高中数学选修一专题强化练2　空间向量与立体几何的综合应用

1、1 / 26 专题强化练 2 空间向量与立体几何的综合应用 解答题 1.(2020 陕西西安中学高二月考,)如图,在四棱锥 p-abcd 中,pa平面 abcd,底面 abcd 是菱形,ab=2,bad=60. (1)求证:bd平面 pac; (2)若 pa=ab,求 pb 与 ac 所成角的余弦值. 2 / 26 3 / 26 2.(2020 安徽合肥六中高二上期末,)如图,在直三棱柱 a1b1c1-abc中,acab,ac=ab=4,aa1=6,点 e、f 分别为 ca1、ab 的中点. (1)证明:ef平面 bcc1b1; (2)求 b1f 与平面 aef 所成角的正弦值. 4 / 26

2、 5 / 26 3.()如图,正三棱柱 abc-a1b1c1中,各棱长均为 4,n 是 cc1的中点. (1)求点 n 到直线 ab 的距离; (2)求点 c1到平面 abn 的距离. 6 / 26 7 / 26 4.(2020 山东烟台第一中学高三上联考,)如图所示的几何体中,bebc,eaac,bc=2,ac=22,acb=45,adbc,bc=2ad. (1)求证:ae平面 abcd; (2)若abe=60,点 f 在 ec 上,且满足 ef=2fc,求平面 fad 与平面 adc 的夹角的余弦值. 8 / 26 9 / 26 5.()如图,一个正三角形 abc和一个平行四边形 abde

3、 在同一个平面内,其中ab=8,bd=ad=43,ab,de 的中点分别为 f,g.现沿直线 ab 将abc翻折成abc,使二面角 c-ab-d 为 120,设 ce 的中点为 h. (1)求证:平面 cdf平面 agh; (2)求异面直线 ab 与 ce 所成角的正切值; (3)求平面 cde 与平面 def 的夹角的余弦值. 10 / 26 11 / 26 6.(2020 重庆西南大学附中高二上期末,)如图,四棱锥 p-abcd 中,底面 abcd 为矩形,侧面 pad 为正三角形,ad=2,ab=3,平面 pad平面 abcd,e 为棱 pb 上一点(不与 p、b 重合),平面 ade

4、交棱 pc 于点 f. (1)求证:adef; (2)若平面 bac 与平面 ace 夹角的余弦值为33020,求点 b 到平面 aec 的距离. 12 / 26 13 / 26 7.()如图,在四棱锥 p-abcd 中,底面 abcd 为矩形,侧棱 pa底面abcd,ab=3,bc=1,pa=2,e 为 pd 的中点. (1)求异面直线 ac 与 pb 间的距离; (2)在侧面 pab 内找一点 n,使 ne平面 pac,并求出 n 到 ab 和 ap 的距离. 14 / 26 15 / 26 8.(2020 河南河大附中高二上期末,)如图,四面体 abcd 中,abc 是正三角形,acd

5、是直角三角形,abd=cbd,ab=bd. (1)证明:平面 acd平面 abc; (2)过 ac 的平面交 bd 于点 e,若平面 aec 把四面体 abcd 分成体积相等的两部分,求平面 dae 与平面 aec 夹角的余弦值.深度解析 16 / 26 17 / 26 答案全解全析答案全解全析 解答题 1.解析 (1)证明:因为四边形 abcd 是菱形, 所以 acbd. 因为 pa平面 abcd,bd平面 abcd, 所以 pabd. 又因为 acpa=a,所以 bd平面 pac. (2)设 acbd=o. 因为bad=60,ab=2, 所以 bo=1,ao=co=3. 如图,以 o 为坐

6、标原点,直线 ob,oc 分别为 x 轴,y 轴,过点 o 平行于 pa 的直线为 z轴,建立空间直角坐标系 oxyz, 则 p(0,-3,2),a(0,-3,0),b(1,0,0),c(0,3,0), 所以 =(1,3,-2), =(0,23,0). 设 pb 与 ac 所成角为 , 则 cos =| | | |=62223=64, 即 pb 与 ac 所成角的余弦值为64. 18 / 26 2.解析 (1)证明:如图,连接 ec1、bc1, 因为三棱柱 a1b1c1-abc 为直三棱柱, 所以 e 为 ac1的中点. 又因为 f 为 ab 的中点,所以 efbc1. 又 ef平面 bcc1

