2020年初中数学竞赛九年级集训《数和式综合问题专题》

1、数与式综合问题1. 已知点a b在数轴上表示白 数分别是a、b, a b两点之间的距离为d(1)对照数轴填写下表. a 2 - 2 - 4 -3 3 b 1 0 3 -2 - 1 a- b 1 - 2 - 7 a, b两点之间的1 2 7 距离d (2)观察上表，发现d与a-b之间的数量关系是(3)点a表示的数为x,式子 | x+2 卜表小a、b两点之间的距离 ,则点b表示的数是若 | x+2| = 1, 则 x =. (4)适合式子 |x+2|+| x-3| =5的整数x的值是(5)式子| x+7|+| x-8| 的最小值是多少？2. (1)已知 b - a=77， 2a2+a=,求皂- 3

2、 的值.s 4 0(2)已知：f (x) =x2+bx+c是g (x) = x4+6x2+25 的因式，也是q (x) = 3x4+4x2+28x+5 的因式 . 求： f (1)的值 . 3. (1) 一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好整数”，如4 二片/, 2007= 2-+/ + 2t +q, 2008=+5?+, 4, 2007, 2 4 g 2008 都是“好整数”，记“好整数”的集合为m,正整数的集合为n+, 求证： m= n+.(2)记 a= 12+ 22+ 32+-+20122+20132,求证：a可以写成 2012 个不同的正整数的平方和

3、.5.已知a, b, c都是有理数， 爪十正巧 也是有理数，求证：也都是有理数 . 值实数，求 | m+| m- 1|+| m- 2| 的最小值 .8. 计算: +12+ 2+-+1224.已知 : ft2bc 2ac =1,求证：三个分式中有两个等于1,7.已知(2 ) 24 x ( - 哈133324 x 25211一（+一一，6.求证 :=1. 39.已知x3- 8 有一个因式 x-2,我们可以用待定系数法对x3-8 进行因式分解：设x3-8= (x-2) ( x2+ax+b), -.1 (x-2) ( x2+ax+b) = x3+ (a - 2) x2+ (b- 2a) x- 2b,

4、ra-2=04 b一2己=0,即a=2, b= 4. t-2b=-8 因此x3- 8= (x-2) (x2+2x+4). 已知x3+27 有一个因式x+3, 请你仿照上例，用待定系数法，因式分解x3+27.10 .求 |x1|+| x- 2|+| x-3|+ - +|x- 2009| 的最小值 .11 . 计算：(1 ) ( 12+22) + ( 1 x 2) + (22+32) + ( 2 x 3 ) + (32+42) + ( 3 x 4) +- ?+ (20132+20142) + ( 2013x 2014) (2) 1+ (1x2x3) +1+ (2x3x4) +1+ (3x4x5)

5、+ +1+ ( 98x99x 100) 12 .已知n个不同的数x1，x2, x3,，xn是正整数1, 2,，n的任意一个排列，试求| x1 1|+| x2 2|+ +| xn n| 的最小值 .-c2) ( b - a) +2 (c2 - a2) ( c - b). 14 .设 2009x3= 2010y3= 2011z3 ( xyz 0 ),且 第009，十) = 强009+期2010痢2口口 , 求工的值. jr15.是否存在这样的实数a, b,使得对于每个正整数n2,(1) a+b是有理数，而an+bn是无理数；(2) a+b是无理数，而an+bn是有理数 . 的值. 17. (1)

6、讨论关于x的方程 |x+1|+| x+2|+| x+3| = a的根的个数 .(2)设 ana2,，an 为等差数列，且|a1|+| a?|+?+1 an| = | a+1|+| a2+1|+ ?+| an+1| = |a2|+| a2-2|+|%-2| =507, 求项数n 的最大值 .13.因式分解：a2 (b+c-2a) +b2 (c+a-2b) +c2 (a+b 2c) +2 (a2b2) (ac) +2 (b216. a, b, c为非零实数 ,a2+b2+c2= 1,负( j) = 7 , 求a+b+c 18. 9 999 999 999 10 100 1000 -10 000 0

7、00 000的整数部分是多少 ? 19. 22+1 32+1 42+122-1 32-1 42-120. 已知1 1 1 1i-h-= - a b c a+b+c, 求证：n为奇数时 , n , n n 口a b c a +b +c 参考答案1 . 解：(1)当 a= - 3, b= - 2 时，a-b= - 1, d= 1 ；当 a = 3, b= 1 时， a - b= 4, d= 4；故答案为： - 1, 1; 4, 4; (2)由题可得，d与a-b之间的数量关系是d=|a-b|, 故答案为： d=|a-b| ；(3) ; 式子| x+2| 表木 a b 两点之间的距离，而| x+2|

8、= | x - ( - 2) | , ?点 b 表小的数是 - 2,故答案为： - 2;(4) -.1 | x+2|+| x - 3| = 5表本数轴上与表布 - 2 的点和表布3 的点的距离之和为5, - 2x0, b0, o0,? ?. 仁, 用，立可能 是有理数也可能是无理数，?.? 正无理数与正无理数的和是无理数，有理数和无理数的和是无理数，? ?. 必须是三个都是有理数才会是和为有理数, ，爪，卜用， 近都是有理数 . 7.解：当俏 2 时，| m+| m- 1|+| m-2| = n+m- 1 + m- 2 = 3m- 3= 3 (m- 1) 2；当 1wmc 2 时， | m+|

