第1章 1.2.2　空间中的平面与空间向量高中数学选择性必修第一册讲义

1、1 / 11 1.2.2 空间中的平面与空间向量 学 习 目 标 核 心 素 养 1理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量(重点) 2会用平面的法向量证明平行与垂直(重点) 3理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题(难点) 1通过本节知识的学习，培养数学抽象素养 2借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养 如图，在直棱柱 abc- a1b1c1中， (1)与哪些棱平行的向量与平面 abc 平行，这些向量是否两两互相平行？ (2)与哪些棱平行的向量与平面 abc 垂直，这些向量是否两两相互平行？ 空间中的直线根据它的方向向量和一个点，可以描述直线的位置，对于空间中

2、的平面能否利用向量来描述其位置？ 1平面的法向量 (1)如果 是空间中的一个平面，n 是空间中的一个非零向量，且表示 n 的有向线段所在的直线与平面 垂直，则称 n 为平面 的一个法向量，此时也称n 与平面 垂直，记作 n 思考 1：平面 的法向量有多少个？它们之间什么关系？ 提示 无数个 平行 2 / 11 思考 2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？ 提示 垂直 (2)平面的法向量的性质 如果直线 l 垂直于平面 ，则直线 l 的任意一个方向向量都是平面 的一个法向量 如果 n 是平面 的一个法向量，则对任意的实数 0，空间向量 n 也是平面 的一个法向量，且平面 的任意

3、两个法向量都平行 如果 n 为平面 的一个法向量，a 为平面 上一个已知的点，则对于平面 上任意一点 b，向量ab一定与向量 n 垂直，即 n ab0，从而可知平面 的位置可由 n 和 a 唯一确定 (3)如果 v 是直线 l 的一个方向向量，n 是平面 的一个法向量，则 nvl，nvl，或 l (4)如果 n1是平面 1的一个法向量，n2是平面 2的一个法向量，则 n1n212，n1n212或 1与 2重合 2三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜

4、线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直 提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)已知直线 l 垂直于平面 ，向量 a 与直线 l 平行，则 a 是平面 的一个法向量 ( ) (2)若直线 l 是平面 外的一条直线，直线 m 垂直于 l 在平面 内的投影，则 l 与 m垂直 ( ) (3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量 ( ) 答案 (1) (2) (3) 提示 (1) 不一定当 a0 时，也满足 al，尽管 l 垂直于平面 ，a3 / 11 也不是平面 的法向量 (2) 不一定若直线 m 在平面 外，例如 m，尽管

5、m 垂直于直线 l在平面 内的投影，也不能得出 ml (3) 2若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 u(2,0，4)，则( ) al bl cl dl 与 斜交 b a(1,0,2)，u2(1,0,2)2a，u 与 a 平行，l 3平面 的一个法向量为(1,2,0)，平面 的一个法向量为(2，1,0)，则平面 与平面 的位置关系为( ) a平行 b相交但不垂直 c垂直 d不能确定 c (1,2,0) (2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直 4设平面 的法向量的坐标为(1,2，2)，平面 的法向量的坐标为(2，4，k)，若 ，则 k等于_ 4 因为 ，两平面的法

6、向量平行，12242k，k4 求平面的法向量 【例 1】 如图，在四棱锥 p- abcd 中，底面 abcd 为矩形，pa平面abcd，e 为 pd 的中点，abap1，ad 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ace 的一个法向量 解 在四棱锥 p- abcd中，底面 abcd 为矩形， 4 / 11 pa平面 abcd，e为 pd的中点，abap1，ad 3， 以 a 为原点，ab 所在直线为 x 轴，ad 所在直线为 y 轴，ap 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则 a(0,0,0)，c(1， 3，0)， d(0， 3，0)，p(0,0,1)，e0，32，12， ae0，32

7、，12，ac(1， 3，0)， 设平面 ace 的法向量 n(x，y，z)， 则 n ae32y12z0，n acx 3y0，取 y 3，得 n(3， 3，3) 平面 ace 的一个法向量为 n(3， 3，3) 利用待定系数法求法向量的解题步骤 5 / 11 跟进训练 1如图，在四棱锥 p- abcd 中，底面 abcd 为平行四边形，dab60 ，ab2ad2，pd底面 abcd，且 pdad，求平面 pab 的一个法向量 解 因为dab60 ，ab2ad，由余弦定理得 bd 3ad， 从而 bd2ad2ab2，故 bdad，以 d 点为坐标原点，射线 da，db，dp为 x，y，z 轴的正

8、半轴建立空间直角坐标系 d- xyz， 则 a(1,0,0)，b(0， 3，0)，p(0,0,1) ab(1， 3，0)，pb(0， 3，1)， 设平面 pab的法向量为 n(x，y，z)， 则 nab，npb， 即 n ab0，n pb0， 即 x 3y0，3yz0，因此可取 n( 3，1， 3) 平面 pab的一个法向量为( 3，1， 3) 利用法向量证明空间中的位置关系 探究问题 6 / 11 1平面的法向量有何特点？ 提示 设向量 n 是平面 的一个法向量则 (1)n 是一个非零向量 (2)向量 n 与平面 垂直 (3)平面 的法向量有无数多个，它们都与向量 n 平行，方向相同或相反

