2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(广东卷) (2)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2b铅笔将试卷类型(a)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准

2、使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:样本数据x1,x2,xn的方差s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中x表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,理1)若集合m=x|(x+4)(x+1)=0,n=x|(x-4)(x-1)=0,则mn=()a.1,4b.-1,-4c.0d.答案:d解析:由题意

3、知集合m=-4,-1,n=4,1,m和n没有相同的元素.故mn=.2.(2015广东,理2)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=()a.2-3ib.2+3ic.3+2id.3-2i答案:a解析:因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2-3i.3.(2015广东,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()a.y=1+x2b.y=x+1xc.y=2x+12xd.y=x+ex答案:d解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=1+x2,y=2x+12x为偶函数,y=x+1x为奇函数,所以排除选项a,b,c.故选d.4.(2015广东,理4)袋中共有15个除了颜色外

4、完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()a.521b.1021c.1121d.1答案:b解析:从15个球中任取2个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为c101c51c152=10×515×7=1021.5.(2015广东,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()a.2x+y+5=0或2x+y-5=0b.2x+y+5=0或2x+y-5=0c.2x-y+5=0或2x-y-5=0d.2x-y+5=0或2x-y-

5、5=0答案:a解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m1),因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为5,所以|m|5=5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.6.(2015广东,理6)若变量x,y满足约束条件4x+5y8,1x3,0y2,则z=3x+2y的最小值为()a.4b.235c.6d.315答案:b解析:作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-32x+z2.z2指的是直线y=-32x+z2在y轴上的截距,根据图形可知当直线y=-32x+z2通过点

6、a时,可使z2取得最小值,即z取得最小值.易知点a的坐标为1,45,所以zmin=3×1+2×45=235.7.(2015广东,理7)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为f2(5,0),则双曲线c的方程为()a.x24-y23=1b.x29-y216=1c.x216-y29=1d.x23-y24=1答案:c解析:因为双曲线c的右焦点为f2(5,0),所以c=5.因为离心率e=ca=54,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线c的方程为x216-y29=1.8.(2015广东,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的

7、取值()a.至多等于3b.至多等于4c.等于5d.大于5答案:b解析:特殊值法.当n=3时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故n=3符合;当n=4时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故n=4符合.由此可以排除选项a,c,d.故选b.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(913题)9.(2015广东,理9)在(x-1)4的展开式中,x的系数为. 答案:6解析:该二项展开式的通项为tr+1=c4r(x)4-r(-1)r,当x的指数为1时,4-r=2,解得r=2.故t3=c42(x)2(-1)2=6x,即x的系数为6.10.(2015

8、广东,理10)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=. 答案:10解析:根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.11.(2015广东,理11)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c.若a=3,sin b=12,c=6,则b=. 答案:1解析:由sin b=12解得b=6或b=56.根据三角形内角和定理,舍去b=56,所以b=6,a=23.根据正弦定理asina=bsinb,得3sin23=bsin6,解得b=1.12.(2015广东,理12)某高三毕业

9、班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答) 答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有a402=40×39=1 560条毕业留言.13.(2015广东,理13)已知随机变量x服从二项分布b(n,p).若e(x)=30,d(x)=20,则p=. 答案:13解析:根据二项分布的均值、方差公式,得e(x)=np=30,d(x)=np(1-p)=20,解得p=13.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2sin-4=2,点a

10、的极坐标为a22,74,则点a到直线l的距离为. 答案:522解析:2sin-4=2,即2sin cos4-2cos sin4=2,将其化为直角坐标方程为y-x=1.又点a的直角坐标为22cos74,22sin74=(2,-2),所以点a(2,-2)到直线y-x=1的距离d=52=522.15.(2015广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知ab是圆o的直径,ab=4,ec是圆o的切线,切点为c,bc=1,过圆心o作bc的平行线,分别交ec和ac于点d和点p,则od=. 答案:8解析:设od交劣弧ac于点m,由opbc,得op=12,p为ac的中点,pm=32.由切

11、割线定理得dc2=dm·(dm+4).在abc中,ac为直角边,且ac=ab2-bc2=42-12=15,所以cp=152.在rtdcp中,dc2=(dm+pm)2+cp2,联立可求得dm=6,所以od=8.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,理16)在平面直角坐标系xoy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x0,2.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为3,求x的值.解:(1)m=22,-22,n=(sin x,cos x),且mn,m·n=22

