排队论模型与蒙特卡罗仿真

1、1-基本原理、基本原理、 MATLAB实现及案例分析实现及案例分析排队论模型与蒙特卡排队论模型与蒙特卡罗仿真罗仿真2讲讲 座座 提提 纲纲 一一 引例引例 二二 排队现象排队现象 三三 排队论的研究方法排队论的研究方法 四四 蒙特卡罗仿真原理蒙特卡罗仿真原理 五五 仿真例子与分析仿真例子与分析 六六 作业作业3一一 引例引例 1 1 到银行取钱，发现前面有几十个人在排到银行取钱，发现前面有几十个人在排着队，你掉头就走：不能忍受啊！怎么不多开着队，你掉头就走：不能忍受啊！怎么不多开几家银行、再增加几个服务窗口啊！几家银行、再增加几个服务窗口啊！ 假如你假如你是相关人员，你觉得应根据什么来决定是否

2、需是相关人员，你觉得应根据什么来决定是否需要开设新的银行或增加新的服务窗口要开设新的银行或增加新的服务窗口要知要知道这次让你心烦具有随机性（偶然性）啊。道这次让你心烦具有随机性（偶然性）啊。 2 2 银行一般都有几个服务窗口，过去是顾银行一般都有几个服务窗口，过去是顾客每个窗口分别排队等待服务，而现在几乎都客每个窗口分别排队等待服务，而现在几乎都改为叫号制，这相当于多个窗口只排一队的服改为叫号制，这相当于多个窗口只排一队的服务规则。银行为什么要这么做务规则。银行为什么要这么做? ? 有什么好处？有什么好处？4 排队是我们日常生活中常见的现象，排队是我们日常生活中常见的现象，如：如： 上、下班搭

3、乘公共汽车；上、下班搭乘公共汽车； 顾客到商店购买物品；顾客到商店购买物品； 病员到医院看病；病员到医院看病； 学生去食堂就餐等出现的排队和等待学生去食堂就餐等出现的排队和等待 服务现象。服务现象。二二 排队现象排队现象5 排队可以是有形的，也可以是无形的。排队可以是有形的，也可以是无形的。 如几个顾客打电话到出租车站要车，如如几个顾客打电话到出租车站要车，如果出租车站无足够车辆，则部分顾客只得果出租车站无足够车辆，则部分顾客只得在要车处等待，他们分散在不同地方，形在要车处等待，他们分散在不同地方，形成一个无形的排队序列。成一个无形的排队序列。 排队论就是研究排队现象及其规律的一排队论就是研究

4、排队现象及其规律的一门学科，是运筹学的一个分支。如同数学的门学科，是运筹学的一个分支。如同数学的特质那样，排队论研究的内容比我们感觉中特质那样，排队论研究的内容比我们感觉中的排队现象要广泛得多，它是研究那些本质的排队现象要广泛得多，它是研究那些本质上都有排队特征的一类现象。具体表现在：上都有排队特征的一类现象。具体表现在：6 排队的不一定是人，也可以是物。排队的不一定是人，也可以是物。 例如：生产线上等待加工的原料、半例如：生产线上等待加工的原料、半成品；成品； 因故障停止运转等待修理的机器等。因故障停止运转等待修理的机器等。7 上述问题虽互不相同，但却都有上述问题虽互不相同，但却都有要求得到

5、某种服务的人或物以及提要求得到某种服务的人或物以及提供服务的人或机构。供服务的人或机构。 排队论里把要求服务的对象统称排队论里把要求服务的对象统称为为“顾客顾客”, ,提供服务的人或机构称提供服务的人或机构称为为“服务台服务台”或或“服务员服务员”。8 不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统，见图2-1至图2-3。图图2-1 2-1 单服务台排队系统单服务台排队系统9图图2-2 2-2 单队列单队列S S个服务台并联的排队系统个服务台并联的排队系统图图2-3 S2-3 S个队列个队列S

