高等代数下期终考试题及答案C卷

1、高等代数(下)期末考试试卷(C卷)一. 选择题(每空2分，共12分)1. (D )下列集合哪一个是的子空间(A) (“J)，I al9an e an (B) (q "，)1 4 eZ, / = 1,ft(c)g 宀)i =i s e R(D)(“卫2 ，5 )1 224 =o, q e R /-i2. (B )令(X., X2, X3)是用的任意向量.下列哪一个映射O是用的线性变换(A) o忆)=歹+ 0,其中QH0是尺的固定向量(B) 0-( ) = (2! -x2 +x3, x2+-x3)(C) o(歹)=3 ,x；, xl )(D) a(4 ) =(x, +1 ,x2,0)3.

2、 (C)如果岭，匕是线性空间V的两个子空间，且dim % =3, dim V2 =2. dim V；nK =1,那么dim V；+匕为(A) 2(B)3(C)4(D)54. (C )若4阶方阵A的初等因子为入+ 3 1入+3,入+ 2.则A的不变因子是(A) 1,(入+3),(入+2),入+ 3 2：(B) 1, 1,(入+3)(入+ 2),入+ 2 A4-3 2；(C) 1, 1,(入+3),入+ 2 A + 3 2；(D) 1, 1, (A+2),入+ 2 A4-3 2；5. ( B )设矩阵A的全部不同特征值为入,人,，人，则下列哪一说法与A可对角化不等 价(A) A有n个线性无关的特征

3、向量；(B) R(AiE-A) = n, (i = l,2,.s)(其中耳为人的重数)；(C) 入的特征子空间呂的维数dim(VJ)=人的重数(i = 1.2,.,s)；(D) A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积；6. (D)在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为(A) 10;(B) 4；(C)9：(D) 6；二. 填空题(每空2分，共18分)1、已知a是数域P上的一个固定的数，而W = (a,X2,，兀)|召wP,i = 2,川是严鼻的一个子空间，贝忖=, dim (W)=.2. 设6 U是P2的两个线性变换，左义如下b(x)= (-2x+” 0),T(x.

4、y) = (-3y9x+y)(Vx, yeP)贝 |J r a(x, y) =1 03.已知 A的标准形为0 2、° o0 、0,则A的特征多项式A(A 2)丿5 / 25|AE-A| = A2(A-2), A的最小多项式为(4.设4=小3、则向捲是A的属于特征值的特征向量."2 0 0、(2 0 0、5.若 A二0 0 1与B=0 y 0相似,1 b1° 0-1；则x =6设三阶实对称矩阵A的特征值入=人=1,心=3,则/?(3E A) =。三. 判断题(对的打” J”，错的打” X”，每小题2分，共10分)1. 对于矩阵的加法和数乘，严B|b' = 3

5、, Be/T" 是/r”的子空间()2. 任一实对称矩阵A都与对角阵A既相似又合同()3. 设cr是数域P上线性空间V的线性变换,W是一维cr 一子空间，那么W中任何一个非零向虽都是o属于特征值几的特征向量.()4在欧几里得空间V中,保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换a必为正交变换.5. A(A)与B(2)等价当且仅当它们有相同的行列式因子.四. 计算题( 共3小题，33分)1设®, 6和% %是线性空间尺2的两组基，o是的线性变换，已知<7（£,£2）=（£】一2勺,2勺 + 6），（7/i'7?2）=（£ + *

6、2, 2® + 彳）（1）求在基®, 6下的矩阵A： （2）求基©, 6到基小，的过渡矩阵X :（3）求CF在7/p ?/,下的矩阵。.（7分）2.设口，4，冬是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为1 -1 2、-1 2 -1、2 -1 6 丿< 1）令 Y = a +a2,求恻；（2）若/3 = a+a2 + ka5与y正交，求k的值.（10分）3.设二次型 f（X|,xx3） = 2jV，+2x）2 +2忑2 2xx2 _2%內2x2x3,（1）写岀二次型所确立的矩阵：（2）用正交线性替换将二次型化为标准形：（3）求二次型的秩；（4）判断二次型的正

7、定性.（16分）五. 证明题（每题9分，共27分）1. 设K与匕分别是齐次方程组坷+吃+心=0,小=x2 =. = X,., =x”的解空间，证明：Pn =V,©V22. 证明：若A是实对称矩阵，则R”中分别属于A的不同特征值入“的待征向量Z0必 正交3.设V是一个n维欧氏空间，<7是V的一个对称变换，i正明：值域b（V）是核er-*（0）的 正交补.答案幻灯片1高等代数(下)期末考试C卷解答二、选择题(2X6=12分)1、( D )下列集合哪一个是尺“的子空间(A) (“,0,()“)1 5" e Hq, (B) (“，5 ")1 q wZ, i = 1,

