04第四讲不等式（精编版）

1、第四讲不 等 式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识一、一元二次不等式及其解法1 形如20(0) (0)axbxca或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式【例 1】解不等式260 xx分析： 不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 - 正正 ( 负负 ) 得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组解： 原不等式可以化为：(3)(2)0 xx，于是：3020 xx或3020 xx333222xxxxxx或或所以，原不等式的解是32xx或说明： 当把一元二次不等式化为20

2、(0)axbxc或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法【例 2】解下列不等式：(1) (2)(3)6xx(2) (1)(2)(2)(21)xxxx分析： 要先将不等式化为20(0)axbxc或的形式，通常使二次项系数为正数解： (1) 原不等式可化为：2120 xx，即(3)(4)0 xx于是：3030344040 xxxxx或所以原不等式的解是34x(2) 原不等式可化为：240 xx，即240(4)0 xxx x于是：00044040 xxxxxx或或所以原不等式的解是04xx或2一元二次不等式20(0)axbxc或与二次函数2 (0)yaxbxca及一元二次方程2

3、0axbxc的关系 (简称：三个二次)以二次函数26yxx为例：(1) 作出图象；(2) 根据图象容易看到，图象与x轴的交点是( 3,0),(2,0)，即当32x或时，0y就是说对应的一元二次方程260 xx的两实根是32x或(3) 当32xx或时，0y，对应图像位于x轴的上方就是说260 xx的解是32xx或当32x时，0y，对应图像位于x轴的下方就是说260 xx的解是32x一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象如果图象与x轴有两个交点12(,0),(,0)xx，此时对应的一元二次方程有两个不

4、相等的实数根12,xx(也可由根的判别式0来判断 ) 那么 (图 1)：2120 (0) axbxcaxxxx或2120 (0) axbxcaxxx如果图象与x轴只有一个交点(,0)2ba，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22xbxxa(也可由根的判别式0来判断 ) 那么 (图 2)：20 (0) 2baxbxcaxa20 (0 )a xb xca无解如果图象与x轴没有交点， 此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式0来判断 ) 那么 (图 3)：20(0 )a xb xcax取一切实数20 (0 )a xb xca无解如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理

5、：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,xx那么“0”型的解为12xxxx或(俗称两根之外 )；“0”型的解为12xxx(俗称两根之间)；(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24bacbaxbxca xaa，结合完全平方式为非负数的性质求解【例 3】解下列不等式：(1) 2280 xx(2) 2440 xx(3) 220 xx解： (1) 不等式可化为(2)(4)0 xx 不等式的解是24x (2) 不等式可化为2(2)0 x 不等式的解是2x (3) 不等式可化为217()024x【例 4】已知对于任意实数x，22kxxk恒为

6、正数，求实数k的取值范围解： 显然0k不合题意，于是：222000111( 2)4010kkkkkkkk或【例 5】已知关于x的不等式22(1)30kxkx的解为13k，求k的值分析： 对应的一元二次方程的根是1和3，且对应的二次函数的图象开口向上根据一元二次方程根与系数的关系可以求解解： 由题意得：2011313( 1) 3kkkkk说明：本例也可以根据方程有两根1和3， 用代入法得：22( 1)(1)( 1)30kk，2233(1)30kk，且注意0k，从而1k二、简单分式不等式的解法【例 6】解下列不等式：(1) 2301xx(2) 2301xxx分析： (1) 类似于一元二次不等式的解

7、法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数解： (1) 解法 (一) 原不等式可化为：3323023031221010211xxxxxxxxx或或解法 (二) 原不等式可化为：3(23)(1)012xxx(2) 22131()024xxx原不等式可化为：303xx【例 7】解不等式132x解： 原不等式可化为：(35)(2)013535530002202223xxxxxxxxxx或说明： (1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0(2

8、) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：2220201532553(2)13(2)12333xxxxxxxxxxx或或或三、含有字母系数的一元二次不等式一元一次不等式最终可以化为 (0)axb a的形式(1) 当0a时，不等式的解为：bxa；(2) 当0a时，不等式的解为：bxa；(3) 当0a时，不等式化为：0 xb； 若0b，则不等式的解是全体实数；若0b，则不等式无解【例 8】求关于x的不等式222m xmxm的解解： 原不等式可化为：(2)2m mxm(1) 当202mm即时，1mx，不等式的解为1xm；(2) 当202mm即时，1mx02m时，不等式的解为1xm；0m时，不

9、等式的解为1xm；0m时，不等式的解为全体实数(3) 当202mm即时，不等式无解综上所述：当0m或2m时，不等式的解为1xm；当02m时，不等式的解为1xm；当0m时，不等式的解为全体实数；当2m时，不等式无解【例 9】已知关于x的不等式22kkxx的解为12x，求实数k的值分析：将不等式整理成axb的形式， 可以考虑只有当0a时，才有形如bxa的解，从而令12ba解： 原不等式可化为：2(1)2kxk所以依题意：2101332121212kkkkkk或a 组1解下列不等式：(1) 220 xx(2) 23180 xx(3) 231xxx(4) (9)3(3)x xx2解下列不等式：(1)

10、101xx(2) 31221xx(3) 21x(4) 221021xxx3解下列不等式：(1) 22222xxx(2) 21110235xx4已知不等式20 xaxb的解是23x，求,a b的值5解关于x的不等式(2)1mxm6已知关于x的不等式22kxkkx的解是1x，求k的值7已知不等式220 xpxq的解是21x，求不等式220pxqx的解b 组1已知关于x的不等式20mxxm的解是一切实数，求m的取值范围2若不等式2231xxkk的解是3x，求k的值3解关于x的不等式2256xaxa4a取何值时，代数式2(1)2(2)2aa的值不小于0？5 已 知 不 等 式20a xb xc的 解 是x， 其 中0， 求 不 等 式20c xb xa的解练习第四讲不等式答案a 组11(1)0 (2)36 (3)1 (4)32xxxx211(1)1