6、S个服务台的并联排队系统个服务台的并联排队系统10 面对拥挤现象，人们总希望尽量设法减面对拥挤现象，人们总希望尽量设法减少排队，通常的做法是增加服务设施。少排队，通常的做法是增加服务设施。 但是增加设施的数量越多，人力、物力但是增加设施的数量越多，人力、物力的支出就越大，同时会出现空闲浪费。的支出就越大，同时会出现空闲浪费。 如果服务设施太少，顾客排队等待的时如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。11 顾客排队时间的长短与服务设施规模的顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就构成了随机服务系统中的一对矛盾。大小，就构成了

7、随机服务系统中的一对矛盾。 如何做到既保证一定的服务质量指标，如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。 这就是随机服务系统理论这就是随机服务系统理论排队论所排队论所要研究解决的问题。要研究解决的问题。 12排队结构服务机构顾客源顾客到达排队规则服务规则离去图1 排 队系统示意图 排队系统一般有三个基本组成部分：排队系统一般有三个基本组成部分：1.1.输输入过程；入过程；2.2.排队规则；排队规则；3.3.服务机构。服务机构。13 输入即顾客的到达，可

8、有下列情况：输入即顾客的到达，可有下列情况： 1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。顾客源可能是有限的，也可能是无限的。 2）顾客是成批到达或是单个到达。顾客是成批到达或是单个到达。 3）顾客到达间隔时间可能是随机的或确定的。顾客到达间隔时间可能是随机的或确定的。 4）顾客到达可能是相互独立或关联的。所谓独顾客到达可能是相互独立或关联的。所谓独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。 5）输入过程可以是平稳的（输入过程可以是平稳的（stationarystationary），也），也可以是非平稳的。输入过程平稳的指顾客相继到达可以是非平稳的。输

9、入过程平稳的指顾客相继到达的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；非平稳的则与时间相关。非平稳的则与时间相关。 3 14 分为分为损失制、等待制、混合制损失制、等待制、混合制三大类。三大类。 (1)(1)损失制损失制 指如果顾客到达排队系统指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。那么他们就自动离开系统永不再来。 典型例子是，如电话拔号后出现忙音，典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需

10、重新拔号。就需重新拔号。 1 15 (2)(2)等待制等待制 当顾客来到系统时，所有服务台都当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。不空，顾客加入排队行列等待服务。 例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则：如下四种规则： 先到先服务（先到先服务（FCFS FCFS ） 按顾客到达的先后顺序按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。对顾客进行服务，这是最普遍的情形。 此外还有后到先服务（此外还有后到先服务（LCFSLCFS）

11、，），随机服务随机服务（RAND）和）和优先权服务（优先权服务（PR）三种情形。）三种情形。 16 (3)(3)混合制混合制这是等待制与损失制相结合的一种服务规这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种：体说来，大致有三种： 队长有限。队长有限。当排队等待服务顾客人数超过规定数量当排队等待服务顾客人数超过规定数量时，后来顾客就自动离去，另求他处服务。时，后来顾客就自动离去，另求他处服务。 如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的。 另两种情况指等待时间

12、和逗留时间限制的情形，略去。另两种情况指等待时间和逗留时间限制的情形，略去。 一般的，损失制和等待制可认为是混合制的两种极端特一般的，损失制和等待制可认为是混合制的两种极端特殊情形。殊情形。17 1 1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队列，不同形式的排队服务机构。如前图队列，不同形式的排队服务机构。如前图2-12-1到到2-2-3 3： 2)2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)3)服务时间分为确定型和随机型。服

13、务时间分为确定型和随机型。 4)4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。18 上述特征中最主要的、影响最大的是：上述特征中最主要的、影响最大的是：顾客相继到达的间隔时间分布顾客相继到达的间隔时间分布服务时间的分布服务时间的分布服务台数服务台数 D.G.KendallD.G.Kendall在在19531953提出了分类法，称为提出了分类法，称为KendallKendall记号记号( (适用于并列服务台适用于并列服务台) )即：即：X/Y/ZX/Y/Z， 式中：式中：X顾客相继到达间隔时间分布。顾客相继到达间隔时间分布。 M负指数分布负指数分布Markov，

