2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)理

1、重庆理科数学试题卷(理工农医类)共5页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2b铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出

2、的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013重庆,理1)已知全集u=1,2,3,4,集合a=1,2,b=2,3,则u(ab)=(). a.1,3,4b.3,4c.3d.4答案:d解析:ab=1,2,3,而u=1,2,3,4,故u(ab)=4,故选d.2.(2013重庆,理2)命题“对任意xr,都有x20”的否定为().a.对任意xr,都有x2<0b.不存在xr,使得x2<0c.存在x0r,使得x020d.存在x0r,使得x02<0答案:d解析:全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题),故选d.3.(2013重庆,理3)(3-a)(a+6)(-6a3)的最大值为(

3、).a.9b.92c.3d.322答案:b解析:方法一:(3-a)(a+6)=-a2-3a+18=-a+322+814,因为-6a3,所以当a=-32时取得最大值814=92.方法二:-6a3,3-a0,a+60.而(3-a)+(a+6)=9,由基本不等式得:(3-a)+(a-6)2(3-a)(a+6),即92(3-a)(a+6),(3-a)(a+6)92,当且仅当3-a=a+6,即a=-32时取等号.4.(2013重庆,理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为().a.2,5b

4、.5,5c.5,8d.8,8答案:c解析:由甲组数据中位数为15,可得x=5;而乙组数据的平均数16.8=9+15+(10+y)+18+245,可解得y=8.故选c.5.(2013重庆,理5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().a.5603b.5803c.200d.240答案:c解析:由几何体的三视图可得,该几何体是一个横放的直棱柱,棱柱底面为梯形,梯形两底长分别为2和8,高为4,棱柱的高为10,故该几何体体积v=12×(2+8)×4×10=200,故选c.6.(2013重庆,理6)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)·(x

5、-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间().a.(a,b)和(b,c)内b.(-,a)和(a,b)内c.(b,c)和(c,+)内d.(-,a)和(c,+)内答案:a解析:由题意a<b<c,可得f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选a.7.(2013重庆,理7)已知圆c1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆c2:(x-3)2+(y-

6、4)2=9,m,n分别是圆c1,c2上的动点,p为x轴上的动点,则|pm|+|pn|的最小值为().a.52-4b.17-1c.6-22d.17答案:a解析:圆c1,c2的圆心分别为c1,c2,由题意知|pm|pc1|-1,|pn|pc2|-3,|pm|+|pn|pc1|+|pc2|-4,故所求值为|pc1|+|pc2|-4的最小值.又c1关于x轴对称的点为c3(2,-3),所以|pc1|+|pc2|-4的最小值为|c3c2|-4=(2-3)2+(-3-4)2-4=52-4,故选a.8.(2013重庆,理8)执行如图所示的程序框图,如果输出s=3,那么判断框内应填入的条件是().a.k6b.k

7、7c.k8d.k9答案:b解析:由程序框图可知,输出的结果为s=log23×log34××logk(k+1)=log2(k+1).由s=3,即log2(k+1)=3,解得k=7.又不满足判断框内的条件时才能输出s,条件应为k7.9.(2013重庆,理9)4cos 50°-tan 40°=().a.2b.2+32c.3d.22-1答案:c解析:4cos 50°-tan 40°=4sin40°cos40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40

8、°=2sin100°-sin40°cos40°=2sin(60°+40°)-sin40°cos40°=2×32cos40°+2×12sin40°-sin40°cos40°=3.10.(2013重庆,理10)在平面上,ab1ab2,|ob1|=|ob2|=1,ap=ab1+ab2.若|op|<12,则|oa|的取值范围是().a.0,52b.52,72c.52,2d.72,2答案:d解析:因为ab1ab2,所以可以a为原点,分别以ab1,ab2所在直线

9、为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设b1(a,0),b2(0,b),o(x,y),则ap=ab1+ab2=(a,b),即p(a,b).由|ob1|=|ob2|=1,得(x-a)2+y2=x2+(y-b)2=1.所以(x-a)2=1-y20,(y-b)2=1-x20.由|op|<12,得(x-a)2+(y-b)2<14,即01-x2+1-y2<14.所以74<x2+y22,即72<x2+y22.所以|oa|的取值范围是72,2,故选d.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2013重庆,理11)已知复数

10、z=5i1+2i(i是虚数单位),则|z|=. 答案:5解析:z=5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i,|z|=12+22=5.12.(2013重庆,理12)已知an是等差数列,a1=1,公差d0,sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则s8=. 答案:64解析:由a1=1且a1,a2,a5成等比数列,得a1(a1+4d)=(a1+d)2,解得d=2,故s8=8a1+8×72d=64.13.(2013重庆,理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方

11、法种数是(用数字作答). 答案:590解析:方法一:从12名医生中任选5名,不同选法有c125=792种.不满足条件的有:只去骨科和脑外科两科医生的选法有c75=21种,只去骨科和内科两科医生的选法有c85-c55=55种,只去脑外科和内科两科医生的选法有c95-c55=125种,只去内科一科医生的选法有c55=1种,故符合条件的选法有:792-21-55-125-1=590种.方法二:设选骨科医生x名,脑外科医生y名,则需选内科医生(5-x-y)人.(1)当x=y=1时,有c31·c41·c53=120种不同选法;(2)当x=1,y=2时,有c31·c

12、42·c52=180种不同选法;(3)当x=1,y=3时,有c31·c43·c51=60种不同选法;(4)当x=2,y=1时,有c32·c41·c52=120种不同选法;(5)当x=2,y=2时,有c32·c42·c51=90种不同选法;(6)当x=3,y=1时,有c33·c41·c51=20种不同选法.所以不同的选法共有120+180+60+120+90+20=590种.考生注意:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.(2013重庆,理14)如图

