高中数学必修一习题课——函数y=Asin(ωx+φ)与三角函数的应用

1、1 / 6 习题课函数 y=asin(x+)与三角函数的应用 课后训练课后训练巩固提升巩固提升 a组 1.为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数 y=2cos 3x的图象( ) a.向右平移12个单位长度 b.向右平移4个单位长度 c.向左平移12个单位长度 d.向左平移4个单位长度 解析:因为 y=sin 3x+cos 3x=2sin(3 +4),y=2cos 3x=2sin(3 +2),所以只需将 y=2cos 3x 的图象向右平移12个单位长度,即可得到 y=2sin3(-12) +2 = 2sin(3 +4)的图象. 答案:a 2.若函数 f(x)=asin(x

2、+)(a0,0)的部分图象如图所示,则 f(1124)的值为 ( ) a.-62 b.-32 c.-22 d.-1 解析:由题中图象可得 a=2,最小正周期 t=4(712-3)=,则 =2=2. 又 f(712) = 2sin(76+ )=-2, 解得 =3+2k(kz). 所以 f(x)=2sin(2 +3). 所以 f(1124) = 2sin(1112+3) = 2sin54=-1, 故选 d. 答案:d 3.函数 f(x)=2sin(x+)( 0,-2 0,0,|0,0,|)的部分图象,可得 a=2, 34t=342=512 (-3),得 =2. 再根据 2512+=2k,kz, 求

3、得 =2k-56,kz.又| 0, 0,| 0,0,|2的部分图象如图所示,为了得到 y=sin 2x的图象,只需将 f(x)的图象( ) a.向右平移3个单位长度 b.向右平移6个单位长度 c.向左平移3个单位长度 d.向左平移6个单位长度 解析:由题中图象,可知 a=1,34t=712 (-6) =34. 又 t=2,故 =2.所以 f(x)=sin(2x+). 所以 f(712)=sin(2 712+ )=-1, 所以 2712+=2k+32(kz), 解得 =2k+3(kz). 因为|0,-22的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2.若将函数 f(x)的图象向左平移6个单位长度后得到偶

4、函数 g(x)的图象,则函数 f(x)的一个单调递减区间为( ) a.-8,6 b.4,712 c.0,3 d.2,56 解析:因为函数 f(x)=sin(x+) 0,-22的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2,所以 t=.所以 =2. 因为将函数 f(x)的图象向左平移6个单位长度后,得到图象对应的函数 g(x)=sin(2 +3+ )是偶函数, 5 / 6 所以3+=k+2(kz), 解得 =k+6(kz). 因为-22,所以 =6. 所以 f(x)=sin(2 +6). 令2+2k2x+62k+32(kz), 解得6+kxk+23(kz). 当 k=0时,可知函数 f(x)的一个单调递

5、减区间为6,23. 因为4,712 6,23,所以选 b. 答案:b 3.已知函数 f(x)=asin(x+)(a0,0)的部分图象如图所示,且 f()=1,(0,3),则 cos 2+56等于( ) a.223 b.223 c.-223 d.13 解析:由题图可知 a=3,t=(712-3)4=2,故 =2. f(x)=3sin(2x+).又 f(3)=-3, 3sin(23+ )=-3.0,=56. f(x)=3sin(2 +56), f()=1,sin(2 +56) =13. 03,562+5632, cos(2 +56)=-1-(13)2=-223. 答案:c 4.某城市一年中 12个

6、月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+acos6(-6)(x=1,2,3,12)来表示.已知 6 月份的月平均气温最高,为 28 ,12 月份的月平均气温最低,为 18 ,则 10月份的平均气温值为 . 解析:依题意可知 a=28+182=23,a=28-182=5, 故 y=23+5cos6(-6). 当 x=10 时,y=23+5cos(6 4)=20.5. 答案:20.5 5.若函数 y=cos 2x+3sin 2x+a 在区间0,2上有两个不同的零点,则实数 a的取值范围为 . 解析:由题意可知 y=2sin(2 +6)+a,该函数在区间0,2上有两个不同的零点,即直线 y

7、=-a与曲线y=2sin(2 +6)在区间0,2上有两个不同的交点. 6 / 6 结合函数的图象可知 1-a2,故-2a-1. 答案:(-2,-1 6.已知函数 f(x)=sin(-6)-cos x,其中 03,函数 f(x)图象的一个对称中心为(6,0). (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)将函数 f(x)的图象向左平移24个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 g(x)的图象.若 g()=-335,其中 (0,2),求 sin 的值. 解:(1)因为函数 f(x)=sin(-6)-cos x=32sin x-32cos x=3sin(-3), 又函数 f(x)图象的一个对称中心为(6,0), 所以63=k(kz),即 =6( +13)(kz). 因为 03,所以 =2,即 f(x)=3sin(2-3). 令 2k-22x-32k+2(kz), 得 k-12xk+512(kz), 可得函数 f(x)的单调递增区间为k-12,k+512(kz). (2)将函数 f(x)的图象向左平移24个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 g(x)=3sin(