高等数学课件：12.1 多元函数积分的概念与性质(37)

1、第十二章第十二章 多元函数的积分及其应用多元函数的积分及其应用12.1 多元函数积分的概念与性质多元函数积分的概念与性质1 多元函数积分问题的产生多元函数积分问题的产生问题一：问题一：变密度平面薄片的质量计算变密度平面薄片的质量计算设平面薄片设平面薄片 D 置于置于 xoy 平面上平面上 , 形成一有界形成一有界闭区域闭区域 , 在点在点 (x , y) D 处的密度函数为处的密度函数为= (x , y) ,计算计算 D 的质量的质量(1) 划分划分:将将 D 划分成划分成 n 个子区域个子区域: n i i,21 y0 xDi 若记若记 的质量为的质量为 mi i 则有则有 niimm1(2

2、) 近似近似:当当 充分小时充分小时 i n i m iiii,),(21 mm niiiinii 11 ),(任取任取n i iii,),(21 在在 上近似于不变上近似于不变 ( 即近似于常数即近似于常数 ) x y( , ) i (3) 精确化精确化:当当 时时 01 )(maxinid m niiii 10 ),(lim问题二：问题二：设有空间物体设有空间物体 ( 可为空间立体、曲线、曲面可为空间立体、曲线、曲面 ) ， 物体物体 所占有的几何形体也记为所占有的几何形体也记为 其密度函数其密度函数 为连续函数为连续函数 ，质量为，质量为 m P() 将将 划分成划分成 n 个子块个子块

3、 : 12i i n, 变密度空间立体、空间（平面）曲线、变密度空间立体、空间（平面）曲线、空间曲面的质量计算空间曲面的质量计算若记若记 的质量为的质量为 ， mi i 则有则有 niimm1 在在 上近似于不变上近似于不变 ( 即近似于常数即近似于常数 ) P( ) i 当把当把 划分的充分小，即划分的充分小，即 充分小充分小时时 1ii ndmax () i id() （这里（这里 表示子块表示子块 的直径）的直径）,i 的质量近似于均匀密度物体的质量的质量近似于均匀密度物体的质量任取任取12iiP i n, 12iiimP i n(), i 也表示子块的度量（体积、弧长、曲面面积）也表示

4、子块的度量（体积、弧长、曲面面积）11nniiiii mmP () 当当 时时 10ii ndmax () 01niii mP lim() （1）说明：说明：（1）如果）如果 是空间立体是空间立体 ，密度函数，密度函数 x y z( , , ) 则空间立体的质量则空间立体的质量01niiiii mV lim(,) （2）iiii V (,) 其中其中 ， 为第为第 i 个子块的体积个子块的体积 i V 则曲线则曲线 L 的质量的质量01niiiii ms lim(,) （3）（2）如果）如果 是空间是空间 (或平面）曲线或平面）曲线 L ，密度函数，密度函数 x y z( , , ) ( 或或

5、 = (x , y) )01niiii ms lim(,) （4）i s 为第为第 i 个子弧段的弧长个子弧段的弧长其中其中 （或（或 ） iiiis(,) iiis(,) （3）如果）如果 是空间曲面是空间曲面 S , 密度函数密度函数 x y z( , , ) 则曲面则曲面 S 的质量的质量01niiiii mS lim(,) （5）i S 为第为第 i 个小曲面的面积个小曲面的面积其中其中 ,iiiiS(,) 数学归纳数学归纳尽管是计算分布在不同几何形体物体尽管是计算分布在不同几何形体物体上的质量，但他们的计算结果上的质量，但他们的计算结果 (2)、(3)、(5)01niiiii mV

6、lim(,) （2）01niiiii ms lim(,) （3）具有相同的数学特征：具有相同的数学特征：01niii mP lim() （1）定义定义设设 为一有界的几何形体为一有界的几何形体 (平面区域、空间平面区域、空间立体、曲线弧段、空间曲面），它是可度量的立体、曲线弧段、空间曲面），它是可度量的 .2 多元函数积分的概念多元函数积分的概念 f (P ) 是定义在是定义在 上的一个有界的数量值函数上的一个有界的数量值函数 . 将将 任意划分为任意划分为 n 个小部分个小部分12 n , 体度量乘积的和式的极限体度量乘积的和式的极限数量函数与物体子块几何形数量函数与物体子块几何形1 2 i

