高中数学必修五课件：-《简单的线性规划问题》(人教A版必修)

1、高中数学必修五课件：-简单的线性规划问题(人教a版必修)了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念，了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念，掌握线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方掌握线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高解决实际问题的能法解决一些简单的实际问题，提高解决实际问题的能力力1关于关于x，y的不等式的不等式(组组)称为对变量称为对变量x，y的约束的约束条件，如果约束条件都是关于条件，如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，则的一次不等式，则称约束条件为称约束条件为_约束条件约束条件答案答案：线性：线性2把要求最大把要求最大(小小)值的函数

2、值的函数zf(x，y)称为称为_函数函数答案答案：目标：目标自学导引自学导引3在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为最小值问题，称为_规划问题满足线性约束规划问题满足线性约束条件的解条件的解(x，y)叫做叫做_解，由所有可行解组成的解，由所有可行解组成的集合叫做集合叫做_域，其中，使目标函数取得最大值域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解或最小值的可行解叫做最优解答案答案：线性可行可行：线性可行可行线性目标函数线性目标函数z2x3y最大值的几何意义是什么？最大值的几何意义是什么？自主探究自主探究a4 b11 c12 d

3、14预习测评预习测评解析解析：只需画出线性规划区域，如下图：只需画出线性规划区域，如下图可知，可知，z4xy在在a(2,3)处取得最大值处取得最大值11.答案答案：ba无最大值有最小值无最大值有最小值 b无最小值有最大值无最小值有最大值c无最大值和最小值无最大值和最小值 d有最大值和最小值有最大值和最小值解析解析：可行域无上界：可行域无上界答案答案：a3在如图所示的区域内，在如图所示的区域内，zxy的最小值为的最小值为_解析解析：当直线：当直线xyz0经过原点时，经过原点时，z最小，最最小，最小值为小值为0.答案答案：04.在如图所示的区域内，在如图所示的区域内，zxy的最大值为的最大值为_解

4、析解析：因为：因为z为直线为直线zxy的纵截距，所以要的纵截距，所以要使使z最大，只要纵截距最大就可以，当直线过最大，只要纵截距最大就可以，当直线过(0,2)点点时，直线的纵截距最大，最大值为时，直线的纵截距最大，最大值为2.答案答案：21基本概念基本概念(1)约束条件和线性约束条件：变量约束条件和线性约束条件：变量x，y满足的满足的一次不等式一次不等式(组组)叫做对变量叫做对变量x，y的约束条件；如果约的约束条件；如果约束条件都是关于束条件都是关于x，y的一次不等式，那么又称为线的一次不等式，那么又称为线性约束条件线性约束条件除了用一次不等式表示性约束条件线性约束条件除了用一次不等式表示外，

5、有时也用一次方程表示外，有时也用一次方程表示(2)目标函数和线性目标函数：求最大值或最小目标函数和线性目标函数：求最大值或最小值所涉及的变量值所涉及的变量x，y的解析式，叫目标函数；如果的解析式，叫目标函数；如果这个解析式是关于这个解析式是关于x，y的一次解析式，那么又称为的一次解析式，那么又称为线性目标函数线性目标函数要点阐释要点阐释(3)线性规划问题：一般地，在线性约束条件下，线性规划问题：一般地，在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题性规划问题(4)可行解与可行域：满足线性约束条件的解可行解与可行域：满足线性约

6、束条件的解(x，y)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域域(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解，称为这个问题的最优解可行解，称为这个问题的最优解2解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；画出可行域，注意作图

7、准确；(4)利用线性目标函数利用线性目标函数(直线直线)求出最优解；求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解最优解(调整时，注意抓住调整时，注意抓住“整数解整数解”这一关键点这一关键点)说明说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：题的求解步骤是：作图作图画出约束条件画出约束条件(不等式组不等式组)所确定的所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线一条直线l.平移平移将直线将直线l平行移动，以确定最优解所平行移动，以确定最优

8、解所对应的点的位置对应的点的位置求值求值解有关的方程组求出最优解的坐标，解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值再代入目标函数，求出目标函数的最值特别提醒特别提醒：寻找整点最优解的方法：寻找整点最优解的方法平移找解法：先打网格、描整点、平移直线平移找解法：先打网格、描整点、平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法应最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法应充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图才充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图才行当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐行当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标

9、函数求值，经比较求最优解个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解解由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的数逐一检验即可迅速地找到最优解，此时将可能的数逐一检验即可题型一求线性目标函数的最值题型一求线性目标函数的最值典例剖析典例剖析解解：画出约束条件表示的点：画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，如的可行域，如图所示的阴影部分图所示的阴影部分(包括

