2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷 (2)

1、1 / 12 绝密 启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 24 题,共 150 分,共 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2b铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔

2、描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知 z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是 (a)(-3,1) (b)(-1,3) (c)(1,+) (d)(-,-3) (2) 已知集合 a=1,2,3,b=x|(x+1)(x-2)0)的直线交 e于 a,m 两点,点 n在 e 上,mana. ()当 t=4,|am|=|an|时,求amn 的面积; ()当 2|am|=|an|时,求 k的取值范

3、围. (21)(本小题满分 12 分) 5 / 12 ()讨论函数 f(x)=-2+2ex的单调性,并证明当 x0时,(x-2)ex+x+20; ()证明:当 a0,1)时,函数 g(x)=e-2(x0)有最小值.设 g(x)的最小值为 h(a),求函数 h(a)的值域. 请考生在第 2224题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22) (本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,在正方形 abcd中,e,g分别在边 da,dc 上(不与端点重合),且 de=dg,过 d 点作 dfce,垂足为 f. ()证明:b,c,g,f四点共圆; ()若 ab=1,e为 da

4、 的中点,求四边形 bcgf 的面积. (23) (本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,圆 c的方程为(x+6)2+y2=25. ()以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 c的极坐标方程; ()直线 l的参数方程是 = cos, = sin,(t为参数),l与 c交于 a,b 两点,|ab|=10,求 l的斜率. (24) (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-12|+|x+12|,m 为不等式 f(x)2的解集. ()求 m; ()证明:当 a,bm时,|a+b| 0,-1 0,解得-3m1,故选

5、a. (2)c 由题意可知,b=x|-1x2 ,退出循环,输出 17.故选 c. (9)d 方法一:cos2(4-)=2cos2(4-)-1=2(35)2-1=-725, 且 cos2(4-)=cos(2-2)=sin 2 ,故选 d. 方法二:由 cos(4-) =35,得22cos +22sin =35, 即22(cos +sin )=35,两边平方得12(cos2+sin2+2cos sin )=925, 整理得 2sin cos =-725,即 sin 2=-725,故选 d. (10)c 利用几何概型 求解,由题意可知,14圆正方形=141212=,所以 =4. (11)a 因为 m

6、f1垂直于 x轴 ,所以|mf1|=2,|mf2|=2a+2.因为 sin mf2f1=13,所以|1|2|=22+2=13,化简得 b=a,故双曲线的离心率 e=1 +22= 2. (12)b 由 f(-x)=2-f(x),得 f(x)的图像关于点(0,1)对称 . 而 y=+1=1+1的图像是由 y=1的图像向上平移一个单位长度得到的, 故 y=+1的图像关于点(0,1)对称. 7 / 12 则函数 y=+1与 y=f(x)图像的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(xi,yi),(xi,yi)(i=1,2,m)满足 xi+xi=0 ,yi+yi=2 , 所以 =1(xi+yi)=

7、i=1mxi+ i=1myi=20+22=m. (13)2113 因为 cos a=45,cos c=513,且 a,c为abc 的内角,所以 sin a=35,sin c=1213,sin b=sin -(a+c)= sin (a+c)=sin acos c+cos asin c=6365 . 又因为sin=sin,所以 b=sinsin=2113. (14) 对于,若 mn,m,n,则 ,的位置关系无法确定,故错误;对于,因为 n,所以过直线 n作平面 与平面 相交于直线 c,则 nc.因为 m,所以 mc,所以 mn,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和

8、等角定理可知其正确,故正确 命题的编号有. (15)1和 3 由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和 2”或“1 和 3”.若丙的卡片上的数字是“1和 2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和 3”,甲的卡片上的数字是“1 和 3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1 和 3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2 和 3”,甲的卡片上的数字是“1 和 2”,此时与甲说的话矛盾. 综上可知,甲的卡片上的数字是“1 和 3”. (16)1-ln 2 对函数 y=ln x+2 求导,得 y=1,对函数 y=ln(x+1)求导,得 y=1+1.设直线 y=kx+b 与曲线

9、 y= ln x+2相切于点 p1(x1,y1),与曲线 y=ln(x+1)相切于点 p2(x2,y2) ,则 y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点 p1(x1,y1)在切线上,得 y-(ln x1+2)=11(x-x1),由点 p2(x2,y2)在切线上,得 y-ln(x2+1)=12+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以11=12+1,ln(2+ 1) = ln 1+22+1+ 1,解得 x1=12,所以 k=11=2,b=ln x1+2-1=1-ln 2. (17)解 ()设an的公差为 d,据已知有 7+21d=28,解得 d=1. 所以an的通项公式为 a

10、n=n . b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2. ()因为 bn=0,1 10,1,10 100,2,100 1 000,3, = 1 000, 所以数列bn的前 1 000 项和为 190+2900+31=1 893. (18)解 ()设 a表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 a发生当且仅当一年内出险次数大于 1 , 8 / 12 故 p(a)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. ()设 b 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”,则事件 b发生当且仅当一年内出险次数大于 3 , 故 p(b)=0.1+0.0

