2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(课标全国Ⅰ)

1、1 / 13 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国理科数学 注意事项: 1.本试题分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷 1 至 3 页,第卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 课标全国,理 1)设复数 z 满足1+1=i,则|z|=( ) a.1 b.2 c.3 d.2 答案

2、:a 解析:1+1=i,z=i1i+1=(i1)(i+1)(i+1)(i+1)=i,|z|=1. 2.(2015 课标全国,理 2)sin 20 cos 10 -cos 160 sin 10 = ( ) a.-32 b.32 c.-12 d.12 答案:d 解析:sin 20 cos 10 -cos 160 sin 10 =sin 20 cos 10 +cos 20 sin 10 =sin(10 +20 )=sin 30 =12. 3.(2015 课标全国,理 3)设命题 p:nn,n22n,则p 为( ) a.nn,n22n b.nn,n22n c.nn,n22n d.nn,n2=2n 答案

3、:c 解析:p:nn,n22n, p:nn,n22n.故选 c. 4.(2015 课标全国,理 4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) a.0.648 b.0.432 c.0.36 d.0.312 答案:a 2 / 13 解析:由条件知该同学通过测试,即 3 次投篮投中 2 次或投中 3 次. 故 p=c320.62(1-0.6)+c330.63=0.648. 5.(2015 课标全国,理 5)已知 m(x0,y0)是双曲线 c:22-y2=1 上的一点,f1,f2是 c

4、的两个焦点.若1 2 0,则 y0的取值范围是( ) a.(33,33) b.(36,36) c.(223,223) d.(233,233) 答案:a 解析:由条件知 f1(-3,0),f2(3,0), 1 =(-3-x0,-y0),2 =(3-x0,-y0), 1 2 = 02+ 02-30. 又022 02=1, 02=202+2.代入得0213, -33y00,由函数图像可知,其周期为 t=2 (5414)=2, 所以2=2,解得 =. 所以 f(x)=cos(x+). 由图像可知,当 x=12(14+54) =34时,f(x)取得最小值, 即 f(34)=cos(34+ )=-1, 解

5、得34+=2k+(kz), 解得 =2k+4(kz). 令 k=0,得 =4,所以 f(x)=cos( +4). 令 2kx+42k+(kz), 4 / 13 解得 2k-14x2k+34(kz). 所以函数 f(x)=cos( +4)的单调递减区间为2 14,2 +34(kz).结合选项知应选 d. 9.(2015 课标全国,理 9)执行下面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( ) a.5 b.6 c.7 d.8 答案:c 解析:s=1,n=0,m=12,t=0.01, s=s-m=12,m=2=14,n=n+1=1,s0.01, s=14,m=18,n=2,s0.01,

6、s=18,m=116,n=3,s0.01, s=116,m=132,n=4,s0.01, s=132,m=164,n=5,s0.01, s=164,m=1128,n=6,s0.01, s=1128,m=1256,n=7,s0.01, n=7. 10.(2015 课标全国,理 10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) a.10 b.20 c.30 d.60 答案:c 解析:由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展开式的通项为 tr+1=c5(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5),因此只有当 r=2,即t3=c52(x2+x)3y2中才能含有 x5y2项.设(x2+

7、x)3的展开式的通项为 si+1=c3(x2)3-i xi=c3x6-i(i=0,1,2,3),令 6-i=5,得 i=1,则(x2+x)3的展开式中 x5项的系数是c31=3,故(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数是c523=103=30. 11.(2015 课标全国,理 11) 5 / 13 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20,则 r=( ) a.1 b.2 c.4 d.8 答案:b 解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,

8、其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为 s表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得 r=2. 12.(2015 课标全国,理 12)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a1,若存在唯一的整数 x0使得 f(x0)0,则 a 的取值范围是( ) a.32e,1) b.32e,34) c.32e,34) d.32e,1) 答案:d 解析:设 g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式 f(x)0 即为 g(x)h(x). 因为 g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x

9、+1), 当 x-12时,g(x)-12时,g(x)0,函数 g(x)单调递增. 所以 g(x)的最小值为 g(12). 而函数 h(x)=a(x-1)表示经过点 p(1,0),斜率为 a 的直线. 如图,分别作出函数 g(x)=ex(2x-1)与 h(x)=a(x-1)的大致图像. 显然,当 a0 时,满足不等式 g(x)h(x)的整数有无数多个. 函数 g(x)=ex(2x-1)的图像与 y 轴的交点为 a(0,-1),与 x 轴的交点为 d(12,0). 取点 c(1,3e). 由图可知,不等式 g(x)h(x)只有一个整数解时,须满足 kpcakpa. 6 / 13 而 kpc=0(3

10、e)1(1)=32e,kpa=0(1)10=1, 所以32ea0),所以( 0)2+ (0 2)2=4-a,解得 a=32,故圆心为(32,0),此时半径 r=4-32=52,因此该圆的标准方程是( 32)2+y2=254. 15.(2015 课标全国,理 15)若 x,y 满足约束条件 1 0, 0, + 4 0,则的最大值为 . 答案:3 解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点 a为(1,3),要使最大,则00最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点 a时,()max=3010=3. 7 / 13 16.(2015 课标全国,理 16)在平面四边形

