2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅱ)理 (2)

1、1 / 9 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国) 数学(理科) 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 课标全国,理 1)设集合 m=0,1,2,n=x|x2-3x+20,则 mn=( ). a.1 b.2 c.0,1 d.1,2 答案:d 解析:m=0,1,2, n=x|x2-3x+20=x|1x2, mn=0,1,2x|1x2=1,2.故选 d. 2.(2014 课标全国,理 2)设复数 z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( ). a.-5 b.5 c.

2、-4+i d.-4-i 答案:a 解析:由题意知:z2=-2+i. 又 z1=2+i,所以 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选 a. 3.(2014 课标全国,理 3)设向量 a,b 满足|a+b|=10,|a-b|=6,则 a b=( ). a.1 b.2 c.3 d.5 答案:a 解析:|a+b|=10,(a+b)2=10, 即 a2+b2+2ab=10. |a-b|=6,(a-b)2=6, 即 a2+b2-2ab=6. 由可得 ab=1.故选 a. 4.(2014 课标全国,理 4)钝角三角形 abc 的面积是12,ab=1,bc=2,则 ac=( ). a.5 b.

3、5 c.2 d.1 答案:b 解析:由题意知 sabc=12abbcsin b, 即12=12 1 2sin b,解得 sin b=22. b=45 或 b=135 . 当 b=45 时,ac2=ab2+bc2-2abbccos b=12+(2)2-2 1 2 22=1. 此时 ac2+ab2=bc2,abc 为直角三角形,不符合题意; 当 b=135 时,ac2=ab2+bc2-2abbccos b=12+(2)2-2 1 2 (-22)=5,解得 ac=5.符合题意.故选 b. 5.(2014 课标全国,理 5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为

4、优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ). a.0.8 b.0.75 c.0.6 d.0.45 答案:a 解析:设某天空气质量为优良为事件 a,随后一天空气质量为优良为事件 b,由已知得 p(a)=0.75,p(ab)=0.6,所求事件的概率为 p(b|a)=p(ab)p(a)=0.60.75=0.8,故选 a. 6.(2014 课标全国,理 6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(

5、 ). 2 / 9 a.1727 b.59 c.1027 d.13 答案:c 解析:由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示. 切削掉部分的体积 v1= 32 6- 22 4- 32 2=20(cm3), 原来毛坯体积 v2= 32 6=54(cm3). 故所求比值为v1v2=2054=1027. 7.(2014 课标全国,理 7)执行下面的程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 s=( ). a.4 b.5 c.6 d.7 答案:d 解析:第一次:12 成立,m=2,s=5,k=2; 第二次:22 成立,m=2,s=7,k=3; 第三次:32 不成立,输出 s=7.

6、 故输出的 s=7. 8.(2014 课标全国,理 8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ). a.0 b.1 c.2 d.3 答案:d 解析:y=ax-ln(x+1),y=a-1x+1. y|x=0=a-1=2,得 a=3. 9.(2014 课标全国,理 9)设 x,y 满足约束条件x + y-7 0,x-3y + 1 0,3x-y-5 0,则 z=2x-y 的最大值为( ). a.10 b.8 c.3 d.2 答案:b 解析:线性目标函数 z=2x-y 满足的可行域如图所示. 3 / 9 将直线 l0:y=2x 平行移动,当直线 l0经过点

7、 m(5,2)时,直线 y=2x-z 在 y 轴上的截距最小,也就是 z 取最大值,此时 zmax=25-2=8. 10.(2014 课标全国,理 10)设 f 为抛物线 c:y2=3x 的焦点,过 f 且倾斜角为 30 的直线交 c 于 a,b 两点,o 为坐标原点,则oab 的面积为( ). a.334 b.938 c.6332 d.94 答案:d 解析:由已知得 f(34,0),故直线 ab 的方程为 y=tan 30 (x-34),即 y=33x-34. 设 a(x1,y1),b(x2,y2), 联立y =33x-34,y2= 3x, 将代入并整理得13x2-72x+316=0, x1

8、+x2=212, 线段|ab|=x1+x2+p=212+32=12. 又原点(0,0)到直线 ab 的距离为 d=3413+1=38. soab=12|ab|d=12 1238=94. 11.(2014 课标全国,理 11)直三棱柱 abc-a1b1c1中,bca=90 ,m,n 分别是 a1b1,a1c1的中点,bc=ca=cc1,则bm与 an 所成角的余弦值为( ). a.110 b.25 c.3010 d.22 答案:c 解析:如图,以点 c1为坐标原点,c1b1,c1a1,c1c 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 不妨设 bc=ca=cc1=1, 可知点

9、 a(0,1,1),n(0,12,0),b(1,0,1),m(12,12,0). an = (0,-12,-1),bm = (-12,12,-1). cos=an bm |an |bm |=3010. 根据an 与bm 的夹角及 an 与 bm所成角的关系可知,bm 与 an 所成角的余弦值为3010. 12.(2014 课标全国,理 12)设函数 f(x)=3sinxm.若存在 f(x)的极值点 x0满足02+f(x0)2m2,则 m 的取值范围是( ). a.(-,-6)(6,+) b.(-,-4)(4,+) 4 / 9 c.(-,-2)(2,+) d.(-,-1)(1,+) 答案:c 解

