高中数学讲义微专题66直线与圆位置关系

1、- 1 - / 17 微专题 66 直线与圆位置关系 一、基础知识： 1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 2、圆的标准方程：设圆心的坐标(),c a b，半径为r，则圆的标准方程为： ()()222xaybr+= 3、圆的一般方程：圆方程为220 xydxeyf+= （1）22,xy的系数相同 （2）方程中无xy项 （3）对于,d e f的取值要求：2240def+ 4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式： （1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： 当rd时，直线与圆相交

2、 当rd=时，直线与圆相切 当rd时，直线与圆相离 （2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。设直线：0axbyc+=，圆：220 xydxeyf+=，则： 2200axbycxydxeyf+=+=消去y可得关于x的一元二次方程，考虑其判别式的符号 0 ，方程组有两组解，所以直线与圆相交 0 =，方程组有一组解，所以直线与圆相切 0 ，方程组无解，所以直线与圆相离 5、直线与圆相交： 弦长计算公式：2222abamrd= 6、直线与圆相切： （1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆- 2 -

3、/ 17 心到切线的距离等于半径 例：已知圆的方程为：224xy+=及圆上一点()1, 3p，求过p的圆的切线 方法一：利用第一条性质：3opk=，所以可得切线斜率33k = 切线方程为：()3313yx= ，整理后可得：34xy+= 方法二：利用第二条性质：设切线方程l为：()31yk x= 即3kxyk+ 2321o lkdrk=+ 整理可得：()2232 310310kkk+ =+= 解得：33k = ()3:31343l yxxy= += （2）圆上点的切线结论： 圆222xyr+=上点()00,p x y处的切线方程为200 x xy yr+= 圆()()222xaybr+=上点()

4、00,p x y处的切线方程为()()()()200 xaxaybybr+= （3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线） 7、与圆相关的最值问题 （1）已知圆c及圆外一定点p，设圆c的半径为r则圆上点到p点距离的最小值为pmpcr=，最大值为pnpcr=+（即连结pc并延长，m为pc与圆的交点，n为pc延长线与圆的交点 m mc cn np p- 3 - / 17 （2）已知圆c及圆内一定点p，则过p点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦mn 解 ： ，

5、 弦 长 的 最 大 值 为 直 径 ， 而 最 小 值 考 虑 弦 长 公 式 为222abrd=，若ab最小，则d要取最大，在圆中cp为定值，在弦绕p旋转的过程中， dcp，所以dcp=时，ab最小 （3）已知圆c和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为c lpmdr=，距离的最大值为c lpndr=+（过圆心c作l的垂线，垂足为p，cp与圆c交于m，其反向延长线交圆c于n （4）已知圆c和圆外的一条直线l，则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为pm 解：22pmcpr=，则若pm最小，则只需cp最小即可， 所以p点为过c作l垂线的垂足时，cp最小 过p作圆的切线，则切线长p

6、m最短 8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含 （1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆12,o o的半径为12,r r，12ood= 12drr+12,oo外离 12drr=+12,oo外切 1212rrdrr+12,oo相交 12drr=12,oo内切 12drr12,oo内含 （2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定。 c cp pa ab bl lm mc cp pn nl lc cp pm m- 4 - / 17 二、典型例题： 例 1：已知直

7、线20axy+=与圆心为c的圆()()2214xya+=相交于,a b两点，且abc为等边三角形，则实数a =（ ） a. 33 b. 13 c. 1或7 d. 415 思路：因为abc为等边三角形且c为圆心，所以该三角形的边长为2，由等边三角形的性质可知高为3，即c到ab的距离为3，由圆方程可得：()1,ca，所以利用点到直线距离公式可得：()()2222322311cabaadaaa+=+，解得：415a = 答案：d 例 2：圆心在曲线()20yxx=上，且与直线210 xy+ =相切的面积最小的圆的方程为（ ） a. ()()22125xy+= b. ()()22215xy+= c.

