高中数学必修二第八章 8.5.2

1、1 / 14 8.5.2 直线与平面平行直线与平面平行 学习目标 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行. 知识点一 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a，b，aba 图形语言 思考 (1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？ 答案 不一定，也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外. (2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？ 答案 平行或直线在平面内. 知识点二 直线与

2、平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a，a，bab 图形语言 2 / 14 思考 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线( ) a.只和这个平面内的一条直线平行 b.只和这个平面内的一条直线相交 c.和这个平面内的任何一条直线都平行 d.和这个平面内的任何一条直线都不相交 答案 d 1.若直线 a 与平面 不平行，则 a 与 相交.( ) 2.若直线 l与平面 内的无数条直线不平行，则直线与平面 不平行.( ) 3.若直线 a，b和平面 满足 a，b，则 ab.( ) 4.若直线 l不平行于平面 ，则直线 l就

3、不平行于平面 内的任意一条直线.( ) 一、直线与平面平行的判定定理的应用 例 1 (1)如果两直线 ab，且 a，则 b 与 的位置关系是( ) a.相交 b.b c.b d.b或 b 答案 d 解析 由 ab 且 a，知 b 或 b. (2)如图，在正方体 abcda1b1c1d1中，e，f，g 分别是 bc，cc1，bb1的中点，求证：ef平面 ad1g. 3 / 14 证明 连接 bc1(图略)， 在bcc1中， e，f分别为 bc，cc1的中点，efbc1， 又aba1b1d1c1，且 aba1b1d1c1， 四边形 abc1d1是平行四边形， bc1ad1，efad1，又 ef平面

4、 ad1g， ad1平面 ad1g，ef平面 ad1g. 反思感悟 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实 4等. 跟踪训练 1 如图，四边形 abcd 是平行四边形，p 是平面 abcd 外一点，m，n 分别是ab，pc的中点.求证：mn平面 pad. 证明 如图，取 pd的中点 g，连接 ga，gn. g，n 分别是pdc的边 pd，pc的中点， gndc，gn12dc. 4 / 14 m为平行四边形 abcd 的边 ab 的中点， am12dc，amdc， amgn，amgn， 四边形 amng为平行四边

5、形，mnag. 又 mn平面 pad，ag平面 pad， mn平面 pad. 二、直线与平面平行的性质定理的应用 例 2 如图所示，在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 是平行四边形，ac 与 bd 交于点o，m 是 pc 的中点，在 dm 上取一点 g，过 g 和 ap 作平面交平面 bdm 于 gh，求证：apgh. 证明 连接 mo. 四边形 abcd是平行四边形， o 是 ac 的中点. 又m 是 pc 的中点，apom. 又ap平面 bdm， om平面 bdm， ap平面 bdm. 5 / 14 又ap平面 apgh，平面 apgh平面 bdmgh，apgh. 反思感悟 线面平行

6、的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行. 跟踪训练 2 如图，在五面体 efabcd 中，已知四边形 abcd 为梯形，adbc，求证：adef. 证明 adbc，ad平面 bcef，bc平面 bcef， ad平面 bcef， ad平面 adef，平面 adef平面 bcefef， adef. 1.(多选)已知 b 是平面 外的一条直线，下列条件中，不能得出 b 的是( ) a.b 与 内的一条直线不相交 b.b与 内的两条直线不相交 c.b与 内的无数条直线不相交 d.b 与 内的所有直线不相交 答案 abc 2.下列命题： 如果一条直线不在平面内

7、，则这条直线就与这个平面平行； 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行； 6 / 14 如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行. 其中正确命题的个数为( ) a.0 b.1 c.2 d.3 答案 b 解析 正确；错误. 3.如图所示，在空间四边形 abcd 中，e，f，g，h 分别是 ab，bc，cd，da 上的点(不与端点重合)，ehfg，则 eh与 bd 的位置关系是( ) a.平行 b.相交 c.异面 d.不确定 答案 a 4.如图，在三棱锥 sabc中，e，f 分别是 sb，sc上的点，且 ef平面 abc，则( ) a.ef与 bc 相交 b.efbc c.ef与

8、bc异面 d.以上均有可能 答案 b 5.若直线 l平面 ，则过 l作一组平面与 相交，记所得的交线分别为 a，b，c，那么这些交线的位置关系为( ) a.都平行 b.都相交且一定交于同一点 c.都相交但不一定交于同一点 d.都平行或交于同一点 7 / 14 答案 a 解析 因为直线 l平面 ，所以根据直线与平面平行的性质知 la，lb，lc，所以 abc. 1.知识清单： (1)直线与平面平行的判定定理. (2)直线与平面平行的性质定理. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：注意定理中条件的严密性. 1.直线 a，b 为异面直线，过直线 a与直线 b 平行的平面( ) a.有且只有一个

9、 b.有无数多个 c.有且只有一个或不存在 d.不存在 答案 a 解析 在 a 上任取一点 a，则过 a 与 b 平行的直线有且只有一条，设为 b，又aba，a 与 b确定一个平面 ，即为过 a与 b平行的平面，可知它是唯一的. 2.下列条件中能得出直线 m与平面 平行的是( ) a.直线 m与平面 内所有直线平行 b.直线 m与平面 内无数条直线平行 c.直线 m与平面 没有公共点 8 / 14 d.直线 m与平面 内的一条直线平行 答案 c 解析 a，本身说法错误；b，当直线 m 在平面 内时，m 与 不平行；c，能推出 m 与 平行；d，当直线 m在平面 内时，m 与 不平行. 3.过直