10、析:x0是 f(x)的极值点, f(x0)=0,即m3cosx0m=0, 得mx0=k+2,kz,即 x0=mk+12m,kz. x02+f(x0)2m2可转化为 (mk +12m)2+ 3m(mk +12m)2m2,kz, 即(k +12)2m2+3m2,kz, 即(k +12)2 (k +12)2成立即可. 又(k +12)2的最小值为14, 1-3m214,解得 m2.故选 c. 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(20

11、14 课标全国,理 13)(x+a)10的展开式中,x7的系数为 15,则 a= .(用数字填写答案) 答案:12 解析:设展开式的通项为 tr+1=10rx10-rar, 令 r=3,得 t4=103x7a3,即103a3=15,得 a=12. 14.(2014 课标全国,理 14)函数 f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为 . 答案:1 解析:f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+) =sin(x+)+-2sin cos(x+) =sin(x+)cos +cos(x+)sin -2sin cos(x+) =sin(x+)cos -cos(x+)sin

12、=sin(x+)-=sin x. f(x)max=1. 15.(2014 课标全国,理 15)已知偶函数 f(x)在0,+)单调递减,f(2)=0,若 f(x-1)0,则 x 的取值范围是 . 答案:(-1,3) 解析:f(x)是偶函数,f(-x)=f(x)=f(|x|). f(x-1)0 可化为 f(|x-1|)f(2). 又 f(x)在0,+)上单调递减, |x-1|2,解得-2x-12,即-1x3. 16.(2014 课标全国,理 16)设点 m(x0,1),若在圆 o:x2+y2=1上存在点 n,使得omn=45 ,则 x0的取值范围是 . 答案:-1,1 解析:如图所示,设点 a(0

13、,1)关于直线 om的对称点为 p,则点 p 在圆 o 上, 且 mp 与圆 o 相切,而点 m在直线 y=1 上运动,由圆上存在点 n 使omn=45 , 则omnomp=oma, oma45 ,aom45 . 5 / 9 当aom=45 时,x0= 1. 结合图象知,当aom45 时,-1x01, x0的范围为-1,1. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国,理 17)已知数列an满足 a1=1,an+1=3an+1. (1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式; (2)证明1a1+1a2+1an32. 分析:在第

14、(1)问中,通过题目给出的条件,得出 an+1+12与 an+12的关系,从而证明an+12是等比数列,然后再由an+12的通项公式求出an的通项公式;在第(2)问中,由第(1)问得出1an的通项公式,再通过适当放缩,结合等比数列前 n 项和得出结论. 解:(1)由 an+1=3an+1 得 an+1+12=3(an+12). 又 a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为 3 的等比数列. an+12=3n2,因此an的通项公式为 an=3n-12. (2)由(1)知1an=23n-1. 因为当 n1 时,3n-12 3n-1, 所以13n-1123n-1. 于是1a1+1a2+1

15、an1+13+13n-1 =32(1-13n) 32. 所以1a1+1a2+1an0), 则 c(m,3,0),ac =(m,3,0), 设 n1=(x,y,z)为平面 ace 的法向量, 则n1 = 0,n1 = 0,即mx + 3y = 0,32y +12z = 0, 可取 n1=(3m,-1,3). 又 n2=(1,0,0)为平面 dae 的法向量, 由题设|cos|=12,即33+4m2=12, 解得 m=32. 因为 e为 pd 的中点,所以三棱锥 e-acd 的高为12. 三棱锥 e-acd 的体积 v=1312 3 3212=38. 19.(本小题满分 12 分)(2014 课标

16、全国,理 19)某地区 2007年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2

17、, a= y b t. 分析:在第(1)问中,通过所给数据求出变量的平均数,然后求出公式中的有关数据,从而求出b与a,最后求出回归直线方程;在第(2)问中,根据(1)中所求方程中的b分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,将 2015 年的年份代号代入回归方程可预测 2015 年的收入情况. 解:(1)由所给数据计算得 t =17(1+2+3+4+5+6+7)=4, y =17(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, i=17(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28, i=17(ti-t)(yi-y) =(-3) (-1.4

18、)+(-2) (-1)+(-1) (-0.7)+0 0.1+1 0.5+2 0.9+3 1.6=14, b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=1428=0.5, a= y b t=4.3-0.5 4=2.3, 所求回归方程为y=0.5t+2.3. (2)由(1)知,b=0.50,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得y=0.5 9+2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 20.(本小题满分 12 分)(2

19、014 课标全国,理 20)设 f1,f2分别是椭圆 c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点,m是 c 上一点且 mf2与 x 轴垂直.直线 mf1与 c 的另一个交点为 n. 7 / 9 (1)若直线 mn 的斜率为34,求 c的离心率; (2)若直线 mn 在 y 轴上的截距为 2,且|mn|=5|f1n|,求 a,b. 分析:在第(1)问中,根据椭圆中 a,b,c 的关系及题目给出的条件可知点 m的坐标,从而由斜率条件得出 a,c 的关系,再利用离心率公式可求得离心率,注意离心率的取值范围;在第(2)问中,根据题目条件,o 是 f1f2的中点,mf2y 轴,可得 a,b 之间的一个关系式,再根据条件|mn|=5|f1n|,可得|df1|与|f1n|的关系,然后可求出点 n 的坐标,代入 c 的方程,可得 a,b,c 的另一关系式,最后利用 a,b,c 的关系式可求得结论. 解:(1)根据 c=a2-b2及题设知 m(c,b2a),2b2=3ac. 将 b2=a2-c2代入 2b2=3ac,