9、 m- 1|+| m- 2| = m-m- 1+2- m=m+1 2；当 0wm 1 时， | m+| m- 1|+| rrr 2| = m-1 - m-2- m= - mt32；当 m3; 综合所述：可得当m= 1 时可以得到它的最小值，最小值为2.6.解：设3工十13=a, 3 a +1a+13131 ata2 i? 3a 一nd)if?3 3a2+l333=1. 112x2_llxjjl+ (17+i 1 1 33127-tt67x23 八正 13 ,11x7 2 +21+ l7x 4 _+_33 17x4 五= 3.5 1+21 = 23.5 . +二 _ 24x 25 25x 26

10、- + - + - ) 3x4 5x6 25x26，1 _ 1 1 、z1 _ 1 1 、12 (2x3 +4x5+ +24x25)+12(r，4+5 0, 比如：当a=1-b =j时, 对于每个正整数n2,者b有a+b=1 是有理数，an+bn= (1- 正)n+ (6)n都是无理数 . 事实上，当a=m+x, b=n-x ( 其中x是无理数，m n是有理数，且m+nw0)时, 对于每个正整数n2,都有a+b = m+n是有理数，an+bn= (m+x) n+(n-x) n都是无理数 .(2)不存在 . 理由如下：实数a、b都是有理数，此时a+b是有理数，与条件“ a+b是无理数”矛盾，故舍

11、去. 实数a、b中一个是有理数另一个是无理数，此时a+b是无理数，an、bn必有一个是有理数另一个是无理数. 所以an+bn必是无理数，而不是有理数. 实数a、b都是无理数，因为a+b是无理数，所以a与b不可能是互为相反数. 所以an与bn也不可能互为相反数，即an+bnw0.因为实数a是无理数，所以an、an+1 (n2)中至少有一个是无理数. 同理：bn、bn+1 (n2)中至少有一个是无理数. i . 若an、bn都是有理数，则an+1、bn+1都是无理数 . 因为an+1+bn+10, 所以am+b?1是无理数 . n .若an、bn只有一个是有理数，则an+bn必是无理数 . v20

12、09+施=15 . 解：(1)存在. 出. 若an、bn都是无理数，因为an+bnw 0, 所以an+bn必是无理数 . 综上所述：不能保证对于每个正整数n2,当a+b是无理数时，an+bn都是有理数 . 故符合要求的实数a、b不存在 . 16 .解：将加工十 &坨( 工十 l)七 c( 工+上) =w变形如下，l c c a a ba ( +-) +1+b ( +) +1+c ( +) +1 = 0, b c a ca b即a(ihb)+b+h)+ct+h)=0(a+b+c) ( +-+) =0, a b c./ 、obc+c+ab . ? . ( a+b+c) ? - = 0, a

13、bca+b+c= 0 或bc+ac+ab= 0. 若bc+ac+ab= 0,则(a+b+c) 2= a2+b2+c2+2 ( bc+ac+ab) = a2+b2+c2= 1, a+b+c = 1. a+b+c 的值为1, - 1, 0. 17 .解：(1)根据函数y= | x+1|+| x+2|+| x+3|=a的图象可知：当 a2 时，方程有两个根 . (2)因为方程 |x| = | x+1| = | x-2|无解，故n2 且公差不为 0.不妨设数列的各项为a- kd (k k0). n作函数f (x) = | x = kd| , 本题条件等价于f (x) =507 至少有三个不同的根a,

14、a+1, a-2,此条件又等价于函数y=f (x)的图象与水准直线y= 507至少有三个不同的公共点. 由于 y = f (x)的图象是关于直线y=n+l)d左右对称的n+1 段的下凸折线，它与水准直线l有三个公共点当且仅当折线有一水准段在l上，当且仅当n= 2m 且a, a+1, a - 2? md (n+1) d , f (m。= 507.即d 3 且nid = 507. 2 ? 一由此得 mw 一丁，解得： nk 13,显然， 13 时，取 d=3, a= 4 满足本题条件 . 因此，n的最大值为 26.到i 9 99 999 9 999 999 99918 .解： - - - 卜- -

15、 10 100 1000 10 000 000 000=(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) - (0.1+0.01+0.01+ ?+0.0000000001 ), = 10-0.1111111111 , =9.8888888889 , = n+1 n 12 n+1 n+22 n+1 n+2,1 1 1 1- -p-4-= ,abc a+b+c 两边同时乘以abc (abc不等于0)得, 两边同时乘以a+b+c得, a2b+ab2+a2 c+ac2+b2c+ bc2+3abc= abc, a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc= 0, a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc= ( a+b) ( b+c) ( a+c) = 0, a+b, b+c, c+a中，至少有一个是0, 故当n为奇数时an+bn, bn+cn, an+cn至少有一个是0,答：原式的和的整数部分