8、"n(C) (“ ,a2 ,，“” )1=1 " w R/-I(D) (“ .a2，,5 )1 夕"=0 e R 幻灯片10一、选择題(2X6=12分)2、( B )令 = (a-x,a-3)是疋的任意向量，下列哪一个映射是R'的线性变换。(A) b(g)=< + a,其中ch()是用的固定向虽(B) ) = (2a) x2 + Xj, x2 + x3,-x5)(C) <7(：)=(州，易丘)(D) b(g)=g+l ,x2,0)3. ( C )如果,匕是线性空间V的两个子空间，且 dim V； =3. dim 匕=2,dim V； nK 岂则

9、dim V； +匕为(A) 2(B) 3(C) 4(D) 528 / 25一、选择题(2X6=12分)4(C)若4阶方阵A的初等因子为入+ 3二入+ 3,入+2 则A的不变因子是A 1,入+ Z入+ 3, A4-3 2B 1,1.入十2 入+ 3 , X+2 入+3 2C 1,1, A4-3 ,入+ 2 入+3 2D 1,1, A + 2 , A+2 入+ 3 2一、选择題(2X6=12分)5、( B )设矩阵A的全部不同特征值为人,入 则下列哪一说法与A可对角化不等价：(A) A有n个线性无关的特征向量；(B) R(入E- A) = q ,(,= 12s),(其中叫为&的重数)(C)

10、 &的特征了空间的维数dim(± )=人的重数 (i = 1,2,$)(D) A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积6、( D )在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成 的线性空间W的维数为(A) 10;(B) 4；(C) 9；(D) 6；3+2 + 1-X填空题（每空2分，共18分）1、已知a是数域P上的一个固定的数，而W = （“/,心）|兀 wP, j = l,是pE的一个子空间，则67 = _O_, dimW= ”2（a,捡）=（2仏2心,2兀）w W=> 加="=> a = 0I勺=（0.0100） （M + 1）是W的一个基。二、填

11、空题(每空2分，共18分)2、设b, 7是的两个线性变换，定义如下：cr(x, y) = (一2x+0), r(x. y) = (一3” x + y) (Vx.yeP) 则 t a(x.y) = (0,-2x+.y)ra(x.y) = r(-2x + y, 0) = (0, - 2x+y)(-2 0、 (0 或 <r(x,y) = (x, y)L r(x9y) = (x, y)(一2 0(-2 0)0 Brcr(Ay) = r严叽”肌oj一3 1,=E)石补(0, 2x+y)二、填空题(每空2分，共18分)"100 、3、已知AE-A的标准形为0 20.0 0 2(2-2),则

12、a的特征多项式是Z2U-2)A的最小多项式是兄(久一2)kUUiQMQ)d”n阶复数方阵A的最小多项式叫(几)正是A的第n个不变因子<(A)(P3>1)二、填空题（每空2分，共18分）3、2J<2（,是A的属于特征值4U丿1=<:)4 0 0(2 0 05、若人=0 0 1与B =0 y 0相似，则<0 1 J0 0-1x =0 , y=12=B=：-2y>y = 的特征向绘。4ir(A) = 2+x = "(B) = 1 + y => x = 0二、填空题(每空2分，共18分)6、设三阶实对称矩阵A的特征值& =人=1,入=3 则

13、/?(3E-A)=2实对称矩阵必可对角化，所以叫也即(E-A)X=()解空间的维数为2 ,故 R(E-A) = 匕也即(3£-A)X =0解空间的维数为1 ,故 R(3E-A)=2三. 判别题(对的护'厂，错的打”2X5=1吩)1、对于矩阵的加法和数乘，=3|8'=氏B e R- 是R""的子空间(V)2s任一实对称矩阵A都与一对角阵既相似又合同(7)3.设<7是数域P上线性空间V的线性变换，W是-维 O -子空间，那么'V中任何一个非零向量都是。的 届于特征值2的特征向址(J )W = L(a).(j(a)eW =>cr(a

14、)=AaV的也訓,"0cr(歹)=cr(Ra) = 3(a) = R(2a )=2 (ka )=馬4. 在欧几里得空间V中，保持任两个非寥向量的夹角不变的线性变换必为正交变换（X）保持任意两个非零向绘的夹角不变的线性变换未必 是正交变换。如：令/a = 2aVaeV（必2虫0）（2么20）（a0）誡然4是线性变换，且 时両丽=丽 但（虫 2力0） = （2»,2戸）=4（60）所以4不是正交变换。但有一实数域R上欧氏空间V的线性变换虫是正交变换OVaw匕有>fa = a三. 判别题（对的打”厂,错的打2X5=10分）5> A（A）与仇）等价当且仅当它们有相同的行