10、边界直线包括边界直线)作直线作直线l：3x5y0，把直线向右上方平移至，把直线向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点的位置时，直线经过可行域上的点m，此时，此时，l1：3x5yz0的纵截距最小，此时的纵截距最小，此时z3x5y取最小取最小值值图解法是解决线性规划问题的有效方法其关键在图解法是解决线性规划问题的有效方法其关键在于平移直线于平移直线axby0时，看它经过哪个点时，看它经过哪个点(或哪些点或哪些点)时时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值优解，再注意到它的几何意义，从

11、而确定是取得最大值还是最小值还是最小值a有最小值有最小值2，最大值，最大值3 b有最小值有最小值2，无最大值，无最大值c有最大值有最大值3，无最小值，无最小值 d既无最大值，也无最小值既无最大值，也无最小值解析解析：如图所示，作：如图所示，作出可行域，作直线出可行域，作直线l0：xy0，平移，平移l0，当，当l0过点过点a(2,0)时，时，z有最小值有最小值2，无最大，无最大值值答案答案：b题型二求解非线性目标函数的最值题型二求解非线性目标函数的最值解解：画出满足条件的可行域：画出满足条件的可行域(1)令令tx2y2.则对则对t的每个值，的每个值，x2y2t表示一表示一簇同心圆簇同心圆(圆心为

12、原点圆心为原点o)，且对同一圆上的点，且对同一圆上的点，x2y2的值都相等由下图可知：的值都相等由下图可知：当当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆过在可行域内取值时，当且仅当圆过c点点时，时，u最大，过最大，过(0,0)时时u最小又最小又c(3,8)，umax73，umin0.方法点评方法点评：(1)对形如对形如z(xa)2(yb)2型的目型的目标函数均可化为求可行域内的点标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点与点(a，b)间间的距离平方的最值问题的距离平方的最值问题题型三线性规划的实际应用题型三线性规划的实际应用【例例3】 某投资人打算投资甲、乙两个项目，某投资人打算投资甲、乙两个项

13、目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和和50%，可能的最大亏损率分别为，可能的最大亏损率分别为30%和和10%，投资人计划投资金额不超过投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能万元，要求确保可能的资金亏损不超过的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分分(含边界含边界)即可行域即可行域作直线作直线l0：x0.5y0，并作平行于直线

14、并作平行于直线l0的一组直线的一组直线x0.5yz，zr，与可行域，与可行域相交，其中有一条直线经过相交，其中有一条直线经过可行域上的可行域上的m点，且与直线点，且与直线x0.5y0的距离最大，这里的距离最大，这里m点是直线点是直线xy10和和03x0.1y1.8的交点的交点答答：投资人用：投资人用4万元投资甲项目、万元投资甲项目、6万元投资乙项万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能万元的前提下，使可能的盈利最大的盈利最大方法点评方法点评：充分利用已知条件，找出不等关系，：充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件的平面区域，然后在该平面区域内

15、找出画出适合条件的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐标实际问题要注意实际意义对变符合条件的点的坐标实际问题要注意实际意义对变量的限制必要时可用表格的形式列出限制条件量的限制必要时可用表格的形式列出限制条件3某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg要用煤要用煤9吨，电力吨，电力4 kw，劳力，劳力(按工作日计算按工作日计算)3个；个；制造乙产品制造乙产品1 kg要用煤要用煤4吨，电力吨，电力5 kw，劳力，劳力10个又个又知制成甲产品知制成甲产品1 kg可获利可获利7万元，制成乙产品万元，制成乙产品1 kg可获可获利利12万元，现在此

16、工厂只有煤万元，现在此工厂只有煤360吨，电力吨，电力200 kw，劳力劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？少千克，才能获得最大经济效益？利润目标函数为利润目标函数为z7x12y.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如如下图下图)作直线作直线l：7x12y0，把直线，把直线l向右上方平移至向右上方平移至l1位置时，直线位置时，直线l经过可行域上的点经过可行域上的点m时，此时时，此时z7x12y取最大值取最大值答答：应生产甲种产品：应生产甲种产品20千克，乙种产品千克，乙

17、种产品24千千克，才能获得最大经济效益克，才能获得最大经济效益误区解密凭空而想，没抓住问题本质致误误区解密凭空而想，没抓住问题本质致误因为因为x、y为整数，而离点为整数，而离点a最近的整点是最近的整点是c(1,2)，这时这时s13，所以所求的最大值为，所以所求的最大值为13.错因分析错因分析：显然整点：显然整点b(2,1)满足约束条件，且此满足约束条件，且此时时s14，故上述解法不正确，故上述解法不正确对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点最近的整点而要先对边界点作目标函数而要先对边界点作目标函数taxby的图象，的图象，则最优解是在可行域内离直线则最优解是在可行域内离直线taxby最近的整最近的整点点正解正解：与错解中第一段解题过程相同：与错解中第一段解题过程相同因为因为x，y为整数，所以当直线