高中数学讲义微专题72圆锥曲线中的面积问题

1、- 1 - / 11 微专题 72 圆锥曲线中的面积问题 一、基础知识： 1、面积问题的解决策略： （1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。 （2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，

2、在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析 4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”） （ 1 ） 椭 圆 ： 设p为 椭 圆()222210 xyabab+=上 一 点 ， 且12fpf=， 则122tan2pf fsb= （ 2 ） 双 曲 线 ： 设p为 椭 圆()22221,0 xya bab=上 一 点 ， 且12fpf=， 则1221cot2pf fsb= 二、典型例题： 例 1：设12,f f为椭圆2214xy+=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,p q两点，当四边形12pfqf的面积最大时，12

3、pf pf的值等于_ 思路：由椭圆中心对称的特性可知,p q关于原点中心对称，所以12pff与12qff关于原点对称，面积相等。且四边形12pfqf可拆成12pff与12qff的和，所以四边形12pfqf的面积最大即12pff面积最大，因为121212pf fppsffyc y=，所以当py最大时，12pff面 积 最 大 。 即p位 于 短 轴 顶 点 时 ，12pff面 积 最 大 。 由2214xy+=可 知- 2 - / 11 2,1,3abc=，所以()()()120,1 ,3,0 ,3,0pff，进而计算出12pf pf的值为2 答案：2 例 2：已知点p是椭圆2216251600

4、 xy+=上的一点，且在x轴上方，12,f f分别为椭圆的左右焦点，直线2pf的斜率为4 3，则12pff的面积是（ ） a. 32 3 b. 24 3 c. 32 2 d. 24 2 思路：将椭圆化为标准方程为22110064xy+=，进而可得6c =，所以()()126,0 ,6,0ff，计算12pff的面积可以以12ff为底，yp为高，所以考虑利用条件计算出p的纵坐标，设(),p x y， 则 有24 36pfykx= ， 所 以22162516004 360 xyyxy+= 可 解 得4 3y =或64 319y = （舍去），所以12121112 4 324 322pf fsffy=

5、 答案：b 例 3：已知f为抛物线2yx=的焦点，点,a b在该抛物线上且位于x轴的两侧，2oa ob=，则abo与afo面积之和的最小值是（ ） a. 2 b. 3 c. 17 28 d. 10 思 路 ： 由2oa ob=入 手 可 考 虑 将 向 量 坐 标 化 ， 设()()1122,a x yb xy， 则12122x xy y+=， 进 而 想 到 可 用 韦 达 定 理 。 所 以 设ab与x轴 交 于(),0m m直 线:ab xtym=+。联立方程220yxytymxtym=+，所以2221212120,y ymx xy ym= =，所以由12122x xy y+=可得：22

6、2mmm=，所以122y y = ，不妨设a在x轴上方，如图可得：()12112119228aboafossomyyofyyy+=+=，由122y y = 可知212yy= ，- 3 - / 11 消元后可得：111192922388aboafossyyyy+=+=，等号成立当且仅当143y =，所以aboafoss+的最小值为3 答案：b 例 4：抛物线24yx=的焦点为f，准线为l，经过f且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a，akl，垂足为k，则afk的面积是（ ） a. 4 b. 3 3 c. 4 3 d. 8 思 路 ： 斜 率 为3可 知 直 线 的 倾 斜 角 为3，

7、 从 而 可 得3kaf=，所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得1sin23akfsakaf=，由抛物线性质可得akaf=，所以只需求得焦半径af，即只需解出a点横坐标。利用几何关系可得12axoffmofaf=+=+，另一方面，由焦半径公式可得：1aafx=+，所以 可 得 方 程 ：()1132aaaxofxx=+=， 从 而14aafx=+ =， 所 以21sin4 323akfsaf= 答案：c 小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角3，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单。 （2）本题

8、的ax也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下： 由抛物线方程可得：()1,0f，设():31l yx=，联立方程： ()()22431431yxxxyx=，整理可得： 231030 xx+= 3x=或13x = - 4 - / 11 32 3xy=或13233xy= （舍） 3ax= 例 5：以椭圆22195xy+=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线c，其左右焦点分别为12,f f， 已 知 点m的 坐 标 为()2,1， 双 曲 线c上 点()()0000,0,0p xyxy满 足11211121pf mff f mfpff f=，则12pmfpmfss等于（ ） a. 2 b. 4

9、 c. 1 d. 1 思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，22195xy+=的顶点为() ()3,0 , 3,0，即为12,f f的坐标，椭圆的焦点为() ()2,0 , 2,0，所以双曲线中2,3ac=，进而5b = 观察11211121pf mff f mfpff f=可联想到投影，即1mf在1pf的投影与1mf在21f f的投影相等，由几何关系可得1fm为12pff的角平分线。由()()22,1 ,3,0mf可得21mfk= ，即2f m平 分21pf f， 从 而m为12pff的 内 心 ， 且 内 切 圆 半 径1mry=。 从 而()1212121112222pmfpmf

10、sspfrpfrr pfpf= = 答案：a 例 6：已知点p为双曲线()222210,0 xyabab=右支上一点，12,f f分别是双曲线的左右焦点，且212bffa=，i为三角形12pff的内心，若1212ipfipfif fsss=+成立，则的值为（ ） a. 12 22+ b. 2 31 c. 21+ d. 21 思路：由三角形内心的性质可得i到三边的距离相等，所以1212,ipfipfiff的高均为r，从而- 5 - / 11 12121212ipfipfif fssspfpfff=+=+，即1212ffcpfpfa=，所以只需利用212bffa=确定, a c的关系即可。 解：i