7、in(, , ) 仍用仍用 表示每个小部分表示每个小部分 i 的度量的度量在每个小部分上任取一点在每个小部分上任取一点 Pi i , 作和式作和式1niii f P () ( 积分和或黎曼和积分和或黎曼和 )记记 d(i ) 为为 i 的直径，的直径，1 ii nd ,max () 如果不论对如果不论对 怎样划分，不论点怎样划分，不论点 Pi 在在 i 中怎样中怎样选取，极限选取，极限则称函数则称函数 f (P ) 在在 上上可积可积 ; 极限值极限值 A 称为多元函数称为多元函数01niiiP =Alim() (6)f (P) 在几何形体在几何形体 上的积分上的积分 , 记为记为 , f P

8、 d() 称为称为积分区域积分区域 即即01niiif P df P ()lim() (6) 其中其中 f (P ) 称为称为被积函数被积函数 ; f (P)d 称为称为被积表达式被积表达式 (或或积分微元积分微元) ;说明：说明：(1) 变密度物体变密度物体 的质量的质量 m 等于密度函数等于密度函数 ( P )在几何形体在几何形体 上的积分上的积分01niiimP= P dlim()() (2) 与定积分类似，与定积分类似，多元函数积分多元函数积分 的的 f P d() 被积表达式被积表达式 f ( P )d 是所求量是所求量 Q 的部分量的部分量 Q 关于小子块度量关于小子块度量 的线性

9、主部的线性主部 若设若设 是是 中任一包含点中任一包含点 P 的小子块的小子块 , 其度量也记为其度量也记为 ，f ( P ) 在在 上连续上连续 把把 f (P) 设想为密度函数，记设想为密度函数，记 上所对应的质量上所对应的质量为为 m， 则有则有12f Pmf P()() 其中其中12PPf Pf P f Pf P()min() ,()max() 12m f Pf P()() 让让 收缩为点收缩为点 P ，即其度量，即其度量 0 ，P1 P , P2 P , 利用利用 f (P ) 的连续性及夹逼定理的连续性及夹逼定理此时此时 0m f Plim() mf Po()() m 关于关于 的

10、线性主部为的线性主部为 dmf Pf P d()() (质量微元）质量微元） ( 7 )0011nniiiiimf P df P=dm = dm( )lim()lim 即质量即质量 m 就是就是 上所有质量微元上所有质量微元 dm 的的“累积累积”, 也就是将微元式也就是将微元式 (7) 两边沿两边沿 积分的积分值积分的积分值 mdmf P d( ) ( 8 )所以被积表达式所以被积表达式 f (P)d 是所求量的部分量关于是所求量的部分量关于子块度量子块度量 的线性主部的线性主部d 称为称为度量元素度量元素 ( 或度量微元）或度量微元） 线性主部线性主部 dQ= f (P)d 称为称为(所求

11、量所求量) 微元微元 多元函数积分的微元法：多元函数积分的微元法：dQf P d() QdQf P d( ) 下面根据积分区域下面根据积分区域 的具体类型，分别给出的具体类型，分别给出的各个具体的表达式和名称的各个具体的表达式和名称( )f P d 积分积分01niiif P df P ()lim() （6）1、 二重积分二重积分01niiiiDf x y df ( , )lim(,) （7）其中其中 ( i , i )i (i =1,2, n) , x , y 称为称为积分变量积分变量; d 称为称为面积元素面积元素若若 (6) 中的几何形体中的几何形体 是是 xoy 平面上的有界平面上的有

12、界闭区域闭区域 D , 则函数则函数 f ( P ) 是定义在是定义在 D 上的二元函上的二元函数数 f (x , y) ， i 就是平面子区域就是平面子区域 i ，此时，此时 f 在在 D 上的积分上的积分 ( 6 ) 称为称为二重积分二重积分 ，记为，记为说明说明: (1) 若若 f (x , y) 在在 D 上可积上可积 , 则积分和则积分和 (7) 中中 的极限与划分无关的极限与划分无关 现如果用一组平行于坐标轴的直线划分现如果用一组平行于坐标轴的直线划分 D , 则则iiiyx 01( , )lim( , )niiiiiDf x y dfxy Ddxdyyxf),(dxdy 称为直角