8、()()221225xy+= d. ()()222125xy+= 思路：不妨设圆心2, aa，其中0a ，半径为r，因为直线与圆相切，所以有2215aadr+=，若圆的面积最小，则半径最小，则221122155aaraa+=+ 112 2155aa+=， 即min5r=， 此 时1a =， 所 以 圆 方 程 为 ：()()22125xy+= 答案：a 例 3：设点(),1m m，若在圆22:1o xy+=上存在点n，使得30omn=，则m的取值范围是（ ） - 5 - / 17 a. 3, 3 b. 1 1,2 2 c. 2,2 d. 33,33 思路：由圆的性质可知：圆上一点t，与,m o

9、所组成的角omt，当mt与圆相切时，omt最大。所以若圆上存在点n，使得30omn=，则30omt。由(),1m m和221xy+=可知过m且与圆相切的一条直线为1y =，切点()0,1t ，所以在直角三角形omt中，3tan3otomttm=，从而333tmm 答案：a 例 4：设,m nr，若直线()()1120mxny+=与圆()()22111xy+=相切，则mn+的取值范围是（ ） a. 13,13+ b. (),1313,+ c. 22 2,22 2+ d. (),22 222 2,+ 思 路 ： 通 过 圆 方 程 可 知 圆 心()1,1c， 半 径1r =， 因 为 直 线 与

10、 圆 相 切 ， 所 以()()()()()2222211111c lmndmnmnmn+= +=+， 整 理 后 可 得 ：1mnmn=+，即11mnm+=，所以121211mmnmmmm+=+= +，进而由“对勾函数“性质可知(),22 222 2,mn+ + 答案：d 小炼有话说：本题由于mr，所以对于2121mm +不能使用均值不等式，而要通过换元转换为常见函数求得值域 例 5：若圆2244100 xyxy+=上至少有三个不同的点到直线: l ykx=的距离为2 2，则直线l斜率的取值范围是_ 思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与k找到联系。通过图像可知该

11、条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为：()()222218xy+=，即圆心为()2,2，半径3 2r =，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线l距离为2 2，则圆- 6 - / 17 心 到 直 线 的 距 离 应 小 于 等 于2， 所 以22221c lkdk=+， 即 解 不 等 式 ：()()222221kk+，解得：23,23k+ 答案：23,23+ 例6 ： 直 线yxm=+与 圆2216xy+=交 于 不 同 的 两 点,m n， 且3mnomon+，其中o是坐标原点，则实数m的取值范围是（ ） a. ()2 2,22,2 2 b. ()4 2, 2 22 2,4 2 c. 2

12、,2 d. 2 2,2 2 思路：不妨设mn的中点为a，则可知2omonoa+=，从而2 3mnoa，在圆2216xy+=中，可知oa为圆心o到mn的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的 关 系 可 得 ：2221162mnoar+=， 代 入2 3mnoa可 得 ：()22316oaoa+，解得：2oa ，即22o mnmd=，所以2 2,2 2m 答案：d 例 7：在平面直角坐标系xoy中，已知圆()22:32c xy+=，点a是x轴上的一个动点，,ap aq分别切圆c于,p q两点，则线段pq的取值范围是（ ） a. 14, 23 b. 2 14,2 23 c. 14, 23 d.

13、2 14,2 23 思路：如图设,ac pq交于m，则有2pqpm=，只需确认pm的 范 围 即 可 ， 由 圆 方 程 可 得2r =， 设pcm=， 所 以sin2sinpmpc=， 在rt pca中，可得：2222sin1acrapacacac=，所以pm =2221ac，下面确定2ac- 7 - / 17 的 范 围 。 设(),0a x， 因 为()0,3c， 所 以)2299,acx=+ +， 从 而 解 得14, 23pm。则2 142,2 23pqpm= 答案：b 例 8：已知圆()()22:cossin1mxy+=，直线: lykx=下面四个命题： （1）对任意实数k与，直线