14、 D确定型分布确定型分布Deterministic， EkK阶爱尔朗分布阶爱尔朗分布Erlang，19 GI 一般相互独立随机分布一般相互独立随机分布(General Independent)， G 一般随机分布，一般随机分布， Y填写服务时间分布（与上同），填写服务时间分布（与上同），Z填写并列的服务台数。填写并列的服务台数。 如如 即为顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布，即为顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布，单台的排队系统模型。单台的排队系统模型。 在在19711971年的一次国际会议上，将年的一次国际会议上，将KendallKendall记号扩充为记号扩充为 ： X/Y/Z

15、/A/B/CX/Y/Z/A/B/C。其中前三项意义不变，后三项为。其中前三项意义不变，后三项为 A排队系统的最大容量排队系统的最大容量 B顾客源数量顾客源数量 C排队规则排队规则并约定，如略去后三项，即指并约定，如略去后三项，即指 X/Y/Z/X/Y/Z/顾客到达为泊顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限松过程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队系统模型。源，先到先服务的排队系统模型。 20 1.1.排队系统的统计推断排队系统的统计推断: :即判断一个给定的排即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行队系统符合于哪种模型，以

16、便根据排队理论进行研究。研究。 2.2.系统性态问题系统性态问题: :即研究各种排队系统的概率即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标期分布等统计指标, ,包括了瞬态和稳态两种情形。包括了瞬态和稳态两种情形。 3.3.最优化问题：即包括最优设计最优化问题：即包括最优设计( (静态优化静态优化) )，最优运营（动态优化）。最优运营（动态优化）。 21 求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确

17、定系统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。 排队问题的一般步骤：排队问题的一般步骤： 1. 1. 确定或拟合确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分排队系统顾客到达的时间间隔分布和服务时间分布。布和服务时间分布。 2. 2. 研究分析排队系统理论分布的概率特征。研究分析排队系统理论分布的概率特征。 3. 3. 研究研究系统状态的概率。系统状态是指系统中系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客数。状态概率用顾客数。状态概率用P Pn n(t)(t)表示表示, ,即在即在t

18、 t时刻系统中有时刻系统中有n n个顾客的概率，也称瞬态概率。个顾客的概率，也称瞬态概率。22 求解状态概率求解状态概率P Pn n(t)(t)方法是建立含方法是建立含P Pn n(t)(t)的微分差的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此常常使用它的极限很难使用。因此常常使用它的极限( (如果存在的话如果存在的话) )：nttnp)(plim 稳态的物理意义图，系稳态的物理意义图，系统的稳态一般很快都能统的稳态一般很快都能达到，

19、但实际中达不到达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。要稳态的现象也存在。要注意的是求稳态概率注意的是求稳态概率P Pn n并不一定求并不一定求t的极限的极限,只需求只需求P Pn n(t)=0 (t)=0 。 过渡状态 稳定状态 pn t 图3 排队系统状态变化示意图 称为稳态称为稳态( (steady state)steady state)解，解，或称统计平衡状态或称统计平衡状态 ( (Statistical Equilibrium State)Statistical Equilibrium State)的解的解。23 4.4.根据排队系统对应的理论模型根据排队系统对应的理论模型求用以判断系

20、求用以判断系统运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。统运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括数量指标主要包括: : (1) (1)平均队长（平均队长（L Ls s）: :系统中的顾客数。系统中的顾客数。 平均队列长（平均队列长（L Lg g）: :系统中排队等待服务的顾客数。系统中排队等待服务的顾客数。 (2)(2)平均逗留时间平均逗留时间(Ws):(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。指一个顾客在系统中的停留时间。 平均等待时间平均等待时间(Wg):(Wg):一个顾客在系统中排队等待的时间。一个顾客在系统中排队等待的时间。 (3)(3)忙期忙期：指从顾客到达空闲服

