高中数学必修一第四章 4.4.1

1、1 / 10 44 对数函数对数函数 44.1 对数函数的概念对数函数的概念 学习目标 1.理解对数函数的概念.2.会求简单对数函数的定义域.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用 知识点 对数函数的概念 一般地，函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，) 思考 函数 ylogx，ylog2x3是对数函数吗？ 答案 ylogx是对数函数，ylog2x3不是对数函数 1由 ylogax，得 xay，所以 x0.( ) 2ylog2x2是对数函数( ) 3若对数函数 ylogax，则 a0.( ) 4函数 yloga(x1)的定义域为(0，)( )

2、 一、对数函数的概念及应用 例 1 (1)下列给出的函数： ylog5x1； ylogax2(a0，且 a1)；( 3 1)log;yx= ylog3x2；ylogx3(x0，且 x1)； 2log.yx=其中是对数函数的为( ) a b c d (2)已知对数函数的图象过点 m(8,3)，则 f 12_. 答案 (1)d (2)1 2 / 10 解析 (1)中对数式后面加 1，所以不是对数函数；中真数不是自变量 x，所以不是对数函数；和符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；不是对数函数；中底数是自变量 x，而非常数 a，所以不是对数函数，故正确 (2)设 f(x)logax(a0，且 a1

3、)，由图象过点 m(8,3)，则有 3loga8，解得 a2.所以对数函数的解析式为 f(x)log2x，所以 f 12log2121. 反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法 对数函数必须是形如 ylogax(a0，且 a1)的形式，即必须满足以下条件： (1)对数式系数为 1. (2)底数为大于 0且不等于 1 的常数 (3)对数的真数仅有自变量 x. 跟踪训练 1 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ylogx2；ylogax(ar)；ylog8x；yln x；ylogx(x2)；ylog2(x1) a1 个 b2 个 c3个 d4 个 答案 b (2)若对数函数 f(x)

4、的图象过点(4，2)，则 f(8)_. 答案 3 二、与对数函数有关的定义域 例 2 求下列函数的定义域 (1)yloga(3x)loga(3x)； (2)ylog2(164x)； (3)ylog1x5. 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 解 (1)由 3x0，3x0，得3x0，得 4x1642， 由指数函数的单调性得 x0，1x1，得 x0，x31， 即 x2或x2，x3，x2，即3x0，x10， 即 x1，1x0且 a1) byloga(2x)(a0且 a1) cylog(a1)x(a1 且 a2) dy2logax(a0 且 a1) 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概

5、念 答案 c 2函数 ylog2(x2)的定义域是( ) a(0，) b(1，) c(2，) d4，) 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 答案 c 3函数 f(x) 3xlg(x1)的定义域为( ) a1,3) b(1,3) c(1,3 d1,3 答案 c 4对数函数 f(x)过点(9,2)，则 f 13_. 答案 1 解析 设 f(x)logax(a0且 a1)，loga92， a29，a3(舍 a3)， f(x)log3x，f 13log3131. 5函数 f(x)logaxa22a3为对数函数，则 a_. 答案 3 5 / 10 解析 依题意有 a22a30，a0，a1，解

6、得 a3. 1知识清单： (1)对数函数的定义 (2)对数函数的定义域 2方法归纳：待定系数法 3常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件 1给出下列函数： y223log x；ylog3(x1)；ylog(x1)x；ylogx. 其中是对数函数的有( ) a1 个 b2 个 c3个 d4 个 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 答案 a 解析 不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量 x；不是对数函数，因为对数的底数不是常数；是对数函数 2已知函数 f(x)11x的定义域为 m，g(x)ln(1x)的定义域为 n，则 mn等于( ) ax|x1 bx|x1 cx|1x0 x|x0 x

7、|x1， mnx|1x0，a1，解得 a5. 7函数 y()12log3xa的定义域是23， ，则 a_. 答案 2 解析 由 y()12log3xa知，3xa0，即 xa3. a323，即 a2. 8某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 x 万元时，奖励y 万元若公司拟定的奖励方案为 y2log4x2，某业务员要得到 5 万元奖励，则他的销售7 / 10 额应为_万元 答案 128 解析 由题意得 52log4x2， 即 7log2x，得 x128. 9求下列函数的定义域： (1)f(x)log(x1)(3x)； (2)f(x)2x3x1log2(3x1) 解 (1

8、)由题意知 3x0，x10，x11，解得 1x0，解得 x13，且 x1. 故 f(x)的定义域是13，1 (1，) 1020 世纪 70 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级 m，其计算公式为 mlg alg a0.其中 a 是被测地震的最大振幅，a0是“标准地震”的振幅 (1)假设在一次地震中，一个距离震中 1 000 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标准地震的振幅是 0.002，计算这次地震的震级； (2)5 级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的 8 级

9、地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍？ 解 (1)mlg alg a0lgaa0lg200.002lg 1044. 即这次地震的震级为 4级 (2)由题意得 5lg a5lg a0，8lg a8lg a0， 所以 lg a8lg a53， 即 lga8a53. 所以a8a51031 000. 即 8级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1 000 倍 8 / 10 11函数 ylog2(x1)2x的定义域是( ) a(1,2 b(1,2) c(2，) d(，2) 答案 b 解析 由 x10，2x0，得 x1，x2， 1x0， 且 a11，所以 a1. 14函数 f(x)lg2k

10、x2kx38的定义域为 r，则实数 k的取值范围是_ 答案 0,3) 解析 依题意，2kx2kx380的解集为 r， 即不等式 2kx2kx380恒成立， 当 k0 时，380恒成立，k0满足条件 当 k0 时，则 k0，k242k380，解得 0k3. 综上，k的取值范围是0,3) 9 / 10 15函数 f(x) alg x的定义域为(0,10，则实数 a的值为( ) a0 b10 c1 d.110 答案 c 解析 由已知，得 alg x0的解集为(0,10， 由 alg x0，得 lg xa， 又当 0 x10 时，lg x1， 所以 a1，故选 c. 16国际视力表值(又叫小数视力值，

11、用 v 表示，范围是0.1，1.5)和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用 l 表示，范围是4.0,5.2)的换算关系式为 l5.0lg v. (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整； v 1.5 0.4 l 5.0 4.0 (2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的小数视力值是甲的 2 倍，求乙的对数视力值 (所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1) 解 (1)因为 5.0lg 1.55.0lg1510 5.0lg 325.0lg 3lg 2 5.00.477 10.301 05.2， 所以应填 5.2； 因为 5.05.0lg v， 所以 v1，处应填 1.0； 因为 5.0lg 0.45.0lg4105.0lg 41 5.02lg 215.020.301 014.6， 所以处应填 4.6； 因为 4.05.0lg v，所以 lg v1. 所以 v0.1.