14、l和圆m相切； （2）对任意实数k与，直线l和圆m有公共点； （3）对任意实数，必存在实数k，使得直线l和圆m相切; （4）对任意实数k，必存在实数，使得直线l和圆m相切. 其中真命题的代号是_ 思路一（代数运算）：四个命题均和直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和半 径 的 大 小 关 系 ： 由 圆m方 程 可 知 圆 心()cos ,sinm， 半 径 为 1 ， 所 以2cossin1mlkdk=+，为了便于计算，不妨比较2mld与 1 的大小关系，从而有：()222222222cossin1cos2sin cossin1111mlkkkkkdkk+ =+ ()()()222

15、2221cos2sin cos1sinsincos011kkkkk+= = + 所以对任意的实数, k，直线l和圆m有公共点，但不一定相切。故（1）错误（2）正确；（3）（4）与相切有关，所以考虑21mld=，由上式可得：sincosk=，从而可得，对于任意的实数，不一定会存在k，使得等式成立。例如sin0=时，不成立；但对于任意的k，总有cos1sintank=，使得成立，即直线与圆相切。所以（3）错误，（4）正确，综上所述，正确的是（2）（4） 思路二（数形结合）：通过观察()cos ,sinm，可知m为单位圆上的点。则必有1om =，又因为m的半径为 1，所以可得m过原点。而直线: ly

16、kx=过定点()0,0，所以直线与圆必有公共点。（2）正确。因为()0,0在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点为切点，故切线也只有一条。所以（1）错误。对于（3）（4），通过前面的结- 8 - / 17 论可知对于任意的一个圆m，均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）正确。而（3）忽略了一种情况，当圆心m位于x轴上时，此时切线为y轴，虽有切线但斜率不存在，所以不能表示为ykx=的形式。所以（3）错误 答案：（2）（4） 例 9：:设) 1 , 0(),0 , 1 (ba，直线,:axyl=圆()1:22=+yaxc.若圆c既与线段ab又与直线l有公共点，则实数a的取

17、值范围是 思路：本题a的取值范围为两个条件的交集。先处理圆c与l有公共点：由圆方程可知圆的圆心为(),0a，半径1r =，若圆与直线有公共点，则2422111c ladaaa= +，解得：2150,2a+，所以1515,22a+ 。另一方面，考虑圆c与ab有公共点，因为该圆半径不变，圆心在x轴上移动，所以可根据a的符号进行分类讨论：0a =显然成立，当0a 时，由图像可知圆心的最远端为在a的右侧且到a的距离为 1，即02a， 当0a 时 ， 可 知 圆 最 左 端 的 位 置 为 与 线 段ab相 切 的 情 况 ，:10ab xy+ =，所以112cabad=，解得：12a = 。所以120

18、a，综上所述：圆与线段ab有公共点时，122a，从而12215121515222aaa+ + 答案：1512,2+ 例 10：已知abc的三个顶点( 1, 0)a ，(1,0)b，(3, 2)c，其外接圆为圆h （1）求圆h的方程； （2）若直线l过点c，且被圆h截得的弦长为 2，求直线l的方程； （3）对于线段bh上的任意一点p，若在以c为圆心的圆上都存在不同的两点,m n，使得点m是线段pn的中点，求圆c的半径r的取值范围 解：（1）思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段的垂直平分线为直径（过原点），所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本- 9

19、- / 17 题中抓住()()1,0 ,1,0ab ，关于y轴对称。从而得到圆心在y轴上，设其坐标为()0,hy再根据bhch=，即可解出y值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程 由abc外接圆为圆h可得： h在ab垂直平分线上 ()()1,0 ,1,0ab h在y轴上 设()0,hy bhch= ()22222132bhchyy= +=+，解得： 3y = ()0,3h 10rbh= ()22:310h xy+= （2）思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过c从而可设出直线方程，再利用弦心距解得直线方程即可 设():23230l yk xkxyk=+= 由弦长为 2 和10r

