高中数学讲义微专题57放缩法证明数列不等式

1、- 1 - / 18 微专题57 放缩法证明数列不等式 一、基础知识： 在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 1、放缩法证明数列不等式的理论依据不等式的性质： （1）传递性：若,ab bc，则ac（此性质为放缩法的基础，即若要证明ac，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b，使得ab，从而将问题转化为只需证明bc即可 ） （2）若,ab cd，则acbd+，此性质可推广到多项求和： 若( )( )( )121 ,2 ,nafafaf n，则:( )( )(

2、 )1212naaafff n+ （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0abcd，则acbd，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法： （1）常见的数列求和方法和通项公式特点： 等差数列求和公式：12nnaasn+=，naknm=+（关于n的一次函数或常值函数） 等比数列求和公式：()()1111nnaqsqq=，nnak q=（关于n的指数类函数） 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

3、（2）与求和相关的不等式的放缩技巧： 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向） 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微- 2 - / 18 调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。 （3）放缩构造裂项相消数列

4、与等比数列的技巧： 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项） 等比数列：所面对的问题通常为“ns 常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足()0,1q ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为11aq的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数122=1314，即可猜想该等比数列的首项为12，公比为14，即通项公式为124n 。 注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以

5、是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响 （4）与数列中的项相关的不等式问题： 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即( )1nnaaf n+或( )1nnaf na+（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为na，另一侧为求和的结果，进而完成证明 3、常见的放缩变形： （1）()()211111n nnn n+，其中2,nnn：可称21n为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。 - 3 - / 18

6、注：对于21n，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：()()22111111111211nnnnnn=+，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如： ()()2221141111141 21212 21214nnnnnnn=+ （2）12nnn=+，从而有：()()212212111nnnnnnnnn+=+ 注：对于1n还可放缩为：12,2,nnnnnn （3）分子分母同加常数：()()0,0 ,0,0bbmbbmbamabmaamaam+ 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先

7、构造出形式再验证不等关系。 （4）()()()()()()()121222221212122212121nnnnnnnnnnn= ()1112,2121nnnnn= 可推广为：()()()()()()()121111111nnnnnnnnnnnkkkkkkkkkkkk= ()1112,2, ,11nnnkk nnkk= 二、典型例题： 例 1：已知数列 na的前n项和为ns，若()14211nnsna+=+，且11a = （1）求证：数列 na是等差数列，并求出 na的通项公式 （2）设1nnnbas=，数列 nb的前n项和为nt，求证：32nt 解：（1）()14211nnsna+=+ -

8、4 - / 18 ()()142312nnsnan=+ ()()142123nnnanana+= ()2n 即()()1121212121nnnnannanaan+= 1312221235,23253nnnnananaanana= 1312221 23523 253nnnnaaannaaann=即()22123nanna= 2213nnaa=，由()14211nnsna+=+令1n =可得： 122413saa=+ = ()212nann= ，验证11a =符合上式 21nan= 2nsn= （2） 由（1）得：()()2112121nbnnnn= 11b = 可知当2n 时，()()()11

9、111121222121nbnnnnn nnn= 121111111122231nntbbbbnn=+ 1131122n= + 不等式得证 例 2：设数列 na满足：111,3,nnaaa nn+=，设ns为数列 nb的前n项和，已知10b ，112,nnbbss nn= （1）求数列 ,nnab的通项公式 （2）求证：对任意的nn且2n ，有223311132nnababab+ - 5 - / 18 解：（1）13nnaa+= na为公比是3的等比数列 11133nnnaa= 在 nb中，令1n =，1111121bbssb= 21nnbs = 1121nnbs = ()112222nnnn

10、nbbbnbb= nb是公比为2的等比数列 11122nnnbb= （2）证明：112111323nnnnnab= 2233111nnababab+ 1121113113131113323213nnn += 例 3：已知正项数列 na的前n项和为ns，且12,nnnas nna+= （1）求证：数列 2ns是等差数列 （2 2）记数列）记数列3121112,nnnnbs tbbb=+，证明：，证明：131121ntnn+ 解：（1）()1111222nnnnnnnnassssnass+=+= 111nnnnssss=+ 2211nnss= 2ns为等差数列 （2）思路：先利用（1）可求出ns的

11、公式进而求出2nbn n=，则112nbn n=，考虑进行- 6 - / 18 放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。 解：令1n =代入12nnnasa+=可得： 1111121aaaa+=即11s = 由 2ns为等差数列可得：()2211nssnn=+= nsn= 2nbn n= 112nbn n= 考虑先证312ntn ()()()111111122111nnnnnnbnnnnnn nnnn= + 2n时 1111111113111222231ntbnnnn+=+ = 1n =时，113122t = 312ntn 再证111ntn + ()()11111112111nnn

