高等数学课件：9.2 一阶方程(1-36)

1、9.2 一阶方程一阶方程这一节讨论一阶微分方程这一节讨论一阶微分方程的求解问题的求解问题 ),(),( ( ),( 0 dyyxQdxyxPyxfdxdy或或(1)遗憾地是遗憾地是 , 对于阶数最低的一阶微分方程对于阶数最低的一阶微分方程 (1) , 要要求其解一般是不行的求其解一般是不行的 所以所以 , 这一节这一节 , 我们仅对一些特殊的一阶方程讨我们仅对一些特殊的一阶方程讨论其求解问题论其求解问题 1 可分离变量的一阶方程可分离变量的一阶方程如果如果 f (x , y) = g(x)h(y) ,则方程为则方程为)()( yhxgdxdy (2)方程方程 (2) 称为称为可分离变量的微分方

2、程可分离变量的微分方程 如果如果 y = a 使使 h(a) = 0 , 则则 y = a 是是 (2) 的解的解 如果如果 h(y) 0 , 则则方程方程 (2) dxxgyhdy)()( ( 分离变量分离变量 ) (3)对对 (3) 两边积分得两边积分得cdxxgyhdy )()( c为任意常数为任意常数) (4)说明说明:(1) 我们约定我们约定: dxxhyhdy)( , )(分别表示分别表示)( , )(xgyh1的一个原函数的一个原函数 , 任意常数已含在任意常数已含在 c 中中 (2) 等式等式 (4) 确定一隐函数确定一隐函数 y = y(x , c) , 此即为此即为方程方程

3、 (2) 的通解的通解 )()( xgdxdyyh 1事实上将事实上将 (4) 两边对两边对 x 求导有求导有)()(xgyhdxdy cdxxgyhdy )()(方程方程 (2) 的通解的通解:例例求方程求方程 的通解的通解 xydxdycos 2 解解此方程是一阶可分离变量方程此方程是一阶可分离变量方程 分离变量得分离变量得xdxydycos 2两边积分得两边积分得cxy sin 1所以方程的通解所以方程的通解cxy sin 1说明说明:很明显很明显 y = 0 也是方程的解也是方程的解 , 但但 y = 0 不包含不包含在通解在通解 之中之中 , 所以所以通解不一定就是通解不一定就是cx

4、y sin1方程的全部解方程的全部解 例例求方程求方程 的通解的通解 dyyxxyydxx)( 222221 解解原方程可表示为原方程可表示为dyxyydxx)( 22211 分离变量分离变量dyyydxxx22211 两边积分得两边积分得cdyyydxxx 22211 通解为通解为212xxyycarctanln 例例求解求解 )( , 103 yyyedxdyx解解先求通解先求通解 .这是一可分离变量方程这是一可分离变量方程 分离变量有分离变量有dxedyyyx )( 3两边积分得通解两边积分得通解ceyyx 424121 令令 x = 0 , y = 1 得得c 14121 41 c 所

5、以以上初值问题的解为所以以上初值问题的解为41412142 xeyy 即即14242 xeyy 例例曲线曲线 y=y(x) 与曲线族与曲线族 中的任一椭中的任一椭cyx 222圆都正交圆都正交 ( 在交点处切线相互垂直在交点处切线相互垂直 ) , 若已知曲线若已知曲线y = y(x) 经过点经过点 ( a , b ) ( ab 0 ) , 求此曲线方程求此曲线方程 解解 任取一椭圆任取一椭圆 cyx 222设设 y =y(x) 与此椭圆的交点为与此椭圆的交点为 ( x , y ) y = y(x) 在点在点 ( x , y )处的切线斜率为处的切线斜率为: yK 1而而 在点在点 ( x ,

6、y )处的切线斜率为处的切线斜率为:cyx 222) ( 0222 yyxyxK12 ) ( yxyxydxdy2 xdxdyy21 21xcy 积分得积分得12cxylnlnln )(01 c2cxy ( c 为任意常数为任意常数 )由由 y(a) = b 2abc 所以所求曲线为所以所求曲线为:22xaby 由正交条件知由正交条件知:121 KK例例将温度为将温度为 100 C 的开水冲进热水瓶且塞紧的开水冲进热水瓶且塞紧 塞子后放在温度为塞子后放在温度为 20 C 的室内的室内 , 24 小时后小时后 , 瓶瓶内热水温度降为内热水温度降为 50 C , 问冲进开水问冲进开水 12 小时后

