2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)

1、1 / 12 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 山东理科数学 本试卷分第卷和第卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第卷每小题选出答案后,用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如

2、需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 a,b互斥,那么 p(a+b)=p(a)+p(b). 第卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 山东,理 1)已知集合 a=x|x2-4x+30,b=x|2x4,则 ab=( ) a.(1,3) b.(1,4) c.(2,3) d.(2,4) 答案:c 解析: a=x|x2-4x+30

3、=x|1x3,b=x|2x4,结合数轴,知 ab=x|2x3. 2.(2015 山东,理 2)若复数 z 满足1i=i,其中 i 为虚数单位,则 z=( ) a.1-i b.1+i c.-1-i d.-1+i 答案:a 解析:1i=i,=i(1-i)=i-i2=1+i.z=1-i. 3.(2015 山东,理 3)要得到函数 y=sin(4 3)的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象( ) 2 / 12 a.向左平移12个单位 b.向右平移12个单位 c.向左平移3个单位 d.向右平移3个单位 答案:b 解析:y=sin(4 3)=sin4( 12),只需将函数 y=sin 4x 的图象向

4、右平移12个单位即可. 4.(2015 山东,理 4)已知菱形 abcd 的边长为 a,abc=60 ,则 =( ) a.-32a2 b.-34a2 c.34a2 d.32a2 答案:d 解析:如图设 =a, =b. 则 =( + ) =(a+b) a=a2+a b=a2+a a cos 60 =a2+12a2=32a2. 5.(2015 山东,理 5)不等式|x-1|-|x-5|2 的解集是 ( ) a.(-,4) b.(-,1) c.(1,4) d.(1,5) 答案:a 解析:当 x1 时,不等式可化为(1-x)-(5-x)2,即-42,满足题意; 当 1x5 时,不等式可化为(x-1)-

5、(5-x)2,即 2x-62,解得 1x4; 当 x5 时,不等式可化为(x-1)-(x-5)2,即 42,不成立. 故原不等式的解集为(-,4). 6.(2015 山东,理 6)已知 x,y 满足约束条件 0, + 2, 0.若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=( ) a.3 b.2 c.-2 d.-3 答案:b 解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示. 3 / 12 线性目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z. 设直线 l0:ax+y=0. 当-a1,即 a-1 时,l0过 o(0,0)时,z 取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意; 当 0-a1,即-1a0 时,l0

6、过 b(1,1)时,z 取得最大值,zmax=a+1=4,a=3(舍去); 当-1-a0 时,即 0a1 时,l0过 b(1,1)时,z 取得最大值,zmax=2a+1=4,a=32(舍去); 当-a-1,即 a1 时,l0过 a(2,0)时,z 取得最大值,zmax=2a+0=4,a=2. 综上,a=2 符合题意. 7.(2015 山东,理 7)在梯形 abcd 中,abc=2,adbc,bc=2ad=2ab=2.将梯形 abcd 绕 ad 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) a.23 b.43 c.53 d.2 答案:c 解析:由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥

7、.v圆柱=122=2,v圆锥=13121=3.v几何体=v圆柱-v圆锥=2-3=53. 8.(2015 山东,理 8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 n(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附:若随机变量 服从正态分布 n(,2),则 p(-+)=68.26%,p(-2+2)=95.44%.) a.4.56% b.13.59% c.27.18% d.31.74% 答案:b 解析:由正态分布 n(0,32)可知, 落在(3,6)内的概率为(2+2)(+)2 =95.44%68.26%2=13.59%. 9.(2015 山东,理 9)一条光

8、线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) a.-53或-35 b.-32或-23 c.-54或-45 d.-43或-34 答案:d 解析:如图,作出点 p(-2,-3)关于 y 轴的对称点 p0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点 p0.故设反射光线为 y=k(x-2)-3,即 kx-y-2k-3=0.圆心到直线的距离 d=|3223|1+2=1,解得 k=-43或 k=-34. 4 / 12 10.(2015 山东,理 10)设函数 f(x)=3 1, 1,2, 1.则满足 f(f(a)=2f(a