13、坐标系中的称为直角坐标系中的面积元素面积元素(2) 变密度平面薄片变密度平面薄片 D 的质量的质量 Ddyxm ),(3) 二重积分的几何意义二重积分的几何意义问题问题:zyx),(yxfz D设设 z = f (x , y) 0, 且在且在 D 上连续上连续 , 计算以计算以 D 为底为底 , 曲面曲面z = f (x , y)为顶的为顶的 “ 曲顶柱体曲顶柱体 ” 的体积的体积V zyx),(yxfz i 1) 划分划分: 将曲顶柱体划分成将曲顶柱体划分成n 个小曲顶柱体个小曲顶柱体:n i Vi,21 则有则有 niiVV1若记若记 在在 xoy 平面上的投影区域为平面上的投影区域为 V

14、i i 则有则有niiD1 2) 近似近似:当当 充分小时充分小时 ( 此时此时 也充分小也充分小) i Vi z = f (x , y) 在在 i 上近似于不变上近似于不变 ( 即近似于常数即近似于常数 ) n i V fiiii,),(21 fVV niiiinii 11 ),( 3) 精确化精确化:当当 时时 01 )(maxinid 01niiiiD Vf =f x y dlim(,)( , ) 任取任取n i iii,),(21 当当 f (x , y) 0 时，时， 表示以表示以 D 为底为底 , 曲面曲面 z = f (x , y)为顶的为顶的 “ 曲顶柱体曲顶柱体 ” 的体积的

15、体积V Df x y d( , ) 若若 f (x , y) 0 , (x , y) D , 则则 f (x , y) 0 , (x , y) D niiiiD fdyxfV10 ),(lim),( Dniiiidyxf f ),(),(lim10当当 f (x , y) 0 时，时， 表示由表示由 D 与曲面与曲面 z = f (x , y) 所成的所成的 “ 曲顶柱体曲顶柱体 ” 体积体积 V 的负值的负值Df x y d( , ) 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 对于一般的函数对于一般的函数 f (x , y) , 由于由于 xoy 平面上方的平面上方的 曲顶柱体体积取正值曲顶柱体

16、体积取正值 ， xoy 平面下方的取负值平面下方的取负值 Ddyxf ),(区域上的曲顶柱体体积的代数和区域上的曲顶柱体体积的代数和二重积分二重积分 在几何上表示这些部分在几何上表示这些部分01niiDD f x y ddD( , )lim (4) 如果如果 ， 则则 1f x y x yD( , ), ( , )D dD (5) 二重积分值与积分变量名称无关二重积分值与积分变量名称无关 DDdsdttsfdxdyyxf),(),(2、三重积分、三重积分01niiif P df P ()lim() （6）若若 (6) 中的几何形体中的几何形体 是是 空间有界闭区域空间有界闭区域 ,i 是空间子

17、区域是空间子区域 Vi 的体积的体积 Vi ，此时，此时 f 在在 上上则函数则函数 f ( P ) 是定义在是定义在 上的三元函数上的三元函数 f (x , y, z) , 的积分的积分 ( 6 ) 称为称为三重积分三重积分 ，记为，记为01niiiiif x y z dVfV ( , , )lim(,) （8）其中其中 ( i , i , i )Vi (i =1,2, n) , x , y , z 称为称为 dV 称为称为体积元素体积元素积分变量积分变量; 说明：说明：(1) 若若 f (x , y, z) 在在 上可积上可积 , 则积分和则积分和 (8) 中的极限与划分无关中的极限与划分

18、无关 现如果用平行于坐标面的平面划分现如果用平行于坐标面的平面划分 , 则则iiiiVxyz 01niiiiiiif x y z dVfxyz ( , , )lim(,) 01niiiiiiif x y z dVfxyz ( , , )lim(,) f x y z dxdydz( , , ) dxdydz 称为称为直角坐标系中的体积元素直角坐标系中的体积元素(2) 变密度空间物体变密度空间物体 的质量的质量 mx y z dV( , , ) 01niidVVVlim (3) 如果如果 ， 则则 1f x y z x y z( , , ), ( , , ) dVV 3、第一型曲线积分、第一型曲线

