2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷) (2)

1、1 / 12 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(天天津津) 理科数学理科数学 1.(2017 天津,理 1)设集合 a=1,2,6,b=2,4,c=xr|-1x5,则(ab)c=( ) a.2 b.1,2,4 c.1,2,4,6 d.xr|-1x5 解析a=1,2,6,b=2,4,ab=1,2,4,6. c=xr|-1x5,(ab)c=1,2,4.故选 b. 答案 b 2.(2017 天津,理 2)设变量 x,y 满足约束条件2 + 0, + 2-2 0, 0, 3,则目标函数 z=x+y的最大值为( ) a.23 b.1 c.32 d.3 解析由约束条件

2、可得可行域如图阴影部分所示. 目标函数 z=x+y 可化为 y=-x+z. 作直线 l0:y=-x,平行移动直线 y=-x,当直线过点 a(0,3)时,z 取得最大值,最大值为 3.故选 d. 答案 d 3.(2017 天津,理 3)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 24,则输出 n 的值为( ) 2 / 12 a.0 b.1 c.2 d.3 解析运行程序,当输入 n 的值为 24时,24 能被 3整除,所以 n=8. 因为 83 不成立,且 8不能被 3整除,所以 n=7. 因为 73 不成立,且 7不能被 3整除,所以 n=6. 因为 63 不成立,且 6能被 3整除

3、,所以 n=2. 因为 23,所以输出 n=2.故选 c. 答案 c 4.(2017 天津,理 4)设 r,则“|-12| 12”是“sin 12”的( ) a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 解析当|-12| 12时,06,0sin 12. “|-12| 12”是“sin 12”的充分条件. 当 =-6时,sin =-1212,但不满足|-12| 12. “|-12| 12”不是“sin 12”的必要条件. “|-12| 12”是“sin 0,b0)的左焦点为 f,离心率为2,若经过 f和 p(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲

4、线的方程为( ) a.2424=1 b.2828=1 c.2428=1 d.2824=1 解析设双曲线半焦距为 c(c0), 则双曲线2222=1(a0,b0)的左焦点 f的坐标为(-c,0),渐近线方程为 y=x. 点 p的坐标为(0,4),直线 pf的斜率为 k=4. 由题意得4=. 3 / 12 双曲线的离心率为2,= 2. 在双曲线中,a2+b2=c2, 联立解得 a=b=22,c=4. 所求双曲线的方程为2828=1.故选 b. 答案 b 6.(2017 天津,理 6)已知奇函数 f(x)在 r 上是增函数,g(x)=xf(x).若 a=g(-log25.1),b=g(20.8),c

5、=g(3),则a,b,c的大小关系为( ) a.abc b.cba c.bac d.bc0 时,f(x)0,f(x)0. 当 x0 时,g(x)=f(x)+xf(x)0 恒成立, g(x)在(0,+)上是增函数. 2log25.13,120.82,20.8log25.13. 结合函数 g(x)的性质得 ba0,|2,11858142, 所以231.所以排除 c,d. 当 =23时,f(58)=2sin(5823+ ) =2sin(512+ )=2, 4 / 12 所以 sin(512+ )=1. 所以512+=2+2k,即 =12+2k(kz). 因为| 1.设 ar,若关于 x的不等式 f(

6、x)|2+ |在 r 上恒成立,则 a的取值范围是( ) a.-4716,2 b.-4716,3916 c.-23,2 d.-23,3916 解析由函数 f(x)=2- + 3, 1, +2, 1易知 f(x)0 恒成立. 关于 x的不等式 f(x)|2+ |在 r 上恒成立, 关于 x的不等式-f(x)2+af(x)在 r 上恒成立, 即关于 x的不等式-f(x)-2af(x)-2在 r 上恒成立. 设 p(x)=f(x)-2,则 p(x)=2-32 + 3, 1,2+2, 1. 当 x1 时,p(x)=x2-32x+3=(-34)2+3916, 当 x1时,p(x)min=3916. 当

7、x1时,p(x)=2+2222=2,当且仅当2=2,即 x=2 时,取等号, 当 x1 时,p(x)min=2. 39162,p(x)min=2. 设 q(x)=-f(x)-2, 则 q(x)=-2+2-3, 1,-32-2, 1. 当 x1 时,q(x)=-x2+2-3=-(-14)24716,当 x1时,q(x)max=-4716. 当 x1时,q(x)=-322=-(32+2)-23,当且仅当32=2,即 x=233时,取等号. 5 / 12 当 x1 时,q(x)max=-23. -4716-23,q(x)max=-4716. 关于 x的不等式-f(x)-2af(x)-2在 r 上恒成