9、)的 a 的取值范围是( ) a.23,1 b.0,1 c.23,+) d.1,+) 答案:c 解析:当 a=2 时,f(2)=4,f(f(2)=f(4)=24,显然 f(f(2)=2f(2),故排除 a,b. 当 a=23时,f(23)=323-1=1,f(23)=f(1)=21=2. 显然 f( (23) = 2(23).故排除 d. 综上,选 c. 第卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2015 山东,理 11)观察下列各式: c10=40; c30+ c31=41; c50+ c51+ c52=42; c70+ c71+ c72

10、+ c73=43; 照此规律,当 nn*时,c210+ c211+ c212+c211= . 答案:4n-1 解析:观察各式有如下规律:等号左侧第 n 个式子有 n 项,且上标分别为 0,1,2,n-1,第 n行每项的下标均为 2n-1. 等号右侧指数规律为 0,1,2,n-1.所以第 n 个式子为c210+ c211+ c212+c211=4n-1. 12.(2015 山东,理 12)若“x0,4,tan xm”是真命题,则实数 m 的最小值为 . 答案:1 解析:由题意知 m(tan x)max. x0,4,tan x0,1, m1.故 m 的最小值为 1. 5 / 12 13.(2015

11、 山东,理 13)执行下边的程序框图,输出的 t 的值为 . 答案:116 解析:初始 n=1,t=1. 又 10 xndx=1+1xn+1|01=1+1, n=13,t=1+11+1=32,n=1+1=2; n=23,t=32+12+1=116,n=2+1=3; n=3,不满足“n0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则 a+b= . 答案:-32 解析:f(x)=ax+b 是单调函数, 当 a1 时,f(x)是增函数,1+ = 1,0+ = 0,无解. 当 0a0,b0)的渐近线与抛物线 c2:x2=2py(p0)交于点 o,a,b.若oab的垂心为 c2的焦点,则 c1的离心率为 . 答

12、案:32 解析:双曲线的渐近线为 y=x.由 =,2= 2,得 a(2,222). 6 / 12 由 = ,2= 2,得 b(2,222). f(0,2)为oab的垂心,kaf kob=-1. 即222220 ()=-1,解得22=54, 22=94,即可得 e=32. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分)(2015 山东,理 16)设 f(x)=sin xcos x-cos2( +4). (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角abc 中,角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c.若 f(2)=0,a=1,求abc 面积的最大值. 解:(1)由题

13、意知 f(x)=sin221+cos(2+2)2=sin221sin22=sin 2x-12. 由-2+2k2x2+2k,kz,可得-4+kx4+k,kz; 由2+2k2x32+2k,kz,可得4+kx34+k,kz.所以 f(x)的单调递增区间是4+ ,4+ (kz); 单调递减区间是4+ ,34+ (kz). (2)由 f(2)=sin a-12=0,得 sin a=12, 由题意知 a为锐角,所以 cos a=32. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos a, 可得 1+3bc=b2+c22bc, 即 bc2+3,且当 b=c 时等号成立. 因此12bcsin a2+34. 所以a

14、bc 面积的最大值为2+34. 17.(本小题满分 12 分)(2015 山东,理 17)如图,在三棱台 def-abc 中,ab=2de,g,h 分别为 ac,bc 的中点. (1)求证:bd平面 fgh; (2)若 cf平面 abc,abbc,cf=de,bac=45 ,求平面 fgh 与平面 acfd 所成的角(锐角)的大小. 7 / 12 (1) 证法一:连接 dg,cd,设 cdgf=o,连接 oh. 在三棱台 def-abc 中,ab=2de,g 为 ac 的中点,可得 dfgc,df=gc,所以四边形 dfcg 为平行四边形. 则 o 为 cd 的中点, 又 h 为 bc 的中点

15、,所以 ohbd,又 oh平面 fgh,bd平面 fgh,所以 bd平面 fgh. 证法二:在三棱台 def-abc 中,由 bc=2ef,h 为 bc 的中点,可得 bhef,bh=ef,所以四边形 bhfe为平行四边形. 可得 behf. 在abc 中,g 为 ac 的中点,h 为 bc 的中点,所以 ghab. 又 ghhf=h,所以平面 fgh平面 abed. 因为 bd平面 abed, 所以 bd平面 fgh. (2)解法一:设 ab=2,则 cf=1. 在三棱台 def-abc 中,g 为 ac 的中点,由 df=12ac=gc,可得四边形 dgcf 为平行四边形,因此 dgfc.

