高一数学《简单的线性规划》PPT课件

1、简单的线性规划 第一讲 二元一次不等式表示平面区域 第二讲 线性规划 第三讲 线性规划的实际应用二元一次不等式表示的平面区域oxy 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的 解 为 坐 标 的 点 的 集 合(x,y)|x+y-1=0是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l，那 么 以 二 元 一 次 不 等 式x+y-10的解为坐标的点的集合(x,y)|x+y-10是什么图形? 11x+y-1=0 结论：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c0 x+y-10 x+y-10表示这一直线哪一侧的平面

2、区域，特殊地，当c0时常把原点作为此特殊点。二元一次不等式表示平面区域例1：画出不等式2x+y-60y01223314455xy03x +y=10 x +4y=11解：解：由题意得可行域如图由题意得可行域如图: 由图知满足约束条件的由图知满足约束条件的可行域中的整点为可行域中的整点为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2) 故有四个整点可行解故有四个整点可行解.线性规划例4：设z=2x+y，式中变量满足下列条件： 求z的最大值与最小值。 1255334xyxyx55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01abcc: (1.00, 4.40)a: (5.00, 2.00)b: (1.0

3、0, 1.00)oxy.1255334. 1所表示的区域所表示的区域先作出先作出 xyxyx02 yx02:. 20 yxl作直线作直线rttyxll ,2:. 30直线直线平行的平行的作一组与直线作一组与直线直线直线l l越往右平越往右平移移,t,t随之增大随之增大. .以经过点以经过点a(5,2)a(5,2)的的直线所对应的直线所对应的t t值值最大最大; ;经过点经过点b(1,1)b(1,1)的直线所对应的的直线所对应的t t值最小值最小. .3112,12252minmax zzzmin=3zmax=12线性规划有关概念线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统

4、称为线性规划问题 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 可行域可行域课堂练习：课堂练习：2zxy（1 1）求）求 的最大值，使的最大值，使x,yx,y满足约束条满足约束条件件11yxxyy （2 2）求）求 的最大值和最小值，使的最大值和最小值，使x,yx,y满足约束条件满足约束条件35zxy5315153xyyxxy551oxyy-x=0 x+y-1=01-1y+1=0a(2,-1)b(-1,-1)3max zmin3z 551oxy1-15x+3y=15x-5y

5、=3y=x+1a(-2,-1)b(3/2,5/2)11;17minmax zz（3）求）求z=2x+y的最大值，使式中的的最大值，使式中的x、y满足约束条件：满足约束条件：11yyxxyxoyabcy=x x+y=1y=-12x+y=011yyxxyb:(-1,-1)c:(2,-1)zmin=-3zmax=3 目标函数：目标函数： z=2x+y解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （2 2）移：在线性目标函数所表示的一组平行）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点的边界直线；点的边界直线； （3 3）求：通过解

6、方程组求出最优解；）求：通过解方程组求出最优解； （1 1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；）画：画出线性约束条件所表示的可行域；例例5 5：某人准备投资：某人准备投资12001200万元兴办一所完全中学。万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）（以班级为单位） 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费16001600元，高中每人每年可收学费元，高中每人每年可收学费27002700元。

7、那么开设初中元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？ 学段学段班级学生数班级学生数 配备教师数配备教师数初中初中45226班班2人人高中高中40354班班2人人万元硬件建设万元教师年薪把上面四个不等式合在一起，把上面四个不等式合在一起，得到得到0y0 x042yx30yx20yx2030402030o 另外，开设的班级不能为负，则另外，开设的班级不能为负，则x0 x0，y0y0。而由于资金限制而由于资金限制，2626x x54y54y2 22x2x2 23y12003y1200 解：设开设初中班解：设开设初中班x x个，高中班个，高中

8、班y y个。因办学规模以个。因办学规模以20203030个班为宜，所以，个班为宜，所以， 2020 x xy30y30yx2030402030o 由图可以看出，当直由图可以看出，当直线线z7.2x10.8y经过经过可行域上的点可行域上的点m时，时，z最大。最大。 设收取的学费总额为设收取的学费总额为z万元，则目标函数万元，则目标函数z0.1645x0.2740y7.2x10.8y。m 易求得易求得m（20，10），则），则zmax 7.2x10.8y 252 故开设故开设20个初中班和个初中班和10个高中班，收取的学费最个高中班，收取的学费最多，为多，为252万元。万元。例例6 6：一个化肥厂

9、生产甲、乙两种混合肥料，生产：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大

10、的利润？各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo0y0 x6615y18x10y4x解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y车皮，能够产车皮，能够产生利润生利润z万元。目标函数为万元。目标函数为zx0.5y，可行域如图：，可行域如图：把把zx0.5y变形为变形为y2x2z，它表示斜率为，它表示斜率为2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组直线系。的一组直线系。 xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点由图可以看出，当直线经过

11、可行域上的点m时，时，截距截距2z最大，即最大，即z最大。最大。 故生产甲种、乙种肥料各故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润为3万元。万元。m 容易求得容易求得m点的坐标为点的坐标为（2，2），则），则zmin3 解：解： 设每月生产甲产品设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每件，每月收入为月收入为z，目标函数为，目标函数为z3x2y，约束条件是，约束条件是0050024002yxyxyxxyo400200250500 如图，当直线经过点如图，当直线经过点m时，截距最大，时，截距最大，z最大。最大。m解方程组解方程组5002

12、4002yxyx可得可得m（200，100）z 的最大值为的最大值为3x2y800故生产甲产品故生产甲产品200件，件，乙产品乙产品100件，收入件，收入最大，为最大，为80万元。万元。0050024002yxyxyx例例7：某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成：某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成a、b、c三种三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，张，钢板钢板总总张数为张数为z,则则 规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一

13、种钢板第二种钢板第二种钢板a规格规格b规格规格c规格规格2121312x+y15,x+2y18,x+3y27,x0y0 某顾客需要某顾客需要a,b,c三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15，18，27块，块，若你是若你是经理经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。数最少。x张张y张张分分析析问问题题: :目标函数目标函数: z=x+y) )n ny y, ,x x( ( x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, y0直线直线x+y=12经过的经

14、过的整点是整点是b(3,9)和和c(4,8)，它们是最优解，它们是最优解. 作出直线作出直线l:x+y=0，目标函数目标函数:z= x+yb(3,9)c(4,8)a(3.6,7.8)当直线当直线l经过点经过点a时时z=x+y=11.4,x+y=12解得交点解得交点b,c的坐标的坐标b(3,9)和和c(4,8)2 4 6181282724681015但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12答（略）答（略）约束条件约束条件:画可行域画可行域平移平移l找交点及交点坐标找交点及交点坐标) )n ny y, ,x x( ( 调整优解法调整优解法1.满足哪些条件的解才是最优解满足哪些条件的解才是最优解?2.目标函数经过目标函数经过a(3.6,7.8)时时z的值是多少的值是多少?你能否猜测一下你能否猜测一下z的最小值可能是多少的最小值可能是多少?3.最优解的几何意义是什么最优解的几何意义是什么 (最优解可以转化为什么几何意义最优解可以转化为什么几何意义)?图例题4.gsp示x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xn*y0 yn*经过可行域内的整点经过可行域内的整点b(3,9)和和