13、,在abc中,c=90°,a=60°,ab=20,过c作abc的外接圆的切线cd,bdcd,bd与外接圆交于点e,则de的长为. 答案:5解析:在rtabc中,a=60°,ab=20,可得bc=103.由弦切角定理,可得bcd=a=60°.在rtbcd中,可求得cd=53,bd=15.又由切割线定理,可得cd2=de·db,可求得de=5.15.(2013重庆,理15)在直角坐标系xoy中,以原点o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos =4的直线与曲线x=t2,y=t3(t为参数)相交于a,b两点,则|ab|=

14、. 答案:16解析:由极坐标方程cos =4,化为直角坐标方程可得x=4,而由曲线参数方程消参得x3=y2,y2=43=64,即y=±8,|ab|=|8-(-8)|=16.16.(2013重庆,理16)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是.答案:(-,8解析:方法一:设f(x)=|x-5|+|x+3|=2x-2,x5,8,-3<x<5,-2x+2,x-3,可求得f(x)的值域为8,+),因为原不等式无解,只需a8,故a的取值范围是(-,8.方法二:由绝对值不等式,得|x-5|+|x+3|(x-5)-(x+3)|=8,不等

15、式|x-5|+|x+3|<a无解时,a的取值范围为(-,8.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2013重庆,理17)(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分.)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中ar,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解:(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切

16、线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+6x=(x-2)(x-3)x.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+)上为增函数;当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln

17、 3.18.(2013重庆,理18)(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望e(x).解:设ai表示摸到i个红球,bj表示摸到j个蓝球,则ai(i=0

18、,1,2,3)与bj(j=0,1)独立.(1)恰好摸到1个红球的概率为p(a1)=c31c42c73=1835.(2)x的所有可能值为0,10,50,200,且p(x=200)=p(a3b1)=p(a3)p(b1)=c33c73·13=1105,p(x=50)=p(a3b6)=p(a3)p(b6)=c33c73·23=2105,p(x=10)=p(a2b1)=p(a2)p(b1)=c32c41c73·13=12105=435,p(x=0)=1-1105-2105-435=67.综上知x的分布列为x01050200p6743521051105从而有e(x)=0

19、15;67+10×435+50×2105+200×1105=4(元).19.(2013重庆,理19)(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)如图,四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,bc=cd=2,ac=4,acb=acd=3,f为pc的中点,afpb.(1)求pa的长;(2)求二面角b-af-d的正弦值.解:(1)如图,连接bd交ac于o,因为bc=cd,即bcd为等腰三角形.又ac平分bcd,故acbd.以o为坐标原点,ob,oc,ap的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系o-xyz,则oc=cdcos3=1,而ac=4,得

20、ao=ac-oc=3,又od=cdsin3=3,故a(0,-3,0),b(3,0,0),c(0,1,0),d(-3,0,0).因pa底面abcd,可设p(0,-3,z),由f为pc边中点,f0,-1,z2.又af=0,2,z2,pb=(3,3,-z),因afpb,故af·pb=0,即6-z22=0,z=23(舍去-23),所以|pa|=23.(2)由(1)知ad=(-3,3,0),ab=(3,3,0),af=(0,2,3),设平面fad的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面fab的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n1·ad=0,n1·af=0,得-3x1

21、+3y1=0,2y1+3z1=0,因此可取n1=(3,3,-2).由n2·ab=0,n2·af=0,得3x2+3y2=0,2y2+3z2=0,故可取n2=(3,-3,2).从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos<n1,n2>=n1·n2|n1|·|n2|=18,故二面角b-af-d的正弦值为378.20.(2013重庆,理20)(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)在abc中,内角a,b,c的对边分别是a,b,c,且a2+b2+2ab=c2.(1)求c;(2)设cos acos b=325,cos(+a)cos(+b)co

22、s2=25,求tan 的值.解:(1)因为a2+b2+2ab=c2,由余弦定理有cos c=a2+b2-c22ab=-2ab2ab=-22,故c=34.(2)由题意得(sinsina-coscosa)(sinsinb-coscosb)cos2=25.因此(tan sin a-cos a)(tan sin b-cos b)=25,tan2sin asin b-tan (sin acos b+cos asin b)+cos acos b=25,tan2sin asin b-tan sin(a+b)+cos acos b=25.因为c=34,a+b=4,所以sin(a+b)=22,因为cos(a+b

23、)=cos acos b-sin asin b,即325-sin asin b=22,解得sin asin b=325-22=210.由得tan2-5tan +4=0,解得tan =1或tan =4.21.(2013重庆,理21)(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)如图,椭圆的中心为原点o,长轴在x轴上,离心率e=22,过左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于a,a'两点,|aa'|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点p,p',过p,p'作圆心为q的圆,使椭圆上的其余点均在圆q外.若pqp'q,求圆q的

24、标准方程.解:(1)由题意知点a(-c,2)在椭圆上,则(-c)2a2+22b2=1.从而e2+4b2=1.由e=22得b2=41-e2=8,从而a2=b21-e2=16.故该椭圆的标准方程为x216+y28=1.(2)由椭圆的对称性,可设q(x0,0).又设m(x,y)是椭圆上任意一点,则|qm|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x02+81-x216=12(x-2x0)2-x02+8(x-4,4).设p(x1,y1),由题意,p是椭圆上到q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|qp|2=8-x02.因为pqp'q,且p'(x1,-y1),所以qp·qp'=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=0,即(x1-x0)2-y12=0.由椭圆方程及x1=2x0得14x12-81-x1216=0,解得x1=±463,x0=x12