高中数学讲义微专题99归纳推理与类比推理

1、- 1 - / 9 微专题 99 归纳推理与类比推理 一、基础知识： （一）归纳推理： 1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路： （1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律 （2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律） （3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类

2、型： （ 1 ） 函 数 的 迭 代 ： 设f是dd的 函 数 ， 对 任 意xd， 记( )( )( )( )( )( )( )( )()( )( )( )0121,nnfxx fxf xfxff xfxffx+=，则称函数( )( )nfx为( )f x的n次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其( )( )nfx通常具备某些特征（特征与n）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到( )( )nfx的通式 （2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。 （

3、3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式） （4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ija进行表示，其中i代表行，j代表列。例如：34a表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再

4、根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。 （二）类比推理： - 2 - / 9 1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比） 2、常见的类比类型及处理方法： （1）运算的类比：通常是运算级数相对应： 加法乘法， 数乘（系数与项的乘法）指数幂 减法除法 （2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则： 代 数 中 的 平 方 差 公 式 ：()()22ababab=+， 和 差

5、完 全 平 方 公 式 ：()2222abaabb=+ 均 可 推 广 到 向 量 数 量 积 中 ：()()22ababab=+，()2222abaa bb=+ 在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理） （3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如：设 na为等差数列，公差为d； nb为等比数列，公比为q，则 递推公式：11nnnnbaadqb+= 通项公式：()1111nnnaandbb q=+= 双项性质：mn

6、pqmnpqmnpqaaaamnpqb bb b+=+=+=+= 等间隔取项，在数列 na， nb中等间隔的取项： 则12,mkkkaaa成等差数列12,mkkkbbb 成等比数列 （4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升高时，涉及的要素也将维度升高，例如： 位置关系：平面中的线的关系空间中的面的关系，线所成的角线面角或二面角， - 3 - / 9 度量：线段长度图形的面积，图形面积几何体体积，点到线的距离点到平面距离 衍生图形：内切圆内切球，外接圆外接球，面对角线体对角线 （5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标(), x y空间直角坐标系

7、坐标(), ,x y z，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如： 线段中点坐标公式： 平面：设()()1122,a x yb xy，则ab中点1212,22xxyym+ 空间：设()()111222,a x y zb xy z，则ab中点121212,222xxyyzzm+ 两点间距离公式： 平面：设()()1122,a x yb xy，则()()221212abxxyy=+ 空间：设()()111222,a x y zb xy z，则()()()222121212abxxyyzz=+ 3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向，

8、猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论 二、典型例题： 例 1：已知( )xxf xe=，定义( )( )( )( )( )( )1211,nnfxfxfxfxfxfx+= ，经计算( )( )( )123123,xxxxxxfxfxfxeee= 照此规律，则( )20151f=（ ） a. 2015 b. 2015 c. 2014e d. 2014e 思路：由定义可知：( )nfx即为( )1nfx的导函数，通过所给例子的结果可以推断出( )()1nnxxnfxe= ，从而( )20152015xxfxe=，所以( )201520141fe

9、= 答案：c 例 2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（ ） - 4 - / 9 a. 61 b. 90 c. 91 d. 127 思路：从所给图中可发现第n个图可以视为在前一个图的基础上，外面围上一个正六边形，且这个正六边形的每条边有n个小正方形，设第n个图的蜂巢总数为( )f n，则可知( )f n比()1f n 多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即66n （每条边n个，其中顶点被计算了两次，所以要减6），所以有( )()()

10、161f nf nn=，联想到数列中用到的累加法，从而由( )( )()()21612133f nfnnnn=+=，且( )11f= 则 ( )2331f nnn=+。代入6n =可得( )263 636191f= + = 答案：c 例 3：将正整数排成数阵（如图所示），则数表中的数字2014出现在（ ） a. 第 44 行第 78 列 b. 第 45 行第 78 列 c. 第 44 行第 77 列 d. 第 45 行第 77 列 思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即第k行最后一个数为2k，所以考虑离2014较近的完全平方数：22441936,452025=，所以2014位于

11、第45行，因为1936是第 44 行的最后一个数，所以2014为第 45 行中第()2014193678=个数，即位于第 45 行第 78 列 答案：b 例4 ： 已 知 结 论 ： “ 在abc中 ， 各 边 和 它 所 对 角 的 正 弦 比 相 等 ， 即sinsinsinabcabc=”，若把该结论推广到空间，则结论为：“在三棱锥abcd中，侧棱ab与平面acd，平面bcd所成的角为, ，则有（ ） a. sinsinbcad= b. sinsinadbc= c. sinsinbcdacdss= d. sinsinacdbcdss= 思路：本题为维度推广题，平面中的线段所成的夹角推广为