8、立,-4716a2.故选 a. 答案 a 9.(2017 天津,理 9)已知 ar,i为虚数单位,若-i2+i为实数,则 a的值为 . 解析-i2+i=(-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2-15+25i为实数, -+25=0,即 a=-2. 答案-2 10.(2017 天津,理 10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18,则这个球的体积为 . 解析设正方体的棱长为 a,外接球的半径为 r,则 2r=3a. 正方体的表面积为 18,6a2=18. a=3,r=32. 该球的体积为 v=43r3=43278=92. 答案92 11.(2017 天津,理 11)在

9、极坐标系中,直线 4cos(-6)+1=0与圆 =2sin 的公共点的个数为 . 解析4cos(-6)+1=0,展开得 23cos +2sin +1=0, 直线的直角坐标方程为 23x+2y+1=0. =2sin 两边同乘 得 2=2sin , 圆的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径 r=1. 圆心到直线的距离 d=|230+21+1|(23)2+22=340,则4+44+1的最小值为 . 解析a,br,且 ab0, 6 / 12 4+44+1422+1=4ab+1 4(当且仅当2= 22,4 =1,即2=22,2=24时取等号). 答案 4 13.(2017 天津,

10、理 13)在abc 中,a=60,ab=3,ac=2.若 =2 , = (r),且 =-4,则 的值为 . 解析 =2 , = + = +23 = +23( )=23 +13 . 又 = ,a=60,ab=3,ac=2, =-4. =3 212=3,(23 +13 ) ( )=-4, 即23 213 2+ (3-23) =-4, 23 4-13 9+(3-23) 3=-4,即113-5=-4,解得 =311. 答案311 14.(2017 天津,理 14)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 解析没有

11、一个数字是偶数的四位数有a54=120个; 有且只有一个数字是偶数的四位数有c41c53a44=960个. 所以至多有一个数字是偶数的四位数有 120+960=1 080个. 答案 1 080 15.(2017 天津,理 15)在abc 中,内角 a,b,c 所对的边分别为 a,b,c,已知 ab,a=5,c=6,sin b=35. (1)求 b和 sin a 的值; (2)求 sin(2 +4)的值. 解(1)在abc 中,因为 ab, 故由 sin b=35,可得 cos b=45. 由已知及余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos b=13, 所以 b=13. 由正弦定理sin=si

12、n, 得 sin a=sin=31313. 7 / 12 所以,b 的值为13,sin a的值为31313. (2)由(1)及 ac,得 cos a=21313, 所以 sin 2a=2sin acos a=1213, cos 2a=1-2sin2a=-513. 故 sin(2 +4)=sin 2acos4+cos 2asin4=7226. 16.(2017 天津,理 16)从甲地到乙地要经过 3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14. (1)记 x 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量 x的分布列和数学期望; (2)若有 2 辆车独

13、立地从甲地到乙地,求这 2 辆车共遇到 1个红灯的概率. 解(1)随机变量 x 的所有可能取值为 0,1,2,3. p(x=0)=(1-12) (1-13) (1-14) =14, p(x=1)=12 (1-13) (1-14) + (1-12) 13 (1-14) + (1-12) (1-13) 14=1124, p(x=2)=(1-12) 1314+12 (1-13) 14+1213 (1-14) =14, p(x=3)=121314=124. 所以,随机变量 x的分布列为 x 0 1 2 3 p 14 1124 14 124 随机变量 x的数学期望 e(x)=014+11124+214+

14、3124=1312. (2)设 y表示第一辆车遇到红灯的个数,z表示第二辆车遇到红灯的个数, 则所求事件的概率为 p(y+z=1)=p(y=0,z=1)+p(y=1,z=0) =p(y=0)p(z=1)+p(y=1)p(z=0) =141124+112414=1148. 所以,这 2辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148. 8 / 12 17.(2017 天津,理 17) 如图,在三棱锥 p-abc 中,pa底面 abc,bac=90,点 d,e,n分别为棱 pa,pc,bc 的中点,m 是线段 ad的中点,pa=ac=4,ab=2. (1)求证:mn平面 bde; (2)求二面角 c-em-

