2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷) (2)

1、1 / 13 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(天津卷,理) 本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.第卷 1 至2 页,第卷 2 至 4 页. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共 8 小

2、题,每小题 5分,共 40分. 参考公式: 如果事件 a,b 互斥,那么 p(ab)=p(a)+p(b). 如果事件 a,b 相互独立,那么 p(ab)=p(a)p(b). 棱柱的体积公式 v=sh,其中 s表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式 v=13sh,其中 s表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集为 r,集合 a=x|0 x2,b=x|x1,则 a(rb)= a.x|0 x1 b.x|0 x1 c.x|1x2 d.x|0 x2 2.设变量 x,y 满足约束条件 + 5,2- 4,- + 1,

3、 0,则目标函数 z=3x+5y 的最大值为 a.6 b.19 c.21 d.45 3. 2 / 13 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入 n的值为 20,则输出 t 的值为 a.1 b.2 c.3 d.4 4.设 xr,则“|-12| 12”是“x3bc b.bac c.cba d.cab 6.将函数 y=sin(2 +5)的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数 a.在区间34,54上单调递增 b.在区间34,上单调递减 c.在区间54,32上单调递增 d.在区间32,2上单调递减 7.已知双曲线2222=1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲

4、线交于 a,b两点.设 a,b到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为 a.24212=1 b.21224=1 c.2329=1 d.2923=1 8. 3 / 13 如图,在平面四边形 abcd 中,abbc,adcd,bad=120 ,ab=ad=1.若点 e为边 cd 上的动点,则 的最小值为 a.2116 b.32 c.2516 d.3 第卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30分. 9.i是虚数单位,复数6+7i1+

5、2i= . 10.在(-12)5的展开式中,x2的系数为 . 11. 已知正方体 abcd-a1b1c1d1的棱长为 1,除面 abcd外,该正方体其余各面的中心分别为点e,f,g,h,m(如图),则四棱锥 m-efgh的体积为 . 12.已知圆 x2+y2-2x=0的圆心为 c,直线 = -1 +22, = 3-22(t为参数)与该圆相交于 a,b 两点,则abc的面积为 . 13.已知 a,br,且 a-3b+6=0,则 2a+18的最小值为 . 14.已知 a0,函数 f(x)=2+ 2 + , 0,-2+ 2-2, 0.若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解,则

6、a 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13分) 4 / 13 在abc中,内角 a,b,c 所对的边分别为 a,b,c.已知 bsin a=acos(-6). (1)求角 b的大小; (2)设 a=2,c=3,求 b和 sin(2a-b)的值. 16.(本小题满分 13分) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4人睡眠不足,3 人睡眠充足,

7、现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查. 用 x表示抽取的 3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 x 的分布列与数学期望; 设 a为事件“抽取的 3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 a 发生的概率. 17.(本小题满分 13分) 如图,adbc 且 ad=2bc,adcd,egad且 eg=ad,cdfg且 cd=2fg,dg平面abcd,da=dc=dg=2. 5 / 13 (1)若 m为 cf的中点,n为 eg 的中点,求证:mn平面 cde; (2)求二面角 e-bc-f的正弦值; (3)若点 p在线段 dg上,且直线 bp 与平面 adge所成的角为

8、60 ,求线段 dp的长. 18.(本小题满分 13分) 设an是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 sn(nn*),bn是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求an和bn的通项公式; (2)设数列sn的前 n项和为 tn(nn*), 求 tn; 证明 =1(+2)(+1)(+2)=2+2+2-2(nn*). 19.(本小题满分 14分) 设椭圆22+22=1(ab0)的左焦点为 f,上顶点为 b.已知椭圆的离心率为53,点 a的坐标为(b,0),且|fb| |ab|=62. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l:y=kx(k0)与椭圆

9、在第一象限的交点为 p,且 l与直线 ab 交于点 q.若|=524sinaoq(o为原点),求 k 的值. 20.(本小题满分 14分) 已知函数 f(x)=ax,g(x)=logax,其中 a1. 6 / 13 (1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间; (2)若曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线与曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线平行,证明 x1+g(x2)=-2ln lnln; (3)证明当 a e1e时,存在直线 l,使 l是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线. 数学(天津卷,理) 1.b b=x|x1,rb=x|x1.