19、积分01niiif P df P ()lim() （6）若若 (6) 中的几何形体中的几何形体 是可求长的平面是可求长的平面(或或 空间空间)曲线曲线 L ( 或或 ) ，则函数则函数 f ( P )是定义在是定义在 L ( 或或 ) 上二元函数上二元函数 f (x , y ) ( 或三元函数或三元函数 f ( x , y, z ) ) , i 是空间子弧段是空间子弧段 si 的弧长的弧长 si , 此时此时 f 在在 L (或或 )的积分的积分 ( 6 ) 称为称为函数函数 f 沿曲线沿曲线 L (或或 )的第一型平的第一型平面面( 或空间或空间)曲线积分曲线积分 ，记为记为01niiiiL

20、f x y dsfs ( , )lim(,) （9）01niiiiif x y z dsfs ( , , )lim(,) （10）其中其中 ( i , i , )si ( 或或( i , i , i )si) , x , y ( 或或 x , ds 称为称为弧长元素弧长元素 y , z ) 称为称为积分变量积分变量 ; L ( 或或 ) 称为称为积分路径积分路径 ； 说明：说明：(1) 变密度曲线的质量变密度曲线的质量 Lmx y ds( , ) mx y z ds( , , ) (2) 如果在如果在 L ( 或或 ) 上上 f = 1 , 则则 01niiLdss = s lim 01nii

21、dss = slim 从而可知第一型曲线积分从而可知第一型曲线积分 (9) 、(10) 的被积的被积表达式表达式 f ( x , y)ds ( 或或 f (x , y, z)ds ) 中的弧长元素中的弧长元素ds 就是弧微分就是弧微分(3) 被积函数被积函数 f (x , y) ( 或或 f (x , y, z) 在曲线在曲线 L( 或或 ) 上取值上取值 (4) 第一型平面曲线积分的几何意义第一型平面曲线积分的几何意义设设 f (x , y) 0 , 记以记以 L 为准线为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面与曲面轴的柱面与曲面 z = f (x , y) 的交线为的交线为 L1zy

22、x1L),(yxMLf (x , y)ds 表示介于表示介于 L与与 L1 之间小细条的面积之间小细条的面积 , ),(yxfz A LdsyxfA),(介于介于 L与与 L1 之间的曲面面积之间的曲面面积 :所以所以柱面上柱面上 ds4、第一型曲面积分、第一型曲面积分01niiif P df P ()lim() （6）若若 (6) 中的几何形体中的几何形体 是可求面积的空间曲是可求面积的空间曲面面 ， 则函数则函数 f ( P ) 是定义在是定义在 上的三元函数上的三元函数 f ( x , y, z ) , 在在 上的积分上的积分 ( 6 ) 称为称为函数函数 f 沿曲面沿曲面 的第一型的第

23、一型曲面积分曲面积分 ，记为记为i 是子曲面是子曲面 Si 的面积的面积 Si , 此时此时 f 01niiiiif x y z dSfS ( , , )lim(,) (11)其中其中 ( i , i , i )Si) , x , y , z 称为称为积分变量积分变量 ; dS 称为称为面积元素面积元素 称为称为积分曲面积分曲面 ； 当当 为封闭曲面时也将积分记为为封闭曲面时也将积分记为f x y z dS( , , ) 说明：说明： (1) 变密度曲面的质量变密度曲面的质量 mx y z dS( , , ) (2) 如果在如果在 上上 f = 1 , 则则 01niidSS = S lim

24、(3) 被积函数被积函数 f (x , y, z) 在曲面在曲面 上取值上取值定理定理(可积的必要条件可积的必要条件)如果函数如果函数 f ( P ) 在有界几何形体在有界几何形体 上可积上可积 ，则则 f ( P ) 在在 上有界上有界定理定理(可积的充分条件可积的充分条件)如果函数如果函数 f ( P ) 在有界的闭几何形体在有界的闭几何形体 上上连续连续 ，则，则 f ( P ) 在在 上可积上可积(1) 线性运算性质线性运算性质设设 f , g 在在 上可积上可积 , 则对任意实数则对任意实数 k1 , k2 ,k1 f + k2 g 在在 上也可积上也可积 , 且且 1212k f Pk g P dkf P dkg P d()()()() 3 多元函数积分的性质多元函数积分的性质多元函数积分与定积分具有相同的数量特征：多元函数积分与定积分具有相同的数量特征：数量函数与几何形体度量乘积的和式的极限数量函数与几何形体度量乘积的和式的极限 , 所以所以 它们具有类似的性质它们具有类似的性质 设设 f 在在 1 , 2 上可积上可积 ( 1 , 2 除边界外无除边界外无公共部分公共部分 ) , 则则 f 在在 =