15、n的正弦值; (3)已知点 h 在棱 pa上,且直线 nh 与直线 be所成角的余弦值为721,求线段 ah 的长. 解如图,以 a为原点,分别以 , , 方向为 x轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系. 依题意可得 a(0,0,0),b(2,0,0),c(0,4,0),p(0,0,4),d(0,0,2),e(0,2,2),m(0,0,1),n(1,2,0). (1)证明: =(0,2,0), =(2,0,-2), 设 n=(x,y,z)为平面 bde的法向量, 则 = 0, = 0,即2 = 0,2-2 = 0. 不妨设 z=1,可得 n=(1,0,1). 又 =(1,2,-1),可得

16、n=0. 因为 mn平面 bde,所以 mn平面 bde. (2)易知 n1=(1,0,0)为平面 cem的一个法向量. 设 n2=(x,y,z)为平面 emn的法向量, 则2 = 0,2 = 0. 因为 =(0,-2,-1), =(1,2,-1), 所以-2- = 0, + 2- = 0. 不妨设 y=1,可得 n2=(-4,1,-2). 因此有 cos=12|1|2|=-421, 9 / 12 于是 sin=10521. 所以,二面角 c-em-n 的正弦值为10521. (3)依题意,设 ah=h(0h4),则 h(0,0,h),进而可得 =(-1,-2,h), =(-2,2,2). 由

17、已知,得|cos|=| | | |=|2-2|2+523=721, 整理得 10h2-21h+8=0,解得 h=85或 h=12. 所以,线段 ah 的长为85或12. 18.(2017 天津,理 18)已知an为等差数列,前 n 项和为 sn(nn*),bn是首项为 2 的等比数列,且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,s11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nb2n-1的前 n项和(nn*). 解(1)设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q. 由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12, 而 b1=2,所以 q2+q-6=

18、0. 又因为 q0,解得 q=2. 所以,bn=2n.由 b3=a4-2a1, 可得 3d-a1=8. 由 s11=11b4,可得 a1+5d=16, 联立,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2. 所以,数列an的通项公式为 an=3n-2,数列bn的通项公式为 bn=2n. (2)设数列a2nb2n-1的前 n项和为 tn,由 a2n=6n-2,b2n-1=2 4n-1,有 a2nb2n-1=(3n-1) 4n, 故 tn=2 4+5 42+8 43+(3n-1) 4n, 4tn=2 42+5 43+8 44+(3n-4) 4n+(3n-1) 4n+1, 上述两式相减,得 -3t

19、n=2 4+3 42+3 43+3 4n-(3n-1) 4n+1=12(1-4)1-4-4-(3n-1) 4n+1 =-(3n-2) 4n+1-8. 得 tn=3-23 4n+1+83. 所以,数列a2nb2n-1的前 n项和为3-23 4n+1+83. 19.(2017 天津,理 19)设椭圆22+22=1(ab0)的左焦点为 f,右顶点为 a,离心率为12,已知 a 是抛物线y2=2px(p0)的焦点,f到抛物线的准线 l的距离为12. 10 / 12 (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设 l上两点 p,q 关于 x轴对称,直线 ap 与椭圆相交于点 b(b异于点 a),直线 bq

20、与 x轴相交于点 d.若apd的面积为62,求直线 ap 的方程. 解(1)设 f的坐标为(-c,0). 依题意,=12,2=a,a-c=12, 解得 a=1,c=12,p=2,于是 b2=a2-c2=34. 所以,椭圆的方程为 x2+423=1,抛物线的方程为 y2=4x. (2)设直线 ap的方程为 x=my+1(m0),与直线 l的方程 x=-1联立,可得点 p(-1,-2), 故 q(-1,2). 将 x=my+1与 x2+423=1 联立,消去 x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得 y=0或 y=-632+4. 由点 b异于点 a,可得点 b(-32+432+4,-632+

21、4). 由 q(-1,2),可得直线 bq的方程为(-632+4-2)(x+1)-(-32+432+4+ 1)(-2)=0, 令 y=0,解得 x=2-3232+2,故 d(2-3232+2,0). 所以|ad|=1-2-3232+2=6232+2. 又因为apd的面积为62, 故126232+22|=62, 整理得 3m2-26|m|+2=0,解得|m|=63, 所以 m=63. 所以,直线 ap 的方程为 3x+6y-3=0 或 3x-6y-3=0. 20.(2017 天津,理 20)设 az,已知定义在 r 上的函数 f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点 x0,g(x)为 f(x)的导函数. (1)求 g(x)的单调区间; (2)设 m1,x0)(x0,2