坐标原点,c1b1,c1a1,c1c所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,不妨设bc=ca=cc1=1,可知点a(0,1,1),n0,12,0,b(1,0,1),m12,12,0.an=0,-12,-1,bm=-12,12,-1.cos<an,b

9、m>=an·bm|an|bm|=3010.根据an与bm的夹角及an与bm所成角的关系可知,bm与an所成角的余弦值为3010.12.(2014课标全国,理12)设函数f(x)=3sinxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+f(x0)2<m2,则m的取值范围是().a.(-,-6)(6,+)b.(-,-4)(4,+)c.(-,-2)(2,+)d.(-,-1)(1,+)答案:c解析:x0是f(x)的极值点,f'(x0)=0,即m·3·cosx0m=0,得mx0=k+2,kz,即x0=mk+12m,kz.x02+f(x0)2<m2可转化

10、为mk+12m2+3sinmmk+12m2<m2,kz,即k+122m2+3<m2,kz,即k+122<1-3m2,kz.要使原问题成立,只需存在kz,使1-3m2>k+122成立即可.又k+122的最小值为14,1-3m2>14,解得m<-2或m>2.故选c.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国,理13)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案) 答案:12解

11、析:设展开式的通项为tr+1=c10rx10-rar,令r=3,得t4=c103x7a3,即c103a3=15,得a=12.14.(2014课标全国,理14)函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为. 答案:1解析:f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)=sin(x+)+-2sin cos(x+)=sin(x+)cos +cos(x+)sin -2sin cos(x+)=sin(x+)cos -cos(x+)sin =sin(x+)-=sin x.f(x)max=1.15.(2014课标全国,理15)已知偶函数f(x)在0,+)单调递减,f(2

12、)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是. 答案:(-1,3)解析:f(x)是偶函数,f(-x)=f(x)=f(|x|).f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).又f(x)在0,+)上单调递减,|x-1|<2,解得-2<x-1<2,即-1<x<3.16.(2014课标全国,理16)设点m(x0,1),若在圆o:x2+y2=1上存在点n,使得omn=45°,则x0的取值范围是. 答案:-1,1解析:如图所示,设点a(0,1)关于直线om的对称点为p,则点p在圆o上,且mp与圆o相切,而点m在直线y=1上运

13、动,由圆上存在点n使omn=45°,则omnomp=oma,oma45°,aom45°.当aom=45°时,x0=±1.结合图象知,当aom45°时,-1x01,x0的范围为-1,1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国,理17)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明1a1+1a2+1an<32.分析:在第(1)问中,通过题目给出的条件,得出an+1+12与an+12的关系,从而证明an+12是等比

14、数列,然后再由an+12的通项公式求出an的通项公式;在第(2)问中,由第(1)问得出1an的通项公式,再通过适当放缩,结合等比数列前n项和得出结论.解:(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.an+12=3n2,因此an的通项公式为an=3n-12.(2)由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-12×3n-1,所以13n-112×3n-1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n<32.所以1a1+1a2+1an<32.18.(本小题满分12

15、分)(2014课标全国,理18)如图,四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,pa平面abcd,e为pd的中点.(1)证明:pb平面aec;(2)设二面角d-ae-c为60°,ap=1,ad=3,求三棱锥e-acd的体积.分析:在第(1)问中,通过矩形的性质和题目条件,能够构造三角形的中位线,将线面平行问题转化为线线平行问题是切入点,由线线平行及线面平行的判定定理可证得结论;在第(2)问中,通过题目给出的条件建立空间直角坐标系,表示出所需点的坐标,设出构成二面角的平面的法向量,利用数量积求出其坐标,再结合二面角及三棱锥的体积公式进行求解.解:(1)连结bd交ac于点o,连结eo.因

16、为abcd为矩形,所以o为bd的中点.又e为pd的中点,所以eopb.eo平面aec,pb平面aec,所以pb平面aec.(2)因为pa平面abcd,abcd为矩形,所以ab,ad,ap两两垂直.如图,以a为坐标原点,ab的方向为x轴的正方向,|ap|为单位长,建立空间直角坐标系a-xyz,则d(0,3,0),e0,32,12,ae=0,32,12.设b(m,0,0)(m>0),则c(m,3,0),ac=(m,3,0),设n1=(x,y,z)为平面ace的法向量,则n1·ac=0,n1·ae=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,-1,3.又n2=

17、(1,0,0)为平面dae的法向量,由题设|cos<n1,n2>|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因为e为pd的中点,所以三棱锥e-acd的高为12.三棱锥e-acd的体积v=13×12×3×32×12=38.19.(本小题满分12分)(2014课标全国,理19)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回