11、为三角形12pff的内心 122 11221111,222ipfipfif fspfr spfr sf fr= 12121212ipfipfif fssspfpfff=+=+ 1212ffpfpf= p在双曲线上，且12,f f是焦点 12122 ,2pfpfa ffc= ca=即为离心率 由212bffa=可得：22222bcaccaa=，两边同时除以2a得： 2210ee =，解得22 22e= 21e =+即21=+ 答案：c 例 7：已知点()0, 2a，椭圆()2222:10 xyeabab+=的离心率为32，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为2 33，o为坐标原点 （1）求e的方

12、程 （2）设过点a的动直线l与e相交于,p q两点，当opq面积最大时，求l的方程 解：（1）设(),0f c 22 33afkc= 3c= 32cea= 223ca= 2221bac= 22:14xey+= 思 路 ： 首 先 设:2pq ykx=，()()1122,p x yq xy， 由 图 像 可 得- 6 - / 11 12opqo pqsdpq=，考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用k表示出,opqdpq，从而opqs也可用k进行表示：22224 4344414343opqkskkk=+，再利用均值不等式即可得到最大值。等号成立的条件2244343kk=即为k的

13、值。（注意直线与椭圆相交，所以消元后的方程0 ） （2）设直线:2pq ykx=，()()1122,p x yq xy 联立方程可得：()2222242444ykxxkxxy=+=+=，整理后可得： ()224116120kxkx+= ，因为方程有两个不等实根 ()()221648 410kk =+ 解得：32k 或32k 12opqo pqsdpq= 221o pqdk=+ ()222121212114pqkxxkxxx x=+=+ 由方程()224116120kxkx+=可得： 1212221612,4141kxxxxkk+=+代入pq可得： 22222264484 43114141kkp

14、qkkkk=+=+ 22222222124 434 434143424141143opqkkskkkkkk=+=+ 22444343kk=+ - 7 - / 11 由均值不等式可得：2222444324344343kkkk+= 等号成立条件：2224743434243kkkk= 1opqs此时72k = l的方程为722yx=或722yx= 例 8：已知椭圆()2222:10 xycabab+=的离心率为12，过右焦点f的直线l与c相交于,a b两点，当l的斜率为1时，坐标原点o到l的距离为22 （1）求椭圆c的方程 （2）若,p q m n是椭圆c上的四点，已知pf与fq共线，mf与fn共线

15、，且0pf mf=，求四边形pmqn面积的最小值 解：（1）12cea=，设(),0f c，则: l yxc= 2122o lcdc= 2222,3abac= 22143xy+= （2）由（1）可得：()1,0f，因为0pf mfpfmf= 12pmqnsmnpq= 设()()1122,p x yq xy，():1pq yk x=， 联立方程可得：()2234121xyyk x+=，消去x可得： ()22234112xkx+=整理后可得：()22224384120kxk xk+= - 8 - / 11 ()22221222121144144114343kkpqkxxkkk+=+=+=+ 设()

16、1:1mn yxk= ，以1k替换中的k可得： 2222112112124343kkmnkk+=+ ()2222121111212224334pmqnkksmnpqkk+=+ 242242221221727211225121225kkkkkkkk+=+ 设221ukk=+，可得)2,u+ 21726 112251225pmqnusuu+=+ 2u=时，min28849s= 例 9：在平面直角坐标系xoy中，已知点()1,1a ，p是动点，且三角形poa的三边所在直线的斜率满足opoapakkk+= （1）求点p的轨迹方程 （2）若q是轨迹c上异于点p的一个点，且pqoa=，直线op与qa交于点

17、m，问：是否存在点p使得pqa和pam的面积满足2pqmpamss=？若存在，求出点p的坐标，若不存在，请说明理由。 （1）思路：本题设点(),p x y，且,o a已知，直接利用条件列出等式化简即可 解：设(),p x y，由()()1,1 ,0,0ao可得： 1,1,1opoapayykkkxx= =+，依题意opoapakkk+=可得： ()()()111111yyy xx xx yxx =+=+整理后可得： - 9 - / 11 2yx=，其中0,1xx 所以p的轨迹方程为()20,1yxxx= （2）思路：从图中可得pqa和pam的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比，即22pq

18、mpamssqaam=， 再 由pqoa=可 得pqoa， 进 而22qaamopom=，由, ,o p m共线再转成向量关系则只需求出m的坐标即可解出p的坐标 解：设()()221122,p x xq x x pqoa= pq oa 1pqoakk= ，即2221212111xxxxxx= = 222121121qaxkxxx= = + ()()1:121qa yxx+ = 因为1:op yx x= ()()11121:yxxmyx x+ = = 可解得12mx= 11,22pqmp qmpamp qmsqa dsamd=且2pqmpamss= 2qaam= pq oa 22qaamopom=，即2opom= 21pmxx= = ()1,1p 所以存在符合条件的()1,1p 例 10：设抛物线22yx=的焦点为f，过点()3,0m的直线与抛物线相交于,a b两点，与抛物线的准线相交于,2c bf =，则bcf与acf的面积之比bcfacfss=（ ） a. 45 b. 23 c. 47 d. 12 - 10 - / 11 思路：由2bf =联想到焦半径公式，从而可解得332bx =，从而可判断出b在m的