2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(陕西卷)文

1、1 / 11 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 数学(文科) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分). 1.(2014 陕西,文 1)设集合 m=x|x0,xr,n=x|x21,xr,则 mn=( ). a.0,1 b.(0,1) c.(0,1 d.0,1) 答案:d 解析:由于 m=x|x0,xr,n=x|x21,xr=x|-1x1,所以 mn=x|0 x1=0,1),故选 d. 2.(2014 陕西,文 2)函数 f(x)=cos(2x +4)的最小正周期是( ). a.2 b. c.2 d.4 答

2、案:b 解析:函数 f(x)的最小正周期为22=,故选 b. 3.(2014 陕西,文 3)已知复数 z=2-i,则 z z的值为( ). a.5 b.5 c.3 d.3 答案:a 解析:zz=(2-i)(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选 a. 4.(2014 陕西,文 4)根据下边框图,对大于 2 的整数 n,输出的数列的通项公式是( ). a.an=2n b.an=2(n-1) c.an=2n d.an=2n-1 答案:c 2 / 11 解析:由程序框图可知 a1=2 1=2,a2=2 a1=2 2=4,a3=2a2=2 4=8, 因此在an中满足 a1=2,an=2an-1.

3、 所以an是首项和公比均为 2 的等比数列, 故 an=22n-1=2n,故选 c. 5.(2014 陕西,文 5)将边长为 1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( ). a.4 b.3 c.2 d. 答案:c 解析:依题意,知所得几何体是一个圆柱,且其底面半径为 1,母线长也为 1,因此其侧面积为 2 1 1=2,故选 c. 6.(2014 陕西,文 6)从正方形 4个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为( ). a.15 b.25 c.35 d.45 答案:b 解析:设正方形的四个顶点为 a,b,c,d,中心为

4、 o,从这 5 个点中任取 2 个点,一共有 10 种不同的取法:ab,ac,ad,ao,bc,bd,bo,cd,co,do,其中这 2 个点的距离小于该正方形边长的取法共有 4种:ao,bo,co,do.因此由古典概型概率计算公式,可得所求概率 p=410=25,故选 b. 7.(2014 陕西,文 7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( ). a.f(x)=x3 b.f(x)=3x c.f(x)=x12 d.f(x)=(12)x 答案:b 解析:对于函数 f(x)=x3,f(x+y)=(x+y)3, f(x)f(y)=x3y3,而(x+y)3x3y3, 所

5、以 f(x)=x3不满足 f(x+y)=f(x)f(y),故 a错误; 对于函数 f(x)=3x,f(x+y)=3x+y=3x3y=f(x)f(y), 因此 f(x)=3x满足 f(x+y)=f(x)f(y),且 f(x)=3x是单调递增函数,故 b正确; 对于函数 f(x)=x12,f(x+y)=(x+y)12,f(x)f(y)=x12y12=(xy)12,而(x+y)12(xy)12, 所以 f(x)=x12不满足 f(x+y)=f(x)f(y),故 c 错误; 对于函数 f(x)=(12)x,f(x+y)=(12)x+y= (12)x(12)y=f(x)f(y), 因此 f(x)=(12

6、)x满足 f(x+y)=f(x)f(y), 但 f(x)=(12)x不是单调递增函数,故 d 错误. 3 / 11 8.(2014 陕西,文 8)原命题为“若an+an+12an,nn+,则an为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ). a.真,真,真 b.假,假,真 c.真,真,假 d.假,假,假 答案:a 解析:由an+an+12an,得 an+an+12an,即 an+1an, 所以当an+an+12an时,必有 an+1an, 则an是递减数列; 反之,若an是递减数列,必有 an+1an, 从而有an+an+12an. 所以原命题及其逆命题均为

7、真命题,从而其否命题及其逆否命题也均为真命题,故选 a. 9.(2014 陕西,文 9)某公司 10位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,x10,其均值和方差分别为x和 s2,若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( ). a.x,s2+1002 b.x+100,s2+1002 c.x,s2 d.x+100,s2 答案:d 解析:由题意,得x =x1+x2+x1010, s2=110(x1-x)2+(x2-x)2+(x10-x)2. 因为下月起每位员工的月工资增加 100 元, 所以下月工资的均值为 (x1+100)+(x2+100)+(x