12、nnbnnnnnn nnnn+ + =+ + 1111111122311ntnnn+= + 综上所述：131121ntnn+ 小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩： - 7 - / 18 11111121nnnnnnnnn+ =+ + 例 4：已知数列 na满足21112,2 1,nnaaa nnn+=+ （1）求证：数列2nan是等比数列，并求出数列 na的通项公式 （2 2）设）设nnnca=，求证：，求证：121724nccc+ 解：（1）()2212112 12nnnnaaann+=+= ()12221nnaann+=+ 2nan是公比为2的等比数列 1122221nnnaa

13、n= 22nnan= （2）思路：12nnnncan=，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有n，故分子分母通乘以()1n，再进行放缩调整为裂项相消形式。 解：()1121 2nnnnnncann n= 而()()()()1211111 221 21 2nnnnnnnnnn nn n+= 所以()()()()1111121 21 21 22nnnnnnncnn nn nnn+= ()12123344511111113 24 24 25 21 22nnnccccccnn+ 111111711728242

14、4224224nnnn=+= ()3n - 8 - / 18 0nc 11212316172424cccccc+= 小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。 （2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本题中3n 才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。 例：已知数列 na的前n项和()31 ,nnsnan nnn=，且317a = （1）求1a （2）求数列 na的前n项和ns （3）设数列 nb的前n项和nt，且满足nnnbs=，求证：2323ntn+ 解：

15、（1）在()31 ,nnsnan nnn=中，令2,3nn=可得： 1222112331226631816aaaaaaaaaaa+=+=+= 125,11aa= （2）()31nnsnan n= ()()()111312nnsnann= 可得： ()()()()()111611161nnnnnananannanan=+ ()2n 16nnaa=+ na是公差为 6的等差数列 ()16161naann=+= ()()()231613132nnsnan nnnn nnn=+ （3）由（2）可得：213232nnbnnn=+ ()122332312322 323231nbnnnnnn=+ - 9 -

16、 / 18 () () ()122528532313nntbbbnn=+ ()223223233nn=+ 例 6：已知数列 na满足()()1111,2,412nnnnaaannna= （1）试判断数列()11nna+ 是否为等比数列，并说明理由 （2）设()21sin2nnnba=，数列 nb的前n项和为nt，求证：对任意的4,7nnn t 解：（1）()()()111111212112nnnnnnnnnnaaaaaaa= ()()()()()1111212121121nnnnnnnnaaaa+ = + = + ()11nna+ 为公比是2的等比数列 （2）思路：首先由（1）可求出 na的通

17、项公式()()11321nnna= ，对于()21sin2n可发现n为奇数时，()21sin12n=，n为偶数时，()21sin12n= ，结合 na通项公式可将其写成()()121sin12nn= ，从而求出113 21nnc=+，无法直接 求 和 ， 所 以 考 虑 对 通 项 公 式 进 行 放 缩 ， 可 联 想 到 等 比 数 列 ， 进 而11113 213 2nnnc=+，求和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。 解：()11113a+ =，由（1）可得： ()()()()11111111232nnnnaa+ =+ = ()()11321nnna= - 1

18、0 - / 18 而()()121sin12nn= ()()()()1112111sin23 21321nnnnnnnba=+ 11113 213 2nnnb=+ 当3n 时，()12122311113 23 23 2nnntbbbbb=+ 21111221111147414747684712n=+= 因为 nb为正项数列 123ntttt 4,7nnn t 例 7：已知数列 na满足：132a =，且()1132,21nnnnaannnan=+ （1）求数列 na的通项公式 （2 2）证明：对于一切正整数）证明：对于一切正整数n，均有，均有122!na aan 解：（1）11321nnnna

19、aan=+ 1111121211213333nnnnnnnnanannnnanaaaaa+=+ 设nnnba=即12133nnbb=+ ()11113nnbb = 1nb为公比是13的等比数列 ()111113nnbb = 而11123ba= 113nnb= 331nnnnnnab= （2）思路：所证不等式可化简为：1212333231 3131nn，由于是连乘形式，所以考虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为()31n，所以结合不等号方向，将分- 11 - / 18 子向该形式转化：(31nnnnnn()2n ，再根据右边的值对左边放缩的程度进行调整即可。

20、证明：所证不等式为：1212333!2!31 3131nnnn 等价于证明：1212333231 3131nn 设331nnnc = ()()133231231333 31nnnnnnncn= ()()()3412122313131313 313 313 31nnnc ccc c ()223 9 313 93243232 8 8 32 8 8 3128nnnnn= 11233 9272,222 816cc c= 即不等式得证 小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。 （2）本题中用到了分式放缩的常

21、用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注意不等号的方向（建议验证），常用的放缩公式为：0,0bbcabcaac+（分子小与分母），0,0aacabcbbc+（分子大于分母） 例 8：已知函数( )( )2ln ,10bf xaxx fx= （1）若函数( )f x在1x =处切线斜率为0，21111nnafnan+=+，已知14a =，求证：22nan+ （2）在（1）的条件下，求证：1211121115naaa+ 解：（1）( )22bfxaxx=+ - 12 - / 18 ( )( )100120110fabaabbf=+= ()()22111211nnnaanann+= +