7、b1,bc1平面 bcc1b1,所以 ef平面 bcc1b1. (2)以 a1为原点,a1c1、a1b1、a1a 所在直线分别为 x、y、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 a1xyz, 则 a(0,0,6),b1(0,4,0),e(2,0,3),f(0,2,6), 所以1f =(0,-2,6), =(2,0,-3), =(0,2,0), 设平面 aef 的法向量为 n=(x,y,z),则ae = 2x-3z = 0,af = 2y = 0, 令 x=3,得 n=(3,0,2), 记 b1f 与平面 aef 所成角为 ,则 sin =|cos|=|b1f |b1f |=313065. 3.解

8、析 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 a(0,0,0),b(23,2,0),c(0,4,0),c1(0,4,4),n 是 cc1的中点,n(0,4,2). 19 / 26 (1) =(0,4,2), =(23,2,0),则| |=25,| |=4.设点 n 到直线 ab 的距离为 d1, 则 d1=| |2-( | |)2=20 4=4. (2)设平面 abn 的法向量为 n=(x,y,z),则由 n ,n , 得ab = 23x + 2y = 0,an = 4y + 2z = 0,令 z=2,则 y=-1,x=33,即 n=(33,-1,2). 易知1n =(0,0,-2),设点 c1到平

9、面 abn 的距离为 d2, 则 d2=|1n |=|-4433|=3. 4.解析 (1)证明:在abc 中,bc=2,ac=22,acb=45, 由余弦定理可得 ab2=bc2+ac2-2bcaccos 45=4,所以 ab=2(负值舍去), 因为 ac2=ab2+bc2, 所以abc 是直角三角形,abbc. 又 bebc,abbe=b, 所以 bc平面 abe. 因为 ae平面 abe,所以 bcae, 因为 eaac,acbc=c, 所以 ae平面 abcd. (2)由题易得 eb=2ab=4,由(1)知,bc平面 abe,所以平面 bec平面 abe,如图,以b 为原点,过点 b 且

10、垂直于平面 bec 的直线为 z 轴,be,bc 所在直线分别为 x,y 轴,建立空间直角坐标系 bxyz,则 c(0,2,0),e(4,0,0),a(1,0,3),d(1,1,3), 20 / 26 因为 ef=2fc,所以 f(43,43,0), 易知 =(0,1,0), =(13,43,-3), 设平面 fad 的法向量为 n=(x,y,z), 则ad = 0,af = 0, 即 = 0,13x +43y-3z = 0, 令 z=3,则 x=9,所以 n=(9,0,3). 由(1)知 ea平面 abcd,所以 =(-3,0,3)为平面 abcd 的一个法向量. 设平面 fad 与平面 a

11、dc 的夹角为 , 则 cos =|ea |ea |=2423221=277, 所以平面 fad 与平面 adc 的夹角的余弦值为277. 5.解析 (1)证明:因为四边形 abde 为平行四边形,f、g 分别为 ab、de 的中点, 所以四边形 fdga 为平行四边形, 所以 fdag. 又 h、g 分别为 ce、de 的中点, 所以 hgcd. 因为 fd、cd平面 agh,ag、hg平面 agh,所以 fd平面 agh,cd平面 agh,因为fd、cd平面 cdf,fdcd=d,所以平面 cdf平面 agh. 21 / 26 (2)因为三角形 abc 为正三角形,bd=ad,f 为 ab

12、 的中点,所以 abcf,abdf,所以cfd 为二面角 c-ab-d 的平面角,又 cfdf=f,所以 ab平面 cfd,因为 ab平面abde,所以平面 cfd平面 abde. 作 co平面 abde 于 o,则 o 在直线 df 上.又二面角 c-ab-d 的平面角为cfd=120,所以 o 在线段 df 的延长线上.易知 cf=43,则 fo=23,co=6. 以 f 为原点,fd、fa 所在直线分别为 x 轴、y 轴,过点 f 平行于 oc 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图, 则 a(0,4,0),b(0,-4,0),d(33,0,0),e(33,8,0),c(-23,0,

