材料力学-- 梁的位移计算

1、第五章梁弯曲时的位移6#135： 黄梦凡、张星、侯中杰、 刘兰兰、王楠、罗杨梁的位移： 挠度和转角挠度轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移w。转角横截面对其原来位置的角位移。 （即曲线在该点处的切线与x轴之间的夹角）挠曲线梁变形后的曲线。yx转角转角挠曲线挠曲线挠度挠度w位移的度量位移的度量：注意注意：梁轴线弯曲成曲线后，在x轴方向也发生线位移x，但在小变形情况下，梁的跨长远大于挠度，故可略去。选定坐标系后，梁变形后的轴线可表达为： w=f(x) 称为挠曲线方程 其中， w该点挠度；x横坐标由于挠曲线是一平坦曲线，转角可表达为： tan = w = f (x)M和w正负号的判断M0,W0M0 x

2、yxy梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 EIxM 1 23211ww 2321wwEIxM 2321wwEIxM 挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关EI为弯曲刚度为弯曲刚度挠曲线近似微分方程 w1，可以忽略 wEIxM xMwEI 故故即即对上式进行积分，并通过边界条件确定积对上式进行积分，并通过边界条件确定积分常数，即可求得梁的挠曲线方程。分常数，即可求得梁的挠曲线方程。 CdxxMwEIl DCxdxdxxMEIwll 边界条件边界条件光滑连续条件光滑连续条件FlabABCxy;wx 00 0 wlx21wwax 2

3、1 ax注意：梁上的荷载不连续不连续时，梁的弯矩方程须分段写出。在确定积分常数时，除利用支座处的约束条件约束条件外，还需利用相邻两段梁在交界处位移的连续条件连续条件。 挠曲线的微分法方程适用于小变形情况下、线弹性材料、对称弯曲的细长梁。例题例题1：如图所示简支梁，在C截面承受集中力偶M作用，已知梁的刚度为 EI，试求梁的挠曲线方程，并确定位移 、 和 。ABmaxaABCbM解：建立坐标系如图所示1、求约束反力2、建立弯矩方程和挠曲线方程 AC段：CB段：aABCbM?AF)(F )(BbaMbaMFAxbaMM1)0 (axMbaMxM2)(baxaaABCbMAFAC段CB段弯矩方程转角方

4、程挠度方程xbaMM1MbaMxM21212CxbaMEI1222DMxxbaMEI21316CxCxbaMEI2123226DxDxMxbaMEI3、利用边界条件和光滑连续条件确定积分常数)(2)2(321baMaabMC02C)(23)(21baMabaMD222MaD4、最大转角和最大挠度)(6)22()(23)2(2221baEIaabbMbaEIMaEIabMEICA)(6)22 ()(2)()(2212baEIaabaMEIDEIbaMbabaEIMB 根据附录有： 在 时， 当 时挠度有最大值23222222bababax3222221babax013)22()(72)11237

5、(16)967(222222maxbababaMbabababa奇异函数法求梁的位移奇异函数当n0（n为正整数）时，奇异函数的微分奇异函数的微分奇异函数的积分奇异函数的积分 axaxaxaxxfnn 0dxaxdn 1 naxn dxaxn11 naxn奇异函数适用于全梁的弯矩和剪力的通用方程。qlFMabc 0 axMxM1 bxF22 cxqFqlMabcd22 dxq弯矩的通用方程弯矩的通用方程 iiiaxMxM0 jjjbxF kkkcxq22 kkkdxq22奇异法奇异法1.求约束反力：2.用奇异函数表示的弯矩方程)(baMFa)(baMFbaABCbM0)(axMxbaMxMAF根

6、据挠曲线的初参数方程得： （1） （2）在x=a+b处 =0代入（1）式，得： 120! 21axMxbaMEIEI230! 2! 31axMxbaMxEIEI)(6)22(220baEIaabbM)(6)22(220baEIaabbMA将 代入（2）式，得：由 =0，得：所以 0)(6)22(|22baEIbabaMbaxB32102)(22aabbbax322)(72)11237(16)967(222222maxbababaMbabaMbaba q DA a a a B C qa例题例题2.简支梁受力及截面尺寸如图。已知梁的刚 度为EI，试确定梁的挠曲线方程， 并确定位移wB和wD。方法一

7、：积分法方法一：积分法解：（1）挠曲线方程有平衡方程可得梁的两个支反力（如图）为4qaFA49qaFcyqFaFcqaBACDxqF aFcqaBACDxAB段段BC段段CD段段弯矩方程转角方程挠度方程 xqaxM4 2214axqxqaxM )3(xaqaxM2322)(68CaxqxqawEI22432)(2424DxCaxqxqaEIw323)3(21CaxqawEI1218CxqawEI113124DxCxqaEIw3333)3(61DxCaxqaEIw1218CxqawEI2322)(68CaxqxqawEI32223)2(89)23(218CaxqaaxqaxqawEI113124

8、DxCxqaEIw22432)(2424DxCaxqxqaEIw333333)2(249)23(6124DxCaxqaaxqaxqaEIw利用边界条件和光滑连续利用边界条件和光滑连续条件确定积分常数条件确定积分常数0 x01 w01 Dax 21ww 21CC 21 ax 21DD ax2032ww321489qaCC02612249334224DaCqaDaCqaax233232132CqaCqa32334847qaC432435qaD3214898qaxqawEI3322489)(68qaaxqxqawEI322234847)2(89)23(218qaaxqaaxqaxqawEIxqaxq

9、aEIw33148924xqaaxqxqaEIw3432489)(242443333324354847)2(249)23(6124qaxqaaxqaaxqaxqaEIw41487|qaEIwwaxB（2）求DB、4334839|qaEIwwaxD方法二：奇异函数法方法二：奇异函数法q解：解：（1） 初参数方程 将作用在梁BC段上的均布载荷q延续至右端B，同时，在CB段施加等值反向的均布载荷，如图所示，写出梁（转角和挠度）的初参数方程FcqaBACDxAF确定初参数值，对于固定铰支座有 0009,0,044sACqaFFMFqa2233000222!2!3!3!scFFqqEIEIM xxxax

10、 axa 2|0 xaEI334400200223!3!4!4!2!scFFqqEIEIEIxxxax axaMx 值由 的边界条件确定00Cw得得3316qaEI （2）挠度 将初参数值代入初参数方程，即得梁的挠度 方程为433432322482424948xaqaqaqqEIxxxax aqa BwDw由挠度方程，即可得需求挠度47|48Bx aqaEI 4313|16DxaqaEI积分法和奇异函数法的比较 积分法： 积分常数由变形相容的几何条件（边界条件、光滑连续条件）确定 优点：可以求出挠曲线方程和转角方程，因此可以求任意截面的转角和挠度，使用范围广，直接求出较精确。 缺点：当轴上载荷较复杂时，计算比较麻烦。 奇异函数法： 使用奇异函数法求解时必须把坐标原点置于梁的一端； 优点：可