15、列式因子（J ） 四、计算题（7+10+16=33分）1、设刍G和巾，7是线性空间尺2的两组基，是用的线性变换，已知：（T（tp£2） =（£|-2£2, 2勺+乞），（帀，小）=（£+2q+3勺）（1）求O在基刍.6下的矩阵A,（2）求由基到基的过渡矩阵X;1 2-2 I求O在基巾，仏下的矩阵B。0（£心）=（勺一生，2勺+6 ）=（勺,目） （ 1 2）CT在基刍，為下的矩阵人=（K设勺、勺和是线性空间的两组基，b是用的线性变换，已知：。（即疋2）=（耳一公2, 2可+£2）,（帀，小）=（勺+£22耳+3£2

16、）（1）求O在基勺,下的矩阵A ;（2）求由基刍,為到基|，仏的过渡矩阵X：（3）求1在基小,弘下的矩阵B°解：（2）（4）=（£|+£2,2®+3£2）=（耳,勺）3由基斫,乞到基7,7的过渡矩阵X =；'（3）求CT在基巾,空下的矩阵四、计算题(7+10+16=33分) 2、设q.qa是3维欧氏空间V的一组基，这组基的1-12、度最矩阵为：-1 2 -I2 -1 6,(1) 令 / = a1+a2t 求 |/|(2) 若0 =已+久+«久与7正交，求的值.1 -1 2)解：U)(r> y)=o 1 0)-12H=l(

17、1) 之解法二：<y> y> =(內+勺务+勺=(同.)+(0,冬)+(冬,)+($,冬)=1 一1 一1+2 = 1 =>|” = J (“ 刃=1四、计算题(7+10+16=33分)2. 设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的T -1 2、度量矩阵为：-2 -12-16z(1) 令 / = a1+a2,求 |/|(2) 若P = a+a2+kay与了正交，求斤的值解：(2)(处) = (1 1 k) -12V2-121-116八0,Z =1 + 火=0二 R = 1四、计算题(7+10+16=33分)3. 设二次型 /(Apxrx3) = 2A-2 +2x/ +2x/

18、-2xx2-2a-.v3-2x2.r3(1) 写出二次型所确定的矩阵；(2) 用正交线性替换将二次型化为标准形；(3) 求二次型的秩；(4)判断二次型的正定性。2 -1 -1/ 、X】解:（1）二次型 /（ApArX5） =（ApArX3）-1 2 -1*2一1 -1 2,02 -1 所以二次型的矩阵是：A= -12-1.一1 -1 2,四、计算题(7+10+16=33分)3. 设二次型 /(Apxrx3) = 2A-2 +2x/ +2x/-2xx2-2a-.v3-2x2.r3(1) 写出二次型所确定的矩阵；(2) 用正交线性替换将二次型化为标准形；(3) 求二次型的秩|(4) 判断二次型的正

19、定性。A-211解：(2) |2E-A|=1A-2I=z(A-3)211z-2A的特征值为：入=0血=入=3 对人=0.解方程组(OE-A)X =0 得一基础解系：a=(AA)四、计算题（7+10+16=33分）3.设二次型 /（Apxrx3） = 2A-2 +2x/ +2x/-2xx2-2a-.v3-2x2.r3（1）写出二次型所确定的矩阵；（2）用正交线性替换将二次型化为标准形；（3）求二次型的秩|（4）判断二次型的正定性。解*对人=入=3,解方程组（3E A）X=O 得一基础解系：勺=（-1丄0）'心=（-1，0，”把位化，把巾6正交规范化，得A =寺（1'1）02 =寺

20、（-1丄0），03=法（-1，-1，2）四、计算题（7+10+16=33分）3设二次型f（.*,吃,禺）=2.*'+2'+2疋一為兀2-"血一2心5（1）写出二次型所确定的矩阵；（2）用正交线性替换将二次型化为标准形；（3）求二次型的秩；（4）判断二次型的正定性。*：令厂=（久AZ） 作正交变换：X=TY 则二次型化为标准形：/（州,忑，禺）=3衣+3士（3）由（2）知二次型的秩为2；（4）由（2）知二次型是半正定的。五、证明题(每題9分，共27分)K设比与分别是齐次方程组州+兀+兀严0, 和看=“= =兀的解空间，证明X =叫匕 证明：方程X +兀+耳=0,的一个基础解系也即比的一个基是：ct =