18、归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-b t.分析:在第(1)问中,通过所给数据求出变量的平均数,然后求出公式中的有关数据,从而求出b与a,最后求出回归直线方程;在第(2)问中,根据(1)中所求方程中的b分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,将2015年的年份代号代入回归方程可预测2015年的收入情况.解:(1)由所给数据计算得t=17(1+2+3+4+5+6+7)=4

19、,y=17(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,i=17(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,i=17(ti-t)(yi-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=1428=0.5,a=y-b t=4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为y=0.5t+2.3.(2)由(1)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区

20、农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.20.(本小题满分12分)(2014课标全国,理20)设f1,f2分别是椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,m是c上一点且mf2与x轴垂直.直线mf1与c的另一个交点为n.(1)若直线mn的斜率为34,求c的离心率;(2)若直线mn在y轴上的截距为2,且|mn|=5|f1n|,求a,b.分析:在第(1)问中,根据椭圆中a,b,c的关系及题目给出的条件可知

21、点m的坐标,从而由斜率条件得出a,c的关系,再利用离心率公式可求得离心率,注意离心率的取值范围;在第(2)问中,根据题目条件,o是f1f2的中点,mf2y轴,可得a,b之间的一个关系式,再根据条件|mn|=5|f1n|,可得|df1|与|f1n|的关系,然后可求出点n的坐标,代入c的方程,可得a,b,c的另一关系式,最后利用a,b,c的关系式可求得结论.解:(1)根据c=a2-b2及题设知mc,b2a,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12,ca=-2(舍去).故c的离心率为12.(2)由题意,原点o为f1f2的中点,mf2y轴,所以直线mf1与y轴的交点d(0,

22、2)是线段mf1的中点,故b2a=4,即b2=4a.由|mn|=5|f1n|得|df1|=2|f1n|,设n(x1,y1),由题意知y1<0,则2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1,代入c的方程,得9c24a2+1b2=1.将及c=a2-b2代入得9(a2-4a)4a2+14a=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.21.(本小题满分12分)(2014课标全国,理21)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(3)已知1.4

23、14 2<2<1.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001).分析:在第(1)问中,利用求导公式求出函数f(x)的导数,然后利用导数可讨论函数f(x)的单调性;在第(2)问中,先根据条件求出g(x)表达式,然后对其求导,其次利用分类讨论的思想讨论b,进而求出b的最大值;在第(3)问中,由第(2)问可求出g(ln 2)的表达式,再通过特殊值法,取b的两个值使g(ln2)>0与g(ln2)<0,由此确定出g(ln2)表达式中ln 2的范围上限与下限,最后求得ln 2的近似值.解:(1)f'(x)=ex+e-x-20,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(-

24、,+)单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g'(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).当b2时,g'(x)0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-,+)单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0;当b>2时,若x满足2<ex+e-x<2b-2,即0<x<ln(b-1+b2-2b)时,g'(x)<0.而g(0)=0,因此当0<xln(b-1+b2-2b)时,

25、g(x)<0.综上,b的最大值为2.(3)由(2)知,g(ln 2)=32-22b+2(2b-1)ln 2.当b=2时,g(ln2)=32-42+6ln 2>0,ln 2>82-312>0.692 8;当b=324+1时,ln(b-1+b2-2b)=ln 2,g(ln2)=-32-22+(32+2)ln 2<0,ln 2<18+228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2014课标全国,理22)选修41:几何证明选讲

26、如图,p是o外一点,pa是切线,a为切点,割线pbc与o相交于点b,c,pc=2pa,d为pc的中点,ad的延长线交o于点e.证明:(1)be=ec;(2)ad·de=2pb2.分析:(1)欲证be=ec,由于在圆o中,可证be=ec,利用相等的圆周角所对的弧相等,则可证dac=bad,故应由条件转化为角的关系上去寻找,我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理.对于(2),由结论中出现ad·de,而d是ae与bc两弦之交点,联想到相交弦定理可得ad·de=bd·dc.从而使问题转化为证明2pb2=bd·dc,而p,b,d,c在一条直线上,且d又是pc的中点,而pa=pd,pa是切线,又联想到切割线定理得pa2=pb·pc,充分利用关系转化可得答案.解:(1)连结ab,ac,由题设知pa=pd,故pad=pda.因为pda=dac+dca,pad=bad+pab,dca=pab,所以dac=bad,从而be=ec.因此be=ec.(2)由切割线定理得pa2=pb·pc.因为pa=pd=dc,所以dc=2pb,bd=pb.由相交弦定理得ad·de=bd·dc,所以ad