11、5=0.15. 又 p(ab)=p(b) , 故 p(b|a)=()() =()()=0.150.55=311. 因此所求概率为311. ()记续保人本年度的保费为 x,则 x 的分布列为 x 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a p 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 ex=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23. (19)解 ()由已知得 acbd,ad=cd. 又由 ae=cf 得=, 故 acef. 因此 efh

12、d,从而 efdh . 由 ab=5,ac=6 得 do=bo=2-2=4. 由 efac 得=14. 所以 oh=1,dh=dh=3. 于是 dh2+oh2=32+12=10=do2,故 dhoh. 又 dhef,而 ohef=h, 所以 dh平面 abcd. ()如图,以 h为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向 ,建立空间直角坐标系 h-xyz. 则 h(0,0,0),a(-3,-1,0),b(0,-5,0),c(3,-1,0),d(0,0,3), =(3,-4,0), =(6,0,0), =(3,1,3). 设 m=(x1,y1,z1)是平面 abd的法向量 , 9 / 12 则 = 0

13、, = 0,即31-41= 0,31+ 1+ 31= 0, 所以可取 m=(4,3,-5). 设 n=(x2,y2,z2)是平面 acd的法向量 , 则 = 0, = 0, 即62= 0,32+ 2+ 32= 0, 所以可取 n=(0,-3,1). 于是 cos=|=-145010=-7525. sin=29525. 因此二面角 b-da-c 的正弦值是29525. (20)解 ()设 m(x1,y1),则由题意知 y10. 当 t=4 时,e 的方程为24+23=1,a(-2,0). 由已知及椭圆的对称性 知,直线 am 的倾斜角为4. 因此直线 am的方程为 y=x+2. 将 x=y-2代

14、入24+23=1得 7y2-12y=0. 解得 y=0或 y=127,所以 y1=127. 因此amn 的面积 samn=212127127=14449. ()由题意 t3,k0,a(-,0). 将直线 am 的方程 y=k(x+)代入2+23=1 得(3+tk2)x2+2 tk2x+t2k2-3t=0. 由 x1 (-)=22-33+2得 x1=(3-2)3+2, 故|am|=|x1+|1 + 2 =6(1+2)3+2. 由题设,直线 an的方程为 y=-1(x+), 故同理可得|an|=6(1+2)32+. 由 2|am|=|an| 得23+2=32+, 10 / 12 即(k3-2)t=

15、3k(2k-1). 当 k=23时上式不成立,因此 t=3k(2k-1)k3-2. t3 等价于k3-2k2+k-2k3-2=(k-2)(k2+1)k3-20, 即k-2k3-2 0,k3-2 0或k-2 0,解得23kf(0)=-1. 所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20. ()g(x)=(-2)e+(+2)3=+23(f(x)+a). 由()知,f(x)+a 单调递增 . 对任意 a0,1),f(0)+a=a-10,f(2)+a=a0. 因此,存在唯一 xa(0,2 , 使得 f(xa)+a=0,即 g(xa)=0. 当 0 xxa时,f(x)+a0,g(x)xa时,f

16、(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增. 因此 g(x)在 x=xa处取得最小值 ,最小值为 g(xa)=e-(+1)2=e+()(+1)2=e+2. 于是 h(a)=e+2,由(e+2)=(+1)e(+2)20,e+2单调递增. 所以,由 xa(0,2,得12=e00+2h(a)=e+2e22+2=e24. 因为e+2单调递增,对任意 (12,e24,存在唯一的 xa(0,2,a=-f(xa)0,1), 使得 h(a)=. 所以 h(a)的值域是(12,e24. 综上,当 a0,1)时,g(x)有最小值 h(a),h(a)的值域是(12,e24. 11 / 12 (22)解 ()因为 d

17、fec, 所以defcdf , 则有gdf=def=fcb, =, 所以dgfcbf,由此可得dgf=cbf. 因此cgf+cbf=180 , 所以 b,c,g,f四点共圆. ()由 b,c,g,f四点共圆,cgcb知 fgfb .连结 gb. 由 g 为 rtdfc斜边 cd的中点,知 gf=gc. 故 rtbcgrtbfg , 因此,四边形 bcgf 的面积 s 是gcb面积 sgcb的 2倍,即 s=2sgcb=212121=12. (23)解 ()由 x=cos ,y=sin 可得圆 c的极坐标方程 2+12cos +11=0. ()在()中建立的极坐标系中,直线 l的极坐标方程为 =(r). 设 a,b所对应的极径分别为 1,2,将 l的极坐标方程代入 c的极坐标方程得 2+12cos +11=0. 于是 1+2=-12cos ,12=11. |ab|=|1-2| =(1+ 2)2-412 =144cos2-4