20、 =可得：2213hldr= ()()222323313911hlkdkkk +=+=+，解得：43k = ()4:2343603l yxxy= 当斜率不存在时，:3l x =，联立方程：()2233310,423xxxyyyx=+= 弦长为 2，符合题意 综上所述：l的方程为4360 xy=和3x = （3）思路一：（代数方法）由,b h坐标可求出bh的方程：330 xy+=，其线段上一点(),p m n，设(),n x y，则中点,22mx nym+，由,m n在圆c上可得（设圆c的半径为r）：()()222222323222xyrmxnyr+=+=，则存在,m n即方程组有解。方程组中的

21、方程为两个圆()()()()22222232,644xyrxmynr+=+=，只需两个圆有公- 10 - / 17 共点即可。所以()()2236243rmnr+，再由330mn+=整理后可得：2221012109rmmr+对任意0,1m恒成立。可得：22325910rr，再有线段bh与圆c无公共点，即()()22232mnr+在0,1m恒成立。解得：2325r ，从而2103295r，即可求得r的范围 解：()()1,0 ,0,3bh bh的方程为：13303yxxy+= += 设(),p m n p在线段bh上 330mn+=且0,1m 33nm= 设(),n x y m为pn中点 33,

22、2222mx nymxmyn+= 设圆()()222:32cxyr+=，由,m n在圆上可得： ()()22222232333222xyrmxmyr+=+=，整理后可得： ()()()()222222326314xyrxmymr+=+=，若,m n存在，则方程组有解 即圆心为()3,2c，半径为r的圆与圆心为()6,31cm m+，半径为2r的圆有公共点 根据两圆位置关系可知：22rrccrr+，即： ()()22362313rmmr+在0,1m恒成立 ()()22223319rmmr+，整理后可得： 22221012109101210rmmrmm+在0,1m恒成立 ()()22min22ma

23、x1012109101210rmmrmm+ 设( )223321012101055f mmmm=+=+ - 11 - / 17 ( )32,105f m 222321032595910rrr，解得：104 1035r 若m为pn中点，则p在圆c外 ()()2232mnr+即()()222331mmr+在0,1m恒成立 ()22min324 1010121055rmmr+= 综上所述：10 4 10,35r 思路二（数形结合）：通过图像可观察出，若对于线段bh上任意一点p均满足题意，则需达到两个条件：第一，p在圆外，可先利用坐标判定出,cbhchb为锐角，从而c在bh上的投影位于线段bh上，所以

24、cbhrd；第二，p到圆上点的最小距离（记为mind）应小于或等于到圆上点最大距离（记为maxd）的一半，即minmax12dd，否则，若minmax12dd当圆上取其他,m n点时，minmax,pmdpnd，由不等式的传递性可知：12pmpn，m不可能为pn中点。因为p在圆外，所以可知在圆上任意一点中，mindpcr=，maxdpcr=+，代入可得3pcr恒成立。综上max3cbhrdrpc即可求出r的范围 解：()()()1,0 ,0,3 ,3,2bhc，若对任意p点，已知条件均满足 则p在c外 ()()()()1,3 ,2,2 ,1, 3 ,3, 1bhbchbhc= = 0,0bh

25、bchb hc ,cbhchb为锐角 c在bh上的投影位于线段bh上 - 12 - / 17 223 323410531c bhrd +=+ 依题意，若对任意p点，均存在,m n使得12pmpn= 设p到圆上点的最小距离为mind，到圆上点最大距离为maxd，则有： minmax12dd 否则若minmax12dd minmax,pmdpnd 12pmpn，导致不存在满足条件的,m n p在圆外 minmax,dpcr dpcr=+，代入可得： ()132pcrpcrpcr+ ()max13rpc 由图可知：()2232310ch =+= ()()223 1202 2bc =+= chbc 即

26、max10pcch= 103r 综上所述：10 4 10,35r 三、历年好题精选 1、设圆、设圆22:3c xy+=，直线，直线:360l xy+=，点，点()00,p xyl，若存在点，若存在点qc，使得，使得60opq=（o为坐标原点），则为坐标原点），则0 x的取值范围是（的取值范围是（ ） a. 1,12 b. 60,5 c. 0,1 d. 2、已知已知()()()()22,|11,|ax yx xyybx yxya=+，若，若ab，则实数，则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） a. ()0,2 b. 1,2+ c. )2,+ d. 2,2+ - 13 - / 17 3、（201