7、瓶小时后瓶内热水的温度是多少内热水的温度是多少 ? (设瓶内热水冷却的速度与设瓶内热水冷却的速度与水的温度和室温之差成正比水的温度和室温之差成正比 )解解设时刻设时刻 t 时时 , 水的温度为水的温度为 T C , 则有则有)()(020 k TkdtdT1000 )(T( 可分离变量方程可分离变量方程 )解得解得, eTkt 8020由由 T(24) = 5024183 ke 12802012)()(keT C65483802021. 2 一阶线性方程一阶线性方程如果如果 f (x , y) 关于关于 y 是线性函数是线性函数 , 即即 )()(),(yxPxQyxf 此时方程为此时方程为)

8、()(xQyxPdxdy (8)方程方程 (8) 称为关于称为关于 y 的的一阶线性方程一阶线性方程 , Q(x) 称为称为自由项自由项 , 0 yxPdxdy)(9)为关于为关于 y 的的一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程 而称自由项而称自由项 Q(x) = 0 的一阶方程的一阶方程下面讨论方程下面讨论方程 (8) 的求解的求解: 首先考虑齐次方程首先考虑齐次方程 (9) 的求解的求解 方程方程 (9) 可表为可表为yxPdxdy)( ( 可分离变量方程可分离变量方程 )dxxPydy)( 积分得积分得 1cdxxPyln)(ln可得方程可得方程 (9) 的通解的通解: dxxPcey)(采用

9、采用常数变易法常数变易法方程方程 (8) 的通解的通解 :设设 是方程是方程 (8) 的解的解 , 其中其中 dxxPexcy)()(c(x) 为待定函数为待定函数 . 代入方程有代入方程有P x dxP x dxP x dxc x ec x P x eP x c x eQ x( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) dxxPexQxc)()()( cdxexQxcdxxP )()()( 所以所以 , 一阶线性方程一阶线性方程 (8) 的通解的通解)( )()(dxexQceydxxPdxxP (10)注意注意:(10) 式中的积分都仅表示一原函数式中的积分都仅表示一原函数

10、(不再带不再带常数常数) 例例求方程求方程 通解通解 xxexydxdy2 解解方程是关于方程是关于 y 变量的一阶线性方程变量的一阶线性方程此时此时xxexxxP21 )Q( , )(利用公式利用公式 (10) 得方程的通解得方程的通解 )()(dxexeceydxxxdxx112 )(lnlndxexecexxx2 )(dxxxecxx12 )(dxecxx2)(xecx2 例例求方程求方程 通解通解 yxyy )( 2解解方程不是关于方程不是关于 y 变量的一阶线性方程变量的一阶线性方程 , 但可但可变形为变形为yyxdydx (关于关于 x 变量的线性方程变量的线性方程 )利用公式利用

11、公式 (10) ( 注意注意 x , y 互换互换 ) 得方程的通解得方程的通解 )(dyyecexdyydyy11 )(lnlndyyeceyy )(dyycy21)(3311ycy 例例有一质量为有一质量为 m 的质点的质点 , 从液面由静止状态开始从液面由静止状态开始垂直下沉垂直下沉 , 设在沉降过程中质点所受的阻力与沉设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度降速度 v 成正比成正比 , 比例系数为比例系数为 k 0 , 试求质点下沉试求质点下沉速度速度 v 及位置及位置 x 与沉降时间与沉降时间 t 的关系的关系 解解x0 kvmg建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示 M在下沉过程中在下

12、沉过程中 , 在时刻在时刻 t , 质点质点 M受到两个作用力受到两个作用力:重力重力: mg , 阻力阻力 : kv根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有kvmgdtdvm 由于当由于当 t = 0 时时 , v(0) = 0 故知故知 v 满足以下初值问题满足以下初值问题:gvmkdtdv 00 )(v( 一阶线性方程一阶线性方程 )所以方程的通解为所以方程的通解为)()(dtgecetvdtmkdtmk )(dtgecetmktmk )(tmktmkekmgce tmkcekmg 由由 v(0) = 0kmgc 又又 及及 x (0)=0 , 知知 x 满足下初值问题满足下初值问题)(tv

13、dtdx )(tmkekmgdtdx 100 )(x积分得积分得ttmktmktxekmtkmgdtekmgdx0001)()( 所以所以)(tmkekmtkmgx 1)(tmkekmgv 1所以有所以有3 齐次型齐次型方程方程( (可化为可分离变量的方程可化为可分离变量的方程) )则称方程则称方程 ),(yxfdxdy 如果如果 f (x , y) 满足满足: 对任意的对任意的 t R , f (tx ,ty ) = f (x , y)为为一阶齐次型方程一阶齐次型方程 令令 , 则则xt1 )(),(),(xyxyfyxf 1所以原方程可表示为所以原方程可表示为:)(xydxdy (11)令