9、(4)给定空间中任意一点 a 和非零向量 n，可确定唯一一个过点 a 且垂直于向量 n 的平面 2用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？ 提示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，平面 ， 的法向量分别为 u(u1，u2，u3)，v(v1，v2，v3)，则 位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系 lm ab a b0 a1b1a2b2a3b30 l au au，r a1u1，a2u2，a3u3 uv u v0 u1v1u2v2u3v30 【例 2】 如图所示，在正方体 abcd- a1b1c1d1中，e，f，m 分别为棱bb1，cd，aa1

10、的中点证明： (1)c1m平面 ade； (2)平面 ade平面 a1d1f 思路探究 建立空间坐标系，求出平面 ade 与平面 a1d1f 的法向量求解 证明 (1)以 d 为原点，向量da，dc，dd1的方向分别为 x 轴，y 轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为 1 7 / 11 则 d(0,0,0)，a(1,0,0)，e1，1，12，c1(0,1,1)，m1，0，12，da(1,0,0)，de1，1，12，c1m1，1，12 设平面 ade的法向量为 m(a，b，c)， 则 m da0，m de0 a0，ab12c0. 令 c2，得 m(0，1,2)， m c1m(0，1,

11、2)1，1，120110， c1mm 又 c1m平面 ade，c1m平面 ade (2)由 d1(0,0,1)，a1(1,0,1)，f0，12，0 ， 得d1a1(1,0,0)，d1f0，12，1 ， 设平面 a1d1f 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n d1a10，n d1f0 x0，12yz0. 令 y2，则 n(0,2,1) m n(0，1,2) (0,2,1)0220， mn平面 ade平面 a1d1f 1(变结论)本例条件不变，试求直线 d1e 的一个方向向量和平面 efm 的一个法向量 解 如本例建系定坐标，d1(0,0,1)， 8 / 11 e1，1，12，m1，0，12，

12、 所以d1e1，1，12，即直线 d1e的一个方向向量 设平面 efm的法向量为 n(x，y，z)， 因为 f0，12，0 ，所以ef1，12，12，em(0，1,0)， 由 n ef0，n em0，即 x12y12z0，y0. 所以 z2x，y0，令 x1，则 z2 所以平面 efm的一个法向量为(1,0，2) 2(变条件，变结论)在本例中设 d1b1的中点为 n，其他条件不变试证：en平面 b1ac 证明 如本例解析，e1，1，12， n12，12，1 ，a(1，0,0)，b1(1,1,1)，c(0,1,0) en12，12，12，ab1(0,1,1)， ac(1,1,0)， en ab1

13、0，en ac0， enab1，enac，即 enab1，enac 又 ab1aca，en平面 b1ac 利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算 提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示 9 / 11 三垂线定理及逆定理的应用 【例 3】 如图，已知在正方体 abcd- a1b1c1d1中，连接 bd1，ac，cb1，b1a，求证：bd1平面 ab1c 证明 连接 bd，a1b，四边形 abcd 是正方形， acbd 又 dd1平面 abcd， bd是斜线 bd1在平面 abcd上的射影， bd1ac 而 a1b是 bd1

14、在平面 abb1a1内的射影， bd1ab1，又 ab1aca，bd1平面 ab1c 利用三垂线定理证明垂直的步骤 (1)找平面(基准面)及平面的垂线 (2)找射影线(平面上的直线与斜线) (3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直 跟进训练 2在四面体 pabc 中，pabc，pbac，求证：pcab 证明 过 p作 ph平面 abc，连 ah延长交 bc 于 e， 10 / 11 连 bh并延长交 ac 于 f，ph平面 abc，pabc， 而 pa在面 abc 内的射影为 ah，由三垂线定理的逆定理知 bcah， 同理可证 bfac则 h为abc 的垂心，

15、连 ch并延长交 ab 于 g， 于是 cgab，而 ch是 pc 在面 abc 的射影，故 pcab 1三垂线定理以及逆定理是证明线线垂直、线面垂直的有力工具，应用时要分清定理和逆定理的关系 线射垂直线斜垂直 2利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果 1若直线 l 的方向向量 a(1,2，1)，平面 的一个法向量 m(2，4，k)，若 l，则实数 k( ) a2 b10 c2 d10 a 直线 l 的方向向量 a(1,2，1)， 平面 的一个法向量 m(2，4，k)，l， am，12241k，解得 k2 2已知平面 的法向量为 a(1,2，2)，平面 的法向量为 b(2，4，k)，若 ，则 k( ) a4 b4 c5 d5 d ，ab，a b1(2)2(4)(2) k0，k5 11 / 11 3若两个向量ab(1,2,3)，ac(3,2,1)，则平面 abc 的一个法向量为( ) a(1,2，1) b(1,2,1) c(1,2，1) d(1,2,1) a 两个向量ab(1,2,3)，ac(3,2,1)， 设平面 abc 的一个法向量 n(x，y，z)， 则 n abx2y3z0，n ac3x2yz0. 取 x1，得平面 abc 的一个法向量为(1,2，1) 4已知直线 l 与平面