函数的奇偶性(教案)

1、函数的奇偶性(教案)函数的奇偶性一、知识回顾1、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数f(x)的定义域内任意一个X :f ( x) f(x)f(x)是偶函数；(2) f( x)f (x)f (x)奇函数；注意：函数的定义域关于原点对称的函数不一定是奇(偶)函数，但是反过来一 定成立。2、关于奇偶函数的图像特征奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称。3、函数的奇偶性的几个性质 、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称； 、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个X都必须成立;、可逆性：f(x)f(x)f (x)是偶函数;f(x)f(x)f (x)奇函数；、等价性:f(x)f(x

2、)f( x) f(x) 0f( x)f(x)f( x) f(x) 0、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称;、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数4、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f (x)是否与f(x)、f (x)相等,判断步骤如下： 、定义域是否关于原点对称； 、数量关系f ( x)f (x)哪个成立;函数的奇偶性（教案）第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定 义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是

3、偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个 偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。5、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函 数、非奇非偶函数。典型例题 考点1:奇偶性的判定例1:判断下列各函数是否具有奇偶性、f(x)X32x、f(x) 2x4 3x232、f(x)XX、f (X)X2X1,2X1、f(x)X2、2 X、f (x). X21-1 X2解：为奇函数为偶函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数 为非奇非偶函数既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2:判断函数f（x）x

4、2 (XX2 (X0）的奇偶性。解:f (0)02 f(x)当X 0,即 X 0时,有f ( x) ( X)2 X2f (X)当X 0,即 X 0时,有f ( X) ( X)2( X)2 f (X)总有f ( X) f (x),故f (X)为奇函数.练习：判断函数f(X=XI-X) (X<0的单调性。X1+x) (x>0)考点2:关于函数奇偶性的简单应用题型1.利用定义解题 例3.已知函数f(x) a 丄.，若f X为奇函数，贝U a2 1题型2、利用奇偶性求函数值例 4:已知 f (x) X5 ax3 bx 8 且 f ( 2)10 ,那么 f (2)-26.42练习：已知 g(

5、X) ax bx 6且g(3)27 ,那么 g( 3)27题型3、利用奇偶性比较大小例5:已知偶函数f(x)在 ,0上为减函数，比较f( 5) , f(1) , f(3)的大小。解：Q f (X)在 ,0上为减函数且为偶函数f (X)在0,上为增函数。f(1)<f(3) <f( 5)练习：已知f (x)是定义在(, + 上的偶函数，且在(, 0上是增函数，设a=f (3) , b = f (2) , C = f (1),贝U a , b , C 的大小关系是 (D )A. c<b<aB.b<c<aC.c>a>bD.a<b<c题型4.利

6、用奇偶性求解析式例6:已知f(x)为偶函数当0 X 1时,f(x) 1 X,当1 X 0时，求f(x)的解 析式？练习：1. f(x)是定义在(，)上的偶函数，且X 0时，f (x) X3 X2 , 则当X 0时，f(x)=.2. 已知函数f(x)是定义在(一 ,+ )上的偶函数.3 / 7函数的奇偶性(教案)当 X ( ,0)时，f(X)=X-X4,贝U 当 (0.+ )时，f (X)=.题型5、利用奇偶性讨论函数的单调性例7:若f() (k 2)x2 (k 3)x 3是偶函数，讨论函数f(X)的单调区间?练习：在R上定义的函数f X是偶函数，且f X f 2 X 则函数f2,2,2,2,若

7、f X在区间1,2是减函数,A. 在区间B. 在区间C. 在区间D. 在区间1111X (上是增函数，区间 上是增函数，区间 上是减函数，区间 上是减函数，区间3,43,43,43,4上是增函数 上是减函数 上是增函数 上是减函数7 / 7题型6利用奇偶性求参数的值例8 :定义在R上的偶函数f (X)在(，0)是单调递减，若f(2a2 a 1) f(3a2 2a 1),则a的取值范围是如何？练习、已知奇函数f (X)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m 1) f(2m 1)0，求实数m的取值范围题型7、利用图像解题例9.设奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当X 0,5时, f()的图象如右