12、,-22·(sin x,cos x)=22sin x-22cos x=sinx-4=0.又x0,2,x-4-4,4.x-4=0,即x=4.tan x=tan4=1.(2)由(1)和已知得cos3=m·n|m|·|n|=sinx-4222+-222·sin2x+cos2x=sinx-4=12,又x-4-4,4,x-4=6,即x=512.17.(本小题满分12分)(2015广东,理17)某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1401036192728342441131204329393401238214130434

13、41133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为4

14、4,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,方差s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=1942+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2=1009.(3)由(2)知s=103,所以x-s=3623,x+s=4313.因为年龄在x-s与x+s之间共有23人,所以其所占的百分比是233663.89%.18.(本小题满分14分)(201

15、5广东,理18)如图,三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直,pd=pc=4,ab=6,bc=3,点e是cd边的中点,点f,g分别在线段ab,bc上,且af=2fb,cg=2gb.(1)证明:pefg;(2)求二面角p-ad-c的正切值;(3)求直线pa与直线fg所成角的余弦值.(1)证明:pd=pc,且点e为cd边的中点,pedc.又平面pdc平面abcd,且平面pdc平面abcd=cd,pe平面pdc,pe平面abcd.又fg平面abcd,pefg.(2)解:四边形abcd是矩形,addc.又平面pdc平面abcd,且平面pdc平面abcd=cd,ad平面abcd,ad平面p

16、dc.pd平面pdc,adpd.pdc即为二面角p-ad-c的平面角.在rtpde中,pd=4,de=12ab=3,pe=pd2-de2=7,tanpdc=pede=73,即二面角p-ad-c的正切值为73.(3)解:如图所示,连接ac,af=2fb,cg=2gb,即affb=cggb=2,acfg,pac即为直线pa与直线fg所成的角或其补角.在pac中,pa=pd2+ad2=5,ac=ad2+cd2=35.由余弦定理可得cospac=pa2+ac2-pc22pa·ac=52+(35)2-422×5×35=9525,直线pa与直线fg所成角的余弦值为9525.1

17、9.(本小题满分14分)(2015广东,理19)设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-,+)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点p处的切线与x轴平行,且在点m(m,n)处的切线与直线op平行(o是坐标原点),证明:m3a-2e-1.解:(1)由题意可知函数f(x)的定义域为r,f'(x)=(1+x2)'ex+(1+x2)(ex)'=(1+x)2ex0,故函数f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.(2)a>1,f(0)=1-a<0,且f(a)=(1+a2)ea-a>

18、1+a2-a>2a-a=a>0.函数f(x)在区间(0,a)上存在零点.又由(1)知函数f(x)在(-,+)上单调递增,函数f(x)在(-,+)上仅有一个零点.(3)由(1)及f'(x)=0,得x=-1.又f(-1)=2e-a,即p-1,2e-a,kop=2e-a-0-1-0=a-2e.又f'(m)=(1+m)2em,(1+m)2em=a-2e.令g(m)=em-m-1,则g'(m)=em-1,由g'(m)>0,得m>0,由g'(m)<0,得m<0.函数g(m)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.g(m)m

19、in=g(0)=0,即g(m)0在r上恒成立,即emm+1.a-2e=(1+m)2em(1+m)2(1+m)=(1+m)3,即3a-2e1+m.故m3a-2e-1.20.(本小题满分14分)(2015广东,理20)已知过原点的动直线l与圆c1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点a,b.(1)求圆c1的圆心坐标;(2)求线段ab的中点m的轨迹c的方程;(3)是否存在实数k,使得直线l:y=k(x-4)与曲线c只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,从而可知圆c1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段ab的中点

20、m(x,y),由弦的性质可知c1mab,即c1mom.故点m的轨迹是以oc1为直径的圆,该圆的圆心为c32,0,半径r=12|oc1|=12×3=32,其方程为x-322+y2=322,即x2+y2-3x=0.又因为点m为线段ab的中点,所以点m在圆c1内,所以(x-3)2+y2<2.又x2+y2-3x=0,所以可得x>53.易知x3,所以53<x3.所以线段ab的中点m的轨迹c的方程为x2+y2-3x=053<x3.(3)存在实数k满足题意.由(2)知点m的轨迹是以c32,0为圆心,32为半径的圆弧ef(如图所示,不包括两个端点),且e53,253,f53,-253.又直线l:y=k(x-4)过定点d(4,0),当直线l与圆c相切时,由k32-4-0k2+1=32,得k=±34.又kde=-kdf=-0-2534-53=257,结合上图可知当k-34,34-257,257时,直线l:y=k(x-4)与曲线c只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,理21)数列an满足:a1+2a2+nan=4-n+22n-1,nn*.(1)求a3的值;(2)求数列an的前n项和tn;(3)令b1=a1,bn=tn