22、整理后可得：()2211nnaann+=+ 2121nnnaana+=+ 下面用数学归纳法证明：22nan+ 当1n =时，1422an=+成立 假设()nk kn=成立，则1nk=+时 ()121kkkaaak+=+ 22kak+ ()()1222145212kakkk+ =+ 1nk=+时，不等式成立 ,22nnnan + （2）()212121nnnnnaanaaan+=+ =+ 由（1）可知22nan+ 121nnaa+ ()11111121121nnnnaaaa+ + 2112111111111212121nnnnaaaa+ 1211111111111122nnaaaa+ 11121

23、21211152512nna=+ - 13 - / 18 例9：已知数列 na的各项均为正值，对nn ，()()212141 ,log1nnnnnaaaba+ =+=+，且11a = （1）求数列,nna b的通项公式 （2 2）当）当7k 且且kn时，证明对时，证明对nn ，都有，都有121111132nnnnkbbbb+成立成立 解：（1）()21141nnnaaa+ =+ ()22221144121nnnnnaaaaa+=+ =+ 由0na 可得： 121nnaa+=+ ()1121nnaa+ =+ 1na+为公比是2的等比数列 ()1111 22nnnaa+ =+= 21nna= nb

24、n= （2）思路：所证不等式为：111131212nnnnk+左边含有两个变量，考虑通过消元简化所证不等式。设11111ktnnnk=+，则只需证明：()min32kt，易知kt为递增数列。所以只需证明8k =，即11131812nnn+，左边共7n项，结合32的特点可考虑将7n项分为 3 组：1111111212222nnnnnnnnn+=+个个 2211111122141442nnnnnnn+=+个个4411111144181882nnnnnnn+=+个个，再求和即证不等式 解：所证不等式121111132nnnnkbbbb+由（1）可得： 111131212nnnnk+ 只需证：min1

25、11131212nnnnk+ - 14 - / 18 设11111ktnnnk=+ 11111111(1) 111kkttnnn knnnk+=+ 111011nknknkn=+ kt为递增数列 8k ()8min111181kttnnn=+ 只需证11131812nnn+ 11111111118121241481nnnnnnnnn+=+ 而1111111212222nnnnnnnnn+=+个个 2211111122141442nnnnnnn+=+个个4411111144181882nnnnnnn+=+个个 11111131812222nnn+=+ 例 10：数列 na是公差不为零的等差数列，

26、56a =，数列 nb满足：111 23,1nnbbbbb+=+ （1）当2n 时，求证：111nnnbbb+= （2）当31a 且3an时，1235,nkkka a aaa为等比数列 求3a 当3a取最小值时，求证：1212311111114111nnkkkbbbbaaa+ 解：（1）由11 21nnbbbb+=+可得：11 21nnbbbb+ = ()1 2112,nnbbbbnnn = - 15 - / 18 两式相除可得： 111nnnbbb+= （ 2 ） 思 路 ： 本 题 的 突 破 口 在 于nka既 在 等 差 数 列 na中 ， 又 在 等 比 数 列1235,nkkka

27、a aaa中，从而在两个不同风格的数列中nka均能够用3a进行表示，然后便得到nk与3a的关系式，抓住3,nk an的特点即可求出3a的值 na为等差数列 533622aaad= ()()3336332nknnaaakdak=+=+ 另一方面，1235,nkkka a aaa为等比数列 5336aqaa= 113336nnnkaaqaa+= ()133336632nnaaaka+=+ 111333333336661211333266612nnnnaaaaakaaa+=+=+=+ 1336161naa+可视为以1为首项，36a为公比的等比数列前()1n +项和 3333666632 152nnn

28、kaaaa=+ + =+ nkn 3366,2nnnnaa + 3an 3a能够被 6 整除 31a 且356aa= 32a=或33a = 经检验：32a =或33a =均符合题意 - 16 - / 18 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）可知，111nnnbbb+=，123nnka+=，所以对于右侧，11112 31nnka+=显然无法直接找到求和方法。而对于1nb，虽然没有通项公式，但可对111nnnbbb+=向可求和的方式进行变形，得到()1111211nnnnbbb+=，从而可想到利用裂项相消的方式进行求和，得到1231 21111213nnbbbbbbb+=。对于右侧12111111nkkkaaa+只能考虑进行放缩，针对11112 31nnka+=的特点可向 等 比 数 列 靠 拢 ， 结 合 不 等 号 方 向 可 得 ：1111112 313nnnka+=。 所 以1211111111163nnkkkaaa+。 于 是 所 证 的 不 等 式 就 变 为 只 需 证 明11 22122333nnbbb+，即证明11 2123nnbbb+，考虑对1 21nbbb进行放缩，抓住13b =这个特点，由已知可得 nb为递增数列，则3nb ，但右侧为122133 3