10、线 l外两点，作与 l平行的平面，则这样的平面( ) a.不可能作出 b.只能作出一个 c.能作出无数个 d.上述三种情况都存在 答案 d 解析 设直线外两点为 a，b，若直线 abl，则过 a，b 可作无数个平面与 l 平行；若直线 ab与 l异面，则只能作一个平面与 l平行；若直线 ab与 l相交，则过 a，b 没有平面与l平行. 4.如果 a，b 是两条异面直线，且 a，那么 b 与 的位置关系是( ) a.b b.b与 相交 c.b d.不确定 答案 d 5.在梯形 abcd 中，abcd，ab平面 ，cd平面 ，则直线 cd 与平面 内的直线的位置关系只能是( ) a.平行 b.平行

11、或异面 c.平行或相交 d.异面或相交 答案 b 解析 由 abcd，ab平面 ，cd平面 ，得 cd， 所以直线 cd 与平面 内的直线的位置关系是平行或异面. 6.直线 a平面 ， 内有 n 条直线交于一点，则这 n条直线中与直线 a平行的直线有_条. 答案 0或 1 9 / 14 解析 过直线 a 与交点作平面 ，设平面 与 交于直线 b，则 ab，若所给 n 条直线中有 1 条是与 b 重合的，则此直线与直线 a 平行，若没有与 b 重合的，则与直线 a 平行的直线有 0 条. 7.如图，在正方体 abcda1b1c1d1中，e 是 dd1的中点，则 a1c1与平面 ace 的位置关系

12、为_. 答案 平行 解析 a1c1ac，a1c1平面 ace，ac平面 ace，a1c1平面 ace. 8.三棱锥 sabc 中，g 为abc 的重心，e 在棱 sa 上，且 ae2es，则 eg 与平面 sbc 的关系为_. 答案 平行 解析 如图，延长 ag 交 bc于 f，连接 sf，则由 g为abc的重心知 aggf2， 又 aees2，egsf， 又 sf平面 sbc，eg平面 sbc， eg平面 sbc. 9.如图所示，在正方体 abcda1b1c1d1中，e，f 分别是棱 bc，c1d1的中点.求证：ef平面 bdd1b1. 10 / 14 证明 取 d1b1的中点 o，连接 o

13、f，ob(图略). f为 c1d1的中点， ofb1c1且 of12b1c1， 又 beb1c1，be12b1c1， ofbe 且 ofbe， 四边形 ofeb 是平行四边形，efbo. ef平面 bdd1b1，bo平面 bdd1b1， ef平面 bdd1b1. 10.如图，四边形 abcd 是矩形，p平面 abcd，过 bc 作平面 bcfe 交 ap 于点 e，交 dp于点 f，求证：四边形 bcfe 是梯形. 证明 四边形 abcd 为矩形，bcad. ad平面 pad，bc平面 pad， bc平面 pad. 平面 bcfe平面 padef，bc平面 bcfe， bcef. adbc，a

14、def，bcef， 四边形 bcfe 是梯形. 11.如图所示，在空间四边形 abcd 中，e，f 分别为边 ab，ad 上的点，且 aeebaffd14，又 h，g分别为 bc，cd的中点，则( ) 11 / 14 a.bd平面 efgh，且四边形 efgh是矩形 b.ef平面 bcd，且四边形 efgh 是梯形 c.hg平面 abd，且四边形 efgh 是菱形 d.eh平面 adc，且四边形 efgh 是平行四边形 答案 b 12.如图所示，四边形 efgh 为四面体 abcd 的一个截面，若aecebffcbggd，则与平面efgh平行的直线有( ) a.0 条 b.1 条 c.2条 d

15、.3条 答案 c 解析 aecebffc，efab. 又 ef平面 efgh，ab平面 efgh， ab平面 efgh. 同理，由bffcbggd， 可证 cd平面 efgh. 与平面 efgh平行的直线有 2 条. 13.在正方体 abcda1b1c1d1中，若过 a，c，b1三点的平面与底面 a1b1c1d1的交线为l，则 l与 a1c1的位置关系是_. 12 / 14 答案 a1c1l 解析 因为平面 abcd平面 a1b1c1d1，ac平面 abcd， 所以 ac平面 a1b1c1d1. 又平面 acb1经过直线 ac与平面 a1b1c1d1相交于直线 l， 所以 acl. 又因为 a

16、1c1ac，所以 a1c1l. 14.如图所示，abcda1b1c1d1是棱长为 a 的正方体，m，n 分别是下底面的棱 a1b1，b1c1的中点，p是上底面的棱 ad上的一点，apa3，过 p，m，n的平面交上底面于 pq，q在 cd上，则 pq_. 答案 2 23a 解析 mn平面 ac，平面 pmnq平面 acpq， mnpq，易知 dpdq2a3， 故 pq pd2dq2 2dp2 2a3. 15.如图，在四面体 abcd 中，m，n 分别是acd，bcd 的重心，则四面体的四个面中与 mn 平行的是_. 13 / 14 答案 平面 abc，平面 abd 解析 连接 bn，am，并延长交 cd于点 e. 由题意易得 mnab，mn平面 abc，ab平面 abc，mn平面 abd，ab平面 abd， mn平面 abc，mn平面 abd. 16.如图，四边形 abcd 为正方形，abe