8、图，则不等式f X 0的解是 (2,0)(2,5)练习 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)=0 ,则使得f( )<0的X的取值范围是()A. (-,2) B. (2,+) C. (-,-2)(2,+ ) D. (-2,2)三课后习题1. 下 列 说 法 中 不 正 确 的 是()A 图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B 奇函数的图象一定经过原点C.偶函数的图象若不经过原点，则它与X轴的交点的个数一定为偶数D .图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数22LlXl2函数:(1)y 2(x 1)2 3;(2)y2 |x| 4;(3)y x;(4)y,X其

9、中 是 非 奇 非 偶 函 数 的 是()A. (1)(2)(3) B. C. (1)(3)D.(1)3. 若 f(x) ax2 bx c(a0)是偶函数,贝U g(x) ax3 bx2CX是A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数4. 如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值是5,则 f (x)在-7,-3上()A. 是增函数，最小值是-5B. 是减函数，最小值是-5B. 是增函数，最大值是-5C. 是减函数，最大值是-55. 若y=f (x)(x R)是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f (x)上的是( )A. (a， f ( a)B . ( Sin a,

10、f ( Sin a)C. (一 Ig a,-f (Ig 丄) D . (一 a, f (a)aa 2Xa 26. 已知f(x) a 2x 是R上的奇函数，贝U a =2 17. 若f(x)为奇函数，且在(-,0)上是减函数，又f(-2)=0 ,则Xf(X)<0的解集为8. 已知y=f(x)是偶函数，且在0,)上是减函数，则f(1 x2)是增函数的区间是9. 判断下列函数的奇偶性：(1) f(x) JLr JXr(2) f(x) (1 X)Jg(3) f(x) 2x 1 1 X10. 设f (x)是R上的奇函数，且当X (,0)时，f(x) x(1 x3),求当X (0,)时f (x)的解

11、析式11. 已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当X 0时，f (x) X2 1, 求f (x)在R上的解析式.12. f (x)是定义在(2,2)上的奇函数,且是单调递减函数，若f (2 a) f(2a 3) O ,求实数a的取值范围。2 113. 已 知函数 f(x) ax1 (a,b,c N)是 奇函数，f(1) 2, f (2)3,且bx Cf(x)在1,)上是增函数, (1)求a,b,c的值； 当x-1,0)时,讨论函数的单调性.解(1) f(x)是奇函数，则2ax 1bx C2 2ax 1 ax 1 C 0 由 f(1) 2得 a 1 2b, bx Cbx C由 f (2)3L

12、 01 a 2a 1又 a N, a0,1 .当a 0时,b1N ,舍去.2k 3x V -3 x+9x+2,32x-(1+ k) 3x+2>0对任意x R都成立令t=3x >0,问题等价于 t2 -(1+ k)t+2>0对任意t >0恒成立.令 f(t)=t2(1 + k)t+2,其对称轴 X U21 k当0,即k1时,f(0)=2>0,符合题意；0时,对任意t >0,f (t)>0恒成立1 k-2-2(1 k) 4 2综上所述，所求k的取值范围是(，1 2、X11当a=1 时,b=1, f(x) X 一XX14. 定义在R上的单调函数f(x)满足f

13、(3)=log23且对任意X，y R都有 f (x+y)=f (x)+f (y) (1)求证f (X)为奇函数； 若f(k 3x)+f(3 x-9 x-2) V0对任意X R恒成立，求实数k的取值范围.分析：欲证f (X)为奇函数即要证对任意X都有f(-x)=-f(x)成立.在式子f (x+y)=f (x)+f (y)中，令y=-X可得f (0)= f (x)+f (- x)于是又提出新的问题，求 f (0)的值.令x=y=0可得f(0)=f(0)+ f (0)即f (0)=0，f (X)是奇函数得到证明.(1) 证明：f (x+y)=f(x)+f(y)( X，y R)，令 =y=0,代入式，得 f(0+0)= f(0)+f(0),即 f(0)=0 .令 y=-X ,代入式，得 f