21、务机构起到服务机构再次：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾为空闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度）客数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度） 24tnnenttP !)( 式中式中为常数为常数(0)0)，称，称X X服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布，若在上式中引入时间参数若在上式中引入时间参数t t，即令，即令tt代替代替，则有：，则有： 在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变量为量为X，则有：，则有：!neP

22、Xnn n=0,1,2, （1） 与时间有关的随机变量的概率与时间有关的随机变量的概率，是一个，是一个随机过程随机过程，即即泊松过程泊松过程。 t0，n=0,1,2, （2）25)()(,1221ntNtNPttPn （t2t1，n0） 若设若设N(t)N(t)表示在时间区间表示在时间区间0,t)0,t)内到达的顾客数内到达的顾客数(t0),P(t0),Pn n(t(t1 1,t,t2 2) )表示在时间区间表示在时间区间tt1 1,t,t2 2)(t)(t2 2tt1 1) )内有内有n(0)n(0)个顾客到达的概率。即：个顾客到达的概率。即： 在一定的假设条件下在一定的假设条件下 顾客的到

23、达过程就是顾客的到达过程就是一个泊松过程。一个泊松过程。 当当P Pn n(t(t1 1,t,t2 2) )符合下述三个条件时，顾客到达过程符合下述三个条件时，顾客到达过程就是泊松过程就是泊松过程( (顾客到达形成普阿松流顾客到达形成普阿松流) )。26 无后效性：无后效性：各区间的到达相互独立各区间的到达相互独立, ,即即MarkovMarkov性。性。. . . . . . . t0 t1 t2 tn-1 tn|)(|)(11112211)()(,.,)(,)(nnnnxtxnxtxxtxxtxnntxPntxP 也就是说过程在也就是说过程在t+tt+t所处的状态与所处的状态与t t以前所

24、处的状以前所处的状态无态无关。关。 平稳性：平稳性：即对于足够小的即对于足够小的tt，有：，有：)()(tttttP ，1普阿松流具有如下特性：普阿松流具有如下特性： 在在t,t+tt,t+t内有一个顾客到达的概率与内有一个顾客到达的概率与t t无关无关, ,而与而与tt成正比。成正比。27 普通性：普通性：对充分小的对充分小的t,t,在时间区间（在时间区间（t,t+tt）内有内有2 2个或个或2 2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小. . 由此知，在由此知，在(t，t+t)t)区间内没有顾客到达的概率为：区间内没有顾客到达的概率为：)(1),(0totttt

25、P 令令t1 1=0,t=0,t2 2=t,=t,则则P(tP(t1 1,t,t2 2)=P)=Pn n(0,t)=P(0,t)=Pn n(t)(t) 0 0 是常数，它是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称表示单位时间到达的顾客数，称为概率强度。为概率强度。2)(),(nntotttP 即即 P P0 0+P+P1 1+P+P22=1=128 其概率密度函数为：其概率密度函数为：tTTedtdF)t(f t0t0 当输入过程是泊松流时，我们研究两顾客相继到当输入过程是泊松流时，我们研究两顾客相继到达的时间间隔的概率分布。达的时间间隔的概率分布。 设设T T为时间间隔，分布函数为为时间间隔，分

26、布函数为F FT T（t t），则：），则：F FT T（t t）=PTt=PTt 此概率等价于在此概率等价于在00，t t）区间内至少有）区间内至少有1 1个顾客到个顾客到达的概率。达的概率。tTetPtF 1)(1)(0 t0t0tetP)(0 没有顾客到达的概率没有顾客到达的概率为：为： (由（由（5）式而来）式而来) 间隔：间隔： 间隔：间隔： 间隔间隔 对分布函对分布函数微分数微分29 表示单位时间内顾客平均到达数。表示单位时间内顾客平均到达数。 1/表示顾客到达的平均间隔时间。表示顾客到达的平均间隔时间。 可以证明，间隔时间可以证明，间隔时间T T独立且服从负指数分布与独立且服从负