10、a=x|0 x2,a(rb)=x|0 x1.故选 b. 2.c 作出不等式组 + 5,2- 4,- + 1, 0表示的平面区域如图阴影部分所示. 由 + = 5,- + = 1,解得点 a的坐标为(2,3). 由 z=3x+5y,得 y=-35x+5. 由图可知,当直线 y=-35x+5过点 a 时,5最大,即 z最大. 所以 z的最大值 zmax=32+53=21. 3.b 输入 n=20,i=2,t=0,此时202=10 是整数,t=1,i=3,不满足 i5;此时203不是整数,i=4,不满足i5;此时204=5 是整数,t=2,i=5,满足 i5,输出 t=2. 4.a 由|-12| 1

11、2,可得 0 x1.由 x31,可得 x1. 所以“|-12| 12”是“x3log2elog22=1,即ca1. 7 / 13 因为 y=ln x 在(0,+)上单调递增,且 b=ln 2, 所以 ln 2ln e=1,即 bab.故选 d. 6.a 将函数 y=sin(2 +5)的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin2(-10) +5=sin 2x. 当-2+2k2x2+2k,kz,即-4+kx4+k,kz 时,y=sin 2x 单调递增. 当2+2k2x32+2k,kz,即4+kx34+k,kz 时,y=sin 2x 单调递减, 结合选项,可知 y=sin 2

12、x在34,54上单调递增.故选 a. 7.c 由双曲线的对称性,不妨取渐近线 y=x.如图所示,|ad|=d1,|bc|=d2,过点 f作 efcd于点 e. 由题易知 ef 为梯形 abcd的中位线, 所以|ef|=12(d1+d2)=3. 又因为点 f(c,0)到 y=x 的距离为|-0|2+2=b,所以 b=3,b2=9. 因为 e=2,c2=a2+b2,所以 a2=3,所以双曲线的方程为2329=1.故选 c. 8.a 如图,取 ab 的中点 f,连接 ef. =( + )2-( - )24=(2 )2- 24=| |2-14. 当 efcd时,| |最小,即 取最小值. 过点 a作

13、ahef于点 h,由 adcd,efcd,可得 eh=ad=1,dah=90 . 8 / 13 因为dab=120 ,所以haf=30 . 在 rtafh中,易知 af=12,hf=14, 所以 ef=eh+hf=1+14=54. 所以( )min=(54)214=2116. 9.4-i 6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6-12i+7i+145=20-5i5=4-i. 10.52 (-12)5的展开式的通项为 tr+1=c5x5-r(-12)= c5x5-r(-12)-2= (-12)c55-32. 令 5-32=2,可得 r=2. 所以(-12)5的展开式

14、中的 x2的系数为(-12)2c52=52. 11.112 由题意可知,四棱锥 m-efgh 的底面 efgh 为正方形且边长为22,其高为12, 所以 v四棱锥m-efgh=13 (22)212=112. 12.12 由圆 c的方程为 x2+y2-2x=0,可得圆心为 c(1,0),半径为 1. 由 = -1 +22, = 3-22(t为参数),可得直线的普通方程为 x+y-2=0. 所以圆心 c(1,0)到直线 x+y-2=0 的距离 d=|1+0-2|1+1=22. 所以|ab|=21-(22)2= 2. 所以 sabc=12 |ab| d=12 2 22=12. 13.14 因为 2a

15、0,180, 所以 2a+18=2a+2-3b222-3=22-3, 当且仅当 a=-3,b=1时,等号成立. 因为 a-3b+6=0,所以 a-3b=-6. 所以 2a+1822-6=14,即 2a+18的最小值为14. 9 / 13 14.(4,8) 由 f(x)=ax,可得 当 x0 时,x2+2ax+a=ax,即 x2+ax+a=0,可得 a=-2+1. 由 a0,可得 x0时,-x2+2ax-2a=ax,即 x2-ax+2a=0,可得 a=2-2. 由 a0,可得 x2. 可设函数 h(x)=2-2,其中 x(2,+). 对 g(x)求导,可得 g(x)=-2+2(+1)2.令 g(

16、x)0,可得 x0,可得-2x-1,则 g(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,-1)上单调递增. 同理可得 h(x)在(2,4)上单调递减,在(4,+)上单调递增. 画出 g(x)和 h(x)的大致图象如图所示. 由图可知,满足题意的 a的取值范围是(4,8). 15.解 (1)在abc中,由正弦定理sin=sin,可得 bsin a=asin b.又由 bsin a=acos(-6),得 asin b=acos(-6),即 sin b=cos(-6),可得 tan b=3.又因为 b(0,),所以 b=3. (2)在abc中,由余弦定理及 a=2,c=3,b=3,有 b2=a2+c2-

17、2accos b=7,故 b=7. 由 bsin a=acos(-6),可得 sin a=37.因为 ac,故 cos a=27.因此 sin 2a=2sin acos a=437,cos 2a=2cos2a-1=17.所以,sin(2a-b)=sin 2acos b-cos 2asin b=437121732=3314. 16.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3人,2 人,2 人. (2)随机变量 x 的所有可能取值为 0,1,2,3. p(x=k)=c4c33-c73(k=0,