13、6), 所以 =(0,-8,0), =(53,8,-6). 所以异面直线 ab 与 ce 所成角的余弦值为|cos|=| | | |=64857=8735, 从而其正切值为1(8735)28735=1118. (3)由(2)知 =(53,0,-6), =(0,8,0),设平面 cde 的法向量为 n1=(x,y,z),则由 n1 ,n1 得53x-6z = 0,8 = 0, 令 z=53,得 n1=(6,0,53). 易知平面 def 的一个法向量 n2=(0,0,1),所以平面 cde 与平面 def 的夹角的余弦值为|cos|=|12|1|2|=53737. 22 / 26 6.解析 (1

14、)证明:底面 abcd 为矩形, adbc, 又ad平面 pbc,bc平面 pbc, ad平面 pbc. 又ad平面 ade,平面 ade平面 pbc=ef,adef. (2)如图,取 ad 的中点 o,连接 po,过点 o 作 ohab 交 bc 于点 h. 侧面 pad 为正三角形,poad, 平面 pad平面 abcd,且交线为 ad, po平面 abcd,底面 abcd 为矩形,abad,ohad. 以 o 为原点,oa,oh,op 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 oxyz, 则 o(0,0,0),p(0,0,3),a(1,0,0),b(1,3,0),c(-1

15、,3,0), =(1,3,-3), =(-2,3,0). 设 = (01), 则 e(,3,3-3), =(-1,3,3-3). 设平面 aec 的法向量为 n=(x1,y1,z1), 则ac = 0,ae = 0 -21+ 31= 0,(-1)1+ 31+ (3-3)1= 0, 令 x1=3,则 y1=2,z1=3(3-1)-1. 平面 aec 的一个法向量为 n=(3,2,3(3-1)-1). 23 / 26 易知 =(0,0,3)是平面 abc 的一个法向量. |cos|=|op |op | =|9-3-1|313+3(3-1)2(-1)2=33020, 解得 =23,e(23,2,33

16、), =(-13,-1,33). 又平面 aec 的一个法向量 n=(3,2,-3 3), 点 b 到平面 aec 的距离为|be |=6210=31010. 7.解析 (1)由题意得 abad,paad,paab. 以 a 为原点,ab 所在直线为 x 轴,ad 所在直线为 y 轴,ap 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图, 则 a(0,0,0),c(3,1,0),p(0,0,2),b(3,0,0), =(3,1,0), =(3,0,-2), =(0,0,2), 24 / 26 设异面直线 ac、pb 的公垂线的方向向量为 n=(x,y,z),则 n ,n , ac = 3x +

17、y = 0,pb = 3x-2z = 0,令 x=1,则 y=-3,z=32,即 n=(1,3,32). 设异面直线 ac、pb 之间的距离为 d, 则 d=|ap |=31+3+34=25719. (2)设在侧面 pab 内存在一点 n(a,0,c),使 ne平面 pac, 由(1)知 e(0,12,1), =(-,12,1-c), = 2(1 c)=0, = 3a +12= 0, 解得 =36, = 1,n(36,0,1), n 到 ab 的距离为 1,n 到 ap 的距离为36. 8.解析 (1)证明:由题意可得,abdcbd,从而 ad=dc. 又acd 是直角三角形,所以adc=90

18、. 如图,取 ac 的中点 o,连接 do,bo,则 doac,do=ao. 又abc 是正三角形,所以 boac. 所以dob 为二面角 d-ac-b 的平面角. 在 rtaob 中,bo2+ao2=ab2. 又 ab=bd,所以 bo2+do2=bo2+ao2=ab2=bd2, 故dob=90. 所以平面 acd平面 abc. 25 / 26 (2)由题设及(1)知,oa,ob,od 两两垂直,以 o 为坐标原点, , , 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 oxyz,则 a(1,0,0),b(0,3,0),c(-1,0,0),d(0,0,1). 由题设知,四面体 abce 的体积为四面体 abcd 的体积的12,从而 e 到平面 abc 的距离为 d 到平面 abc 的距离的12,即 e 为 db 的中点,得 e(0,32,12). 故 =(-1,0,1), =(-2,0,0), =(-1,32,12). 设 n=(x,y,z