27、指数分布与顾客到达形成泊松流是等价的。顾客到达形成泊松流是等价的。对顾客的服务时间对顾客的服务时间 ：系统处于忙期时系统处于忙期时两顾客相继离两顾客相继离开系统的时间间隔开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，设：，一般地也服从负指数分布，设： 即即T服从负指数分布，它的期望及方差为：服从负指数分布，它的期望及方差为： 1TE21 TVar 接受服务，然后离开接受服务，然后离开服务时间的分布：服务时间的分布：30其中：其中：表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均 服务率。服务率。 1/1/表示一个顾客的平均服务时间。表示一个顾客的平均服务时间。tetF

28、1)(tetf )( ，则，则 令令 ，则，则称为服务强度称为服务强度。一般的，要设一般的，要设1（否则队列会无限，永远达不到稳态）31 对排队模型，在给定输入和服务条件下，主要对排队模型，在给定输入和服务条件下，主要研究系统的下述运行指标：研究系统的下述运行指标： (1)(1)系统的系统的平均队长平均队长LsLs( (期望值期望值) )和和平均队列长平均队列长LqLq( (期望值期望值) )； (2)(2)系统中系统中顾客平均逗留时间顾客平均逗留时间WsWs与队列中与队列中平均平均等待时间等待时间WqWq； 本节只研究本节只研究M/M/1M/M/1模型模型. .3.5 M/M/1 3.5 M

29、/M/1 模型研究模型研究32（M/M/1/FCFS） 系统中有系统中有n n个顾客个顾客 在任意时刻在任意时刻t t，状态为，状态为n n的概率的概率P Pn n(t(t) )（瞬态概率），（瞬态概率），它决定了系统的运行特征。它决定了系统的运行特征。 已知顾客到达服从参数为已知顾客到达服从参数为的泊松过程，服务时的泊松过程，服务时间服从参数为间服从参数为的负指数分布。现仍然通过研究区间的负指数分布。现仍然通过研究区间 t，t+tt）的变化来求解。在时刻）的变化来求解。在时刻t+tt，系统中有，系统中有n n个顾客不外乎有下列四种情况（个顾客不外乎有下列四种情况（ t，t+tt）内到达）内到

30、达或离开或离开2 2个以上个以上没列入）。没列入）。 ？33区区间间( (t t, , t+t t) ) 情情况况 时时刻刻t t的的顾顾客客 到到达达 离离去去 时时刻刻t+t t的的顾顾客客 ( (t t, , t+t t) )的的概概率率 0 0, , t+t t 的的概概率率 A n n 1-t+O(t) 1-t+O(t) Pn(1-t+O(t) （1-t+O(t)） B n+1 n 1-t+O(t) t+O(t) Pn+1(1-t+O(t) （t+O(t)） C n-1 n t+O(t) 1-t+O(t) Pn-1(t+O(t) （1-t+O(t)） D n n t+O(t) t+O

31、(t) Pn(t+O(t) （t+O(t)） 由于这四种情况是互不相容的，所以由于这四种情况是互不相容的，所以Pn(t+t)t)应应是这四项之和，则有：是这四项之和，则有：tttPtttPtttPttPnnnn)1)()()1)(1)()(1)()1 ()(1tOtttPn 所有的高阶无所有的高阶无穷小和并穷小和并34t) t (P) t (P) t(O)t(Ott)(t (Pnnn 11)t(O)t(O)t (Pt)t (P)t(O)t (Pnnn 111) t(Ot) t (Pt) t (P) tt)(t (Pnnn 111t) t(O) t (P)() t (P) t (Pt) t (P

32、) tt (Pnnnnn 11 令令t0t0，得关于，得关于P Pn n(t)(t)的微分差分方程：的微分差分方程：)()()()()(11tPtPtPdttdPnnnn (1) 当当n=0时，只有表中的（时，只有表中的（A）、（）、（B）两种情况，）两种情况，因为在较小的因为在较小的tt内不可能发生（内不可能发生（D D）（到达后即离）（到达后即离去），若发生可将去），若发生可将tt取小即可。取小即可。35)t()t)(t (P)t)(t (P)tt (P 11100 ) t (P) t (Pdt) t (dP100 (2)(2) 这种系统状态这种系统状态(n)随时间变化的过程就是生灭过随时