18、1,2,3). 所以,随机变量 x的分布列为 x 0 1 2 3 10 / 13 p 135 1235 1835 435 随机变量 x的数学期望 e(x)=0135+11235+21835+3435=127. 设事件 b为“抽取的 3人中,睡眠充足的员工有 1人,睡眠不足的员工有 2 人”;事件 c 为“抽取的 3人中,睡眠充足的员工有 2人,睡眠不足的员工有 1 人”,则 a=bc,且 b与 c互斥.由知,p(b)=p(x=2),p(c)=p(x=1),故 p(a)=p(bc)=p(x=2)+p(x=1)=67. 所以,事件 a发生的概率为67. 17. 解 依题意,可以建立以 d为原点,分

19、别以 , , 的方向为 x轴、y 轴、z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得 d(0,0,0),a(2,0,0),b(1,2,0),c(0,2,0),e(2,0,2),f(0,1,2),g(0,0,2),m(0,32,1),n(1,0,2). (1)证明:依题意 =(0,2,0), =(2,0,2). 设 n0=(x,y,z)为平面 cde的法向量, 则0 = 0,0 = 0, 即2 = 0,2 + 2 = 0,不妨令 z=-1,可得 n0=(1,0,-1).又 = (1,-32,1),可得 n0=0.又因为直线 mn平面 cde,所以 mn平面 cde. (2)依题意,可得 =(-1,

20、0,0), =(1,-2,2), =(0,-1,2). 设 n=(x,y,z)为平面 bce 的法向量,则 = 0, = 0,即- = 0,-2 + 2 = 0,不妨令 z=1,可得 n=(0,1,1). 设 m=(x,y,z)为平面 bcf 的法向量,则 = 0, = 0,即- = 0,- + 2 = 0,不妨令 z=1,可得 m=(0,2,1). 因此有 cos=|=31010,于是 sin=1010. 所以,二面角 e-bc-f的正弦值为1010. 11 / 13 (3)设线段 dp的长为 h(h0,2),则点 p的坐标为(0,0,h),可得 =(-1,-2,h).易知, =(0,2,0

21、)为平面 adge 的一个法向量,故|cos|=| | | |=22+5. 由题意,可得22+5=sin 60 =32,解得 h=330,2. 所以,线段 dp 的长为33. 18.(1)解 设等比数列an的公比为 q.由 a1=1,a3=a2+2,可得 q2-q-2=0.因为 q0,可得 q=2,故an=2n-1. 设等差数列bn的公差为 d.由 a4=b3+b5,可得 b1+3d=4.由 a5=b4+2b6,可得 3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故 bn=n. 所以,数列an的通项公式为 an=2n-1,数列bn的通项公式为 bn=n. (2)解 由(1),有 sn=1-21-

22、2=2n-1, 故 tn= =1(2k-1)= k=1n2k-n=2(1-2)1-2-n=2n+1-n-2. 证明 因为(+2)(+1)(+2)=(2+1-2+2)(+1)(+2)=2+1(+1)(+2)=2+2+22+1+1, 所以, =1(tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)= (233-222) + (244-233)+(2n+2n+2-2n+1n+1) =2n+2n+2-2. 19.解 (1)设椭圆的焦距为 2c,由已知有22=59,又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由已知可得,|fb|=a,|ab|=2b.由|fb| |ab|=62,可得 ab=6,从而 a=3,b=2.

23、所以,椭圆的方程为29+24=1. (2)设点 p的坐标为(x1,y1),点 q 的坐标为(x2,y2).由已知有 y1y20,故|pq|sinaoq=y1-y2.又因为|aq|=2sin,而oab=4,故|aq|=2y2.由|=524sinaoq,可得 5y1=9y2. 由方程组 = ,29+24= 1,消去 x,可得 y1=692+4.易知直线 ab 的方程为 x+y-2=0,由方程组 = , + -2 = 0,消去 x,可得 y2=2+1.由 5y1=9y2,可得 5(k+1)=392+ 4,两边平方,整理得 56k2-50k+11=0,解得 k=12,或 k=1128. 所以,k 的值

24、为12或1128. 20.(1)解 由已知,h(x)=ax-xln a,有 h(x)=axln a-ln a. 令 h(x)=0,解得 x=0. 由 a1,可知当 x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表: 12 / 13 x (-,0) 0 (0,+) h(x) - 0 + h(x) 极小值 所以函数 h(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+). (2)证明 由 f(x)=axln a,可得曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线斜率为1ln a.由 g(x)=1ln,可得曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为12ln.因为这两条切线平行,故有1ln a=12ln,即 x21(ln a)2=1.两边取以 a为底的对数,得 logax2+x1+2logaln a=0,所以 x1+g(x2)=-2ln lnln. (3)证明 曲线 y=f(x)在点(x1,1)处的切线