12、线面角，所以可将正弦定理的边长（一维度量）类比推广为面积（二维度量），正弦定理中为角所对的边长，则在三棱锥中推广为线面角所对的侧面面积，即所对的侧面为平面bcd，所对的侧面为平面- 5 - / 9 acd，所以猜测sinsinbcdacdss=，再考虑证明其正确性。证明过程如下： 证明：分别过,b a作平面acd，平面bcd的垂线，垂足分别为,e f 由线面角的定义可知：,baeabf= 11sin33bacdacdacdvsbesab= 同理：11sin33a bcdbcdbcdvsaesab= 11sinsinsinsin33acdbcdacdbcdsabsabss = sinsinbcd

13、acdss=得证 答案：c 例 5：三角形的面积()12sabcr=+，其中, ,a b c为其边长，r为内切圆半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（ ） a. ()123412vssssr=+（其中1234ssss+分别为四个面的面积，r为内切球的半径） b. 13vs h=（s为底面面积，h为四面体的高） c. ()123413vssssr=+（其中1234ssss+分别为四个面的面积，r为内切球的半径） d. ()13vabbcach=+（, ,a b c为底面边长，h为四面体的高） 思路：本题为维度题，在三角形中，面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中，内切圆类比成内切球，边长类

14、比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关，即在a，c 中挑选。考虑在三角形中，可通过连接内心与各顶点，将三角形分割为三个小三角形，底边为各边边长，高均为半径r，所以面积()12sabcr=+，其中系数12来源于三角形面积公式。进而类比到四面体中，可通过连接内切球的球心与各顶点，将四面体分割为 4 个小四面体，以各面为底面，内切球半径为高。从而()123413vssssr=+。系数13来源于棱锥体积公式 答案：c - 6 - / 9 例 6：若数列 na是等比数列，且0na ，则数列()12nnnba aann=也是等比数列.若数列 na是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为

15、（ ） a. 12nna aabn=是等差数列 b. 12nnaaabn+=是等差数列 c. 12nnnba aa=是等差数列 d. 12nnnaaabn+=是等差数列 思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算（乘除法，乘方开方），到了等差数列中，很多性质可类比为一二级运算（加减，数乘）。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方，所以可联想到类比等差数列，乘法运算对应类比为加法，开方运算对应类比为除法。所以该性质为：若数列 na是等差数列，则12nnaaabn+=是等差数列。这个命题是正确的，证明如下： 证明：设等差数列 na的公差为d，则 1211211nnnnnaaaaaaabbnn+

16、=+ ()()()()1211211nnnn aaaanaaan n+=+ ()()()()()()112111111nnnnnnnaaaaaaaaaan nn n+=+ na为等差数列 ()()11,1,2,niaani din+=+ = ()()()()()()1111221112nnn ndndndddndbbn nn nn n+=+ nb为公差是2d的等差数列 答案：b 例 7：对于大于 1 的自然数m的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”：32 =35+，337911=+，3413151719=+，仿此，若3m的“分裂数”中有一个是61，则m的值是（ ） a. 6 b. 7 c. 8

17、 d. 9 - 7 - / 9 思路：观察这几个等式不难发现以下特征：（1）3n可分解为n个连续奇数的和，（2）从32开始这些奇数是按3,5,7,9, 顺次排列的。所以在第n个数时，所用的奇数的总数为()()21232nnn+=个。从 3 开始算起，61是第6131302+ =个奇数。当7n =，可知所用的奇数总数为27个，当8n =，可知所用的奇数总数为35个。所以8m = 答案：c 例 8：从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（ ） a. 2097 b. 2112 c. 2012 d. 2090

18、 思路：当三角形在移动时，观察其规律，内部的数如果设第一行的数为an，则第二行的数为7,8,9aaa+，其和为()38a +，第三行的数为14,15,16,17,18aaaaa+， 其 和 为()516a +， 所 以 这 九 个 数 的 和 为()()385169104saaaa=+=+，代入到各个选项中看能否算出a即可。通过计算可得：91042012a +=时，212a =符合题意 答案：c 例 9：某种游戏中，黑，白两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体1111abcdabc d的顶点a出发，沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是111aaad，白“电子狗”爬行的路线是1abbb，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段与第i段所在直线必须是异面直线（其中in），设黑“电子狗”爬完2012 段，白“电子狗”爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白“电子狗”间的距离是_ a1ab1bcc1dd1d1dc1cbb1aa1- 8 - / 9 思路：首先根据题目中所给规则，观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所走的路线为111111aaaddcc ccbba，然后周而复始，以 6 为周期；白“电子狗”所走的路线为111111abbb