16、 又 fc平面 abc, 所以 dg平面 abc. 在abc 中,由 abbc,bac=45 ,g 是 ac 中点,所以 ab=bc,gbgc,因此 gb,gc,gd 两两垂直. 以 g 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 g-xyz. 所以 g(0,0,0),b(2,0,0),c(0,2,0),d(0,0,1). 可得 h(22,22,0),f(0,2,1), 故 = (22,22,0), =(0,2,1). 设 n=(x,y,z)是平面 fgh 的一个法向量, 8 / 12 则由 = 0, = 0,可得 + = 0,2 + = 0. 可得平面 fgh 的一个法向量 n=(1,-1,2

17、). 因为 是平面 acfd 的一个法向量, =(2,0,0), 所以 cos= | |=222=12. 所以平面 fgh 与平面 acfd 所成角(锐角)的大小为 60 . 解法二:作 hmac 于点 m,作 mngf于点 n,连接 nh. 由 fc平面 abc,得 hmfc, 又 fcac=c, 所以 hm平面 acfd. 因此 gfnh, 所以mnh 即为所求的角. 在bgc 中,mhbg,mh=12bg=22, 由gnmgcf,可得=,从而 mn=66. 由 hm平面 acfd,mn平面 acfd,得 hmmn,因此 tanmnh= 3, 所以mnh=60 . 所以平面 fgh 与平面

18、 acfd 所成角(锐角)的大小为 60 . 18.(本小题满分 12 分)(2015 山东,理 18)设数列an的前 n 项和为 sn .已知 2sn=3n+3. (1)求an的通项公式; (2)若数列bn满足 anbn=log3an,求bn的前 n 项和 tn. 解:(1)因为 2sn=3n+3, 所以 2a1=3+3,故 a1=3, 当 n1 时,2sn-1=3n-1+3, 此时 2an=2sn-2sn-1=3n-3n-1=23n-1,即 an=3n-1,所以 an=3, = 1,31, 1. (2)因为 anbn=log3an,所以 b1=13, 当 n1 时,bn=31-nlog33

19、n-1=(n-1) 31-n. 9 / 12 所以 t1=b1=13; 当 n1 时,tn=b1+b2+b3+bn=13+(13-1+23-2+(n-1)31-n), 所以 3tn=1+(130+23-1+(n-1)32-n), 两式相减,得 2tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=23+131131-(n-1)31-n=1366+323, 所以 tn=13126+343. 经检验,n=1 时也适合. 综上可得 tn=13126+343. 19.(本小题满分 12 分)(2015 山东,理 19)若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数字大

20、于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得-1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分 x 的分布列和数学期望 ex. 解:(1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345; (2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为c93=8

21、4, 随机变量 x的取值为:0,-1,1,因此 p(x=0)=c83c93=23,p(x=-1)=c42c93=114,p(x=1)=1-11423=1142. 所以 x的分布列为 x 0 -1 1 p 23 114 1142 则 ex=023+(-1)114+11142=421. 20.(本小题满分 13 分)(2015 山东,理 20)平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的离心率为32,左、右焦点分别是 f1,f2.以 f1为圆心以 3 为半径的圆与以 f2为圆心以 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 c 上. (1)求椭圆 c 的方程; (2)设椭圆 e:24

22、2+242=1,p为椭圆 c 上任意一点.过点 p的直线 y=kx+m 交椭圆 e于 a,b 两点,射线 po 交椭圆 e于点 q. 求|的值; 求abq 面积的最大值. 解:(1)由题意知 2a=4,则 a=2. 10 / 12 又=32,a2-c2=b2,可得 b=1,所以椭圆 c 的方程为24+y2=1. (2)由(1)知椭圆 e 的方程为216+24=1. 设 p(x0,y0),|=,由题意知 q(-x0,-y0). 因为024+ 02=1,又(0)216+(0)24=1, 即24(024+ 02)=1,所以 =2,即|=2. 设 a(x1,y1),b(x2,y2), 将 y=kx+m 代入椭圆 e 的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 由 0,可得 m24+16k2. 则有 x1+x2=-81+42,x1x2=42161+42. 所以|x1-x2|=4162+421+42. 因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m), 所以oab的面积 s=12|m|x1-x2|=2162+42|1+42=2(162+42)21+42=2(4 21+42)21+42. 设21+42=t. 将 y=kx+m 代入椭圆 c 的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由 0,可得 m21