14、令 y = xu xyu dxduxudxdy 代入代入 (11)有有)(udxduxu xuudxdu )( 这是关于这是关于 u , x 变量的一阶可分离变量的方程变量的一阶可分离变量的方程例例求方程求方程 的通解的通解yxyxdxdy 2解解这是一齐次型方程这是一齐次型方程 . 在方程的右边分子分母在方程的右边分子分母同除同除 x 得得 xyxydxdy 12令令 ,xyu 则则, xuuy , xuy 代入上方程有代入上方程有uudxduxu 12uuuuuudxdux 122122dxxduuuu 12212 积分得积分得cxcxuulnlnln)ln( 21222122222xcu

15、u 将将 代入得代入得xyu 2222xcxyxy )()(cxxyy 2222所以方程的通解为所以方程的通解为:例例求方程求方程 的通解的通解 .022 dyxyxydx)(解解原方程可写成原方程可写成)()(012 y , yxyxdydx令令 ,yxu 则则, yuux , yux 代入上方程有代入上方程有21uudyduyu 21udyduy ydyudu 21积分得积分得cyu lnarcsin)sin(lncyu 所以方程的通解为所以方程的通解为:)sin(lncyyx 例例设曲线设曲线 L 上任一点上任一点 P(x , y) 满足满足 OP QR (见图见图 ) , 其中其中 P

16、R 为为 L在点在点 P处的切线处的切线 , 又知又知 L 过点过点 ( 1 , 2 ) ,求曲线求曲线 L 的方程的方程 x0yP(x,y)RQ(x,0)解解 过点过点 P(x , y) 作切线方程作切线方程)( xXyyY R 点的坐标为点的坐标为) ,(xyy 0直线直线 QR 斜率斜率: , xyxyk 1直线直线 OP 斜率斜率: xyk 2由于由于 OP QR , kk121 即即1 xyxyxy所以所求曲线所以所求曲线 y=y(x) 满足方程满足方程022 xydxdyxy又曲线经过点又曲线经过点 (1 , 2) , 即即 y(1)=2 , 所以所求曲线所以所求曲线 y=y(x)

17、 是下初值问题的解是下初值问题的解022 xydxdyxy21 )(y方程可变形为方程可变形为yxxydxdy ( 齐次型方程齐次型方程 )令令 ,xyu 则则, xuuy , xuy 代入上方程有代入上方程有uudxduxu1 udxdux1 dxxudu 1 积分得积分得2112uxcln 将将 代入上式得代入上式得xyu cxxy ln)(22)ln(xcxy 222 令令 x=1 , y = 2 得得 c = 4 ,所以所求曲线所以所求曲线 L的方程为的方程为222420 yxx xe(ln) , 即即2420 yxx xe(ln)() 齐次型方程通过变量代换可化为可分离变量方程齐次型

18、方程通过变量代换可化为可分离变量方程求解求解 , 下面介绍一个其它的例子下面介绍一个其它的例子 解解求解初值问题求解初值问题例例yyxdxdytancos 40 )(yyyyxdxdycossincos 原方程可写成原方程可写成yxdxdyy sincos xydxyd sin)(sin令令 , 则有则有yusin xudxdu 方程的通解为方程的通解为)(dxxeceudxdx )(dxxecexx )(dxexecexxx )(xxxexece xcex 1原方程的通解原方程的通解xcexy 1sin令令40 y , x221 c所以初值问题的解所以初值问题的解xexy )(sin2211

19、例例求方程求方程 的通解的通解 31 yxyxdxdy解解令令, kYy , hXx 其中其中 h , k 为待定常数为待定常数 则有则有 ,dXdYdxdy 代入原方程得代入原方程得)()(31 khYXkhYXdXdY故令故令01 kh03 kh解得解得 h = 1 , k = 2 .于是令于是令 , 1 Xx Yy2 则原方程化为则原方程化为YXYXdXdY ( 齐次型方程齐次型方程 )XYXY 11再令再令 , 则则 XYu , dXduXudXdY 代入方程有代入方程有uu dXduXu 11解得通解解得通解cYXYX 222将将 代入得原方程的通解代入得原方程的通解21 yY , xXcyxyxyx 622224 伯努里方程伯努里方程( (可化为一阶线性方程的方程可化为一阶线性方程的方程) )方程方程 (12)称为称为伯努里方程伯努里方程 如果如果, yxPyxQyxfn)()(),( 其中其中 n R , xQ , , n010 )(此时方程为此时方程为nyxQyxPdxdy)()( (12)在在 (12) 式两边同乘式两边同乘 y n 得得)(