27、5，广东）平行于直线，广东）平行于直线210 xy+=且与圆且与圆225xy+=相切的直线的方程是相切的直线的方程是（ ） a. 250 xy+=或或250 xy= b. 250 xy+=或或250 xy+= c. 250 xy+=或或250 xy= d. 250 xy+=或或250 xy+= 4 、 （ 2015 ， 江 苏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系， 江 苏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 以 点中 ， 以 点()1,0为 圆 心 且 与 直 线为 圆 心 且 与 直 线()210mxymmr =相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为相切的所有圆中，半径最大的圆

28、的标准方程为 5、（2014，湖北）直线，湖北）直线1:lyxa=+和和2:lyxb=+将单位圆将单位圆22:1c xy+=分成长度相等分成长度相等的四段弧，则的四段弧，则22ab+=_ 6、（2014，全国卷）直线，全国卷）直线1l和和2l是圆是圆222xy+=的两条切线，若的两条切线，若1l与与2l的交点为的交点为()1,3，则，则1l与与2l夹角的正切值等于夹角的正切值等于_ 7 7 、 (2016(2016 ， 吉 安 一 中 高 三 期 中， 吉 安 一 中 高 三 期 中 ) ) 已 知 圆已 知 圆c ：222(62 )4560 xym xmymm+=，直线，直线l经过点经过点(

29、1,1)，若对任意的实数若对任意的实数 m，直线，直线l被圆被圆 c 截得的弦长都是定值，则直线截得的弦长都是定值，则直线l的方程为的方程为_ 8、已知、已知()(),0m a bab 是圆是圆222:o xyr+=内一点，现有以内一点，现有以m为中点的弦所在直为中点的弦所在直线线m和直线和直线2: l axbyr+=，则（，则（ ） a. ml，且，且l与圆相交与圆相交 b. ml，且，且l与圆相交与圆相交 c. ml，且，且l与圆相离与圆相离 d. ml，且，且l与圆相离与圆相离 9、（2015，广东）已知过原点的动直线，广东）已知过原点的动直线l与圆与圆221:650cxyx+=相交于不

30、同的两点相交于不同的两点,a b （1）求圆）求圆1c的圆心坐标；的圆心坐标； （2）求线段）求线段ab的中点的中点m的轨迹的轨迹c的方程；的方程； （3）是否存在实数）是否存在实数k，使得直线，使得直线():4l yk x=与曲线与曲线c只有一个交点？若存在，求出只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由的取值范围；若不存在，说明理由. - 14 - / 17 习题答案：习题答案： 1、答案：b 解析：依题意可知22200opxy=+，由()00,p xyl可得：0063xy=。 opq在pq与圆相切时取得最大值 若op变长，则opq的最大值将变小 当60opq=且pq与圆相

31、切时，2po = 若存在点qc，使得60opq=，则2po 002200634xyxy=+，解得：060,5x 2、答案：c 解析：2222111:0222a xxyyxy+即a为以1 1,2 2为圆心，22为半径的圆a的内部，集合b为圆心在原点，半径为a的圆b的内部。则ab表示圆a在圆b的内部，在坐标系中作出圆a，数形结合即可得到圆b半径的范围为)2,+，则a的范围为)2,+ 3、答案：d 解析：由平行关系可设切线方程为20 xyc+=，则55cd =，解得：5c = ，所以切线的方程为250 xy+=或250 xy+= 4、答案：()2212xy+= 解析：方法一：()()210210mxymxmy =+=可知动直线过定点()2, 1，所以可算出圆心与定点的距离为2，所以半径最大的圆即为以该定点为切点的圆，所以2r =，圆方程为：()2212xy+= - 15 - / 17 方法二：由相切可知()222211212111mmmrmmm+=+，所以半径最大的圆方程为()22