8、10+100)10 =(x1+x2+x10)+1010010= x+100, 下月工资的方差为110(x1+100-x-100)2+(x2+100-x-100)2+(x10+100-x-100)2 =110(x1-x)2+(x2-x)2+(x10-x)2=s2,故选 d. 10.(2014 陕西,文 10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( ). 4 / 11 a.y=12x3-12x2-x b.y=12x3+12x2-3x c.y=14x3-x d.y=14x3+12x2-2x 答案:a 解析:由已

9、知图形,可知该三次函数有 0 和 2 两个零点,因此可设其解析式为 y=ax(x-2)(x+m). 因为 y=ax(x-2)(x+m)=ax3+amx2-2ax2-2amx, 所以 y=3ax2+2amx-4ax-2am. 又因为直线 y=-x 和 y=3x-6 分别是该三次函数图象在点(0,0)和(2,0)处的切线,由导数的几何意义知 y|x=0=-1,y|x=2=3, 于是有-2am = -1,12a + 4am-8a-2am = 3,解得a =12,m = 1. 所以所求三次函数的解析式为 y=12x3-12x2-x,故选 a. 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共

10、 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.(2014 陕西,文 11)抛物线 y2=4x 的准线方程为 . 答案:x=-1 解析:在抛物线 y2=4x 中,由 2p=4,得p2=1. 又因为其开口向右,故其准线方程为 x=-1. 12.(2014 陕西,文 12)已知 4a=2,lg x=a,则 x= . 答案:10 解析:由 4a=2,可得 a=log42=12.所以 lg x=12,即 x=1012= 10. 13.(2014 陕西,文 13)设 02,向量 a=(sin 2,cos ),b=(1,-cos ),若 a b=0,则 tan = . 答案:12 解析:由 ab=0,

11、可得 sin 2-cos2=0,即 2sin cos -cos2=0, 整理得 cos (2sin -cos )=0. 又因为 0b0)经过点(0,3),离心率为12,左右焦点分别为 f1(-c,0),f2(c,0). (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:y=-12x+m与椭圆交于 a,b 两点,与以 f1f2为直径的圆交于 c,d 两点,且满足|ab|cd|=534,求直线 l 的方程. 分析:第(1)问中,可由两已知条件及 a2=b2+c2建立参数 a,b,c的方程组,求出 a,b 的值即得椭圆方程;在第(2)问中,求直线 l 方程的关键是求出参数 m的值,可根据圆中的弦长公式将|cd

12、|用 m表示,再将直线 l 的方程与椭圆方程联立,利用弦长公式结合根与系数的关系将|ab|用 m表示出来,然后再由条件|cd|ab|=534建立关于 m 的方程,求解得到 m的值即可求出 l 的方程. 9 / 11 解:(1)由题设知b = 3,ca=12,b2= a2-c2, 解得 a=2,b=3,c=1. 椭圆的方程为x24+y23=1. (2)由题设知,以 f1f2为直径的圆的方程为 x2+y2=1, 圆心到直线 l 的距离 d=2|m|5, 由 d1 得|m|a0,f(b)-f(a)b-a1 恒成立,求 m的取值范围. 分析:在第(1)问中,由于 m的值已知,可按求函数极值的一般步骤求

13、得 f(x)的极小值;在第(2)问中,讨论函数 g(x)零点的个数,即研究方程 g(x)=0 根的个数,然后将问题转化为讨论直线 y=m与函数 (x)的图象交点个数的问题,从而可研究 (x)的单调性、极值.画出 (x)的图象通过数形结合的方法求解;在第(3)问中,将已知不等式f(b)-f(a)b-a1 等价转化为函数 f(x)-x 在(0,+)上的单调性,然后借助导数,再转化为不等式的恒成立问题,即可求得 m的取值范围. 解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+x,则 f(x)=x-x2, 当 x(0,e),f(x)0,f(x)在(e,+)上单调递增, 10 / 11 x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+=2, f(x)的极小值为 2. (2)由题设 g(x)=f(x)-x3=1xmx2x3(x0), 令 g(x)=0,得 m=-13x3+x(x0), 设 (x)=-13x3+x(x0), 则 (x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当 x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增; 当 x(1,+)时,(x)23时,函数 g(x)无零点; 当 m=23时,函数 g(x)有且只有一个零点; 当 0m23时,函数