11、abcd 中,a=b=c=75 ,bc=2,则 ab 的取值范围是 . 答案:(6 2,6 + 2) 解析:如图. 作 cead 交 ab于 e,则ceb=75 ,ecb=30 . 在cbe中,由正弦定理得,eb=6 2. 延长 cd 交 ba的延长线于 f,则f=30 . 在bcf中,由正弦定理得,bf=6 + 2, 所以 ab的取值范围为(6 2,6 + 2). 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,理 17)sn为数列an的前 n 项和.已知 an0,2+2an=4sn+3. (1)求an的通项公式; (2)设 bn=1

12、+1,求数列bn的前 n 项和. 解:(1)由2+2an=4sn+3,可知+12+2an+1=4sn+1+3. 可得+12 2+2(an+1-an)=4an+1, 即 2(an+1+an)=+12 2=(an+1+an)(an+1-an). 由于 an0,可得 an+1-an=2. 又12+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去),a1=3. 所以an是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1. 6 分 (2)由 an=2n+1 可知 bn=1+1=1(2+1)(2+3)=12(12+112+3). 设数列bn的前 n 项和为 tn,则 tn=b1+b2+bn =12

13、(1315) + (1517) + + (12+112+3) =3(2+3). 12 分 18.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,理 18) 8 / 13 如图,四边形 abcd 为菱形,abc=120 ,e,f是平面 abcd 同一侧的两点,be平面 abcd,df平面abcd,be=2df,aeec. (1)证明:平面 aec平面 afc; (2)求直线 ae与直线 cf所成角的余弦值. 解: (1)连结 bd,设 bdac=g,连结 eg,fg,ef. 在菱形 abcd 中,不妨设 gb=1. 由abc=120 ,可得 ag=gc=3. 由 be平面 abcd,ab=bc,可

14、知 ae=ec. 又 aeec,所以 eg=3,且 egac. 在 rtebg 中,可得 be=2,故 df=22. 在 rtfdg 中,可得 fg=62. 在直角梯形 bdfe中,由 bd=2,be=2,df=22,可得 ef=322. 从而 eg2+fg2=ef2,所以 egfg. 又 acfg=g,可得 eg平面 afc. 因为 eg平面 aec,所以平面 aec平面 afc. 6 分 (2)如图,以 g 为坐标原点,分别以 , 的方向为 x 轴、y 轴正方向,| |为单位长,建立空间直角坐标系 g-xyz. 由(1)可得 a(0,-3,0),e(1,0,2),f(1,0,22),c(0

15、,3,0), 所以 =(1,3,2), = (1,3,22). 10 分 故 cos= | | |=-33. 所以直线 ae与直线 cf 所成角的余弦值为33. 12 分 9 / 13 19.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,理 19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. x y w i=18(xi-x)2 i=18(wi-w)2 i=18(xi-x)(yi-y) i=18(

16、wi-w)(yi-y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi=, =18=18wi. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? 年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2

17、),(un,vn),其回归直线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=1()()=1()2,= . 解:(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型. 2 分 (2)令 w=,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于=18()()=18()2=108.81.6=68, = =563-686.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为=100.6+68. 6 分 (3)由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 =100.6+6849=576.6, 10 / 13 年

18、利润 z 的预报值=576.60.2-49=66.32. 9 分 根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 =0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12. 所以当 =13.62=6.8,即 x=46.24 时,取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 12 分 20.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,理 20)在直角坐标系 xoy 中,曲线 c:y=24与直线 l:y=kx+a(a0)交于 m,n两点. (1)当 k=0 时,分别求 c 在点 m 和 n 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 p,使得当 k 变动时,总有opm=opn

19、?说明理由. 解:(1)由题设可得 m(2,a),n(-2,a),或 m(-2,a),n(2,a). 又 y=2,故 y=24在 x=2处的导数值为,c 在点(2,a)处的切线方程为 y-a=(x-2),即x-y-a=0. y=24在 x=-2处的导数值为-,c 在点(-2,a)处的切线方程为 y-a=-(x+2),即x+y+a=0. 故所求切线方程为x-y-a=0 和x+y+a=0. 5 分 (2)存在符合题意的点,证明如下: 设 p(0,b)为符合题意的点,m(x1,y1),n(x2,y2),直线 pm,pn 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入 c 的方程得 x2-4kx-

20、4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而 k1+k2=11+22 =212+()(1+2)12=(+). 当 b=-a 时,有 k1+k2=0,则直线 pm 的倾角与直线 pn 的倾角互补, 故opm=opn,所以点 p(0,-a)符合题意. 12 分 21.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,理 21)已知函数 f(x)=x3+ax+14,g(x)=-ln x. (1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (2)用 minm,n表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论 h(x)零点的个数. 解:(1)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点(x0,0),则 f(x0)=0,f(x0)=0, 即03+ 0+14= 0,302+ = 0. 解得 x0=12,a=-34. 因此,当 a=-34时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线. 5 分 11 / 13 (2)当 x(1,+)时,g(x)=-ln x0,从而 h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故 h(x)在(1,+)无零点. 当 x=1 时,若 a-54,则 f(1)=a+540,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故 x=1 是