33、间变化的过程就是生灭过程（程（Birth and Death Process）。）。 方程方程(1)、(2) 解是瞬态解解是瞬态解,无法应用。无法应用。 它 对 时它 对 时间的导数为间的导数为0，所以由，所以由(1)、(2)两式得：两式得： 稳态时，稳态时， Pn(t)与时间无关与时间无关, 可以写成可以写成Pn,011 nnnP)(PP010 PP (3)(3) (4)(4)36 由此可得该排队系统的状态转移图：由此可得该排队系统的状态转移图： 由（由（4）得：）得：001PPP 其中其中服务强度服务强度 将其代入（将其代入（3）式并令）式并令n=1,2,(也可从状态转移也可从状态转移图中

34、看出状态平衡方程图中看出状态平衡方程)得：得：011 nnnP)(PP010 PP (3)(3) (4)(4) 关于关于Pn的差的差分方程分方程 n-1n-1 n n n+1n+1 2 2 0 0 1 1 状态转移图状态转移图370120 P)(PP n=1n=10020 P)(PP 0202021PP)(P)(P n=2n=20231 P)(PP00230 P)(PP 0303022231PP)(P)(P 38 以此类推以此类推，当，当n=n时，时，00)(PPPnnn (5)(5)1 10 nnP 及概率性质知：及概率性质知：111000 PPnn (数列的极限为数列的极限为 ) 11 1

35、0Pnn)(P 1 (6)(6) 否则排队无限远否则排队无限远 系统系统稳态稳态概率概率系统的运行指标系统的运行指标39 (1) 系统中的队长系统中的队长Ls（平均队长）（平均队长） nnnnsnPnL 001.)(n.)()()(n 11312132.nn.nn 1433223322 132.n (01/2)=0.5,（X1/2表示正面出现），用计算机产生服从U(0,1) 分布的一些随机数Xi,若Xi1/2, 认为X1/2发生（硬币正面出现）了，将结果记录与累加就成了掷硬币仿真，程序如下 clc n=1000 %test number m=0; % face frequency for i=

36、1:n r=rand; if r0.5 m=m+1; end end m rate=m/n %face rate50例2：蒙特卡罗法求的（近似）值 求的值已有多种方法，而且要多精确都可以。蒙特卡罗方法求的值效果并不好，这里主要介绍方法。 蒙特卡罗方法可以解决随机性问题，也可解决非随机性问题。当解决随机性问题时，应使模拟与原问题一致。当求解非随机性问题时，通常是构造一个概率模型，使所要求解的数值是该模型的一个参数，而后进行模拟，根据模拟结果得参数的近似值，将问题解决。 下面通过本例说明。51 模型构造：设XU（-1，1）， YU（-1，1），是两个随机变量，且相互独立，则（X，Y）在如右图所示的

37、正方形内服从均匀分布。今考虑事件X2+Y21，该事件就相当于随机变量（X，Y）落在圆周内。利用均匀分布的特征容易得到 ( )1( )( )14nsP AP AfAs阴正，即从而 4fn(A)，程序如下x轴y轴11-1-152 n=10000; % test number m=0; for i=1:n x=unifrnd(-1,1); %generate the rand number of x y=unifrnd(-1,1); %generate the rand number of y if x2+y21 % judge if (X,Y) is in the circle m=m+1; % add the frequency end end fn=m/n % rate yuanzhoulv=4*fn %result53例3：蒙特卡罗法模拟中子穿过原子反应堆屏障问题 原子反应堆外的铅屏障是用来屏障原子反应堆中逸出的中子的，以免给人类造成危害。经试验和分析，可做以下简单假设：假设每一个进入屏障的中子在撞到铅原子前行进的距离为D，然后这个中子以随机方向弹回来，并且在它的下一次撞击中又行进距离D。假设屏障厚度为3D，每一个中子能经受10次撞击，问进入的中子能以多大的比