高考数学一轮复习第7讲　函数的图象

1、1 / 28 第第 7 讲讲 函数的图象函数的图象 1利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、 01 描点、连线 首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等) 其次：列表(尤其注意特殊点，如最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线 2利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 yf(x)a0，右移a个单位a0，上移b个单位b0，下移|b|个单位y 02 f(x)b. (2)伸缩变换 yf(x) 01，横向缩短为原来的1倍y 03 f(x)； yf(x)a1，纵向伸长为原来的a倍0a0 时，yf(|x|)f(x)，其图象在 y 轴右侧与图的

2、相同，不符合，故错误；对于 b，当 x0 时，对应的函数是 yf(x)，显然 b 错误；对于 d，当 x0 时，两函数图象有且只有一个交点，即|x|ax 只有一个解 考向一 画函数图象 例 1 作出下列函数的图象： (1)y|x2| (x2)； (2)y|log2(x1)|； (3)y2x1x1； (4)yx22|x|1. 解 (1)函数式可化为 y x24，x2，x24，x2， 其图象如图实线所示 (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移 1个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x轴翻折上去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图象，如图所示 (3)原函数解析式可化为 y21x1，故函数图象

3、可由函数 y1x的图象向右6 / 28 平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到，如图所示 (4)因为 y x22x1，x0，x22x1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，最后得函数图象如图所示 函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象 (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象 (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图 (4)画函

4、数的图象一定要注意定义域 (5)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 1.作出下列各函数的图象： (1)yx|x1|；(2)y|x24x3|； (3)y12|x|；(4)y|log2x1|. 解 (1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数 y 1，x1，2x1，x1，可见其图象是由两条射线组成，如图所示 7 / 28 (2)函数式可化为 y x24x3，x3或x1，x24x3，1x0部分关于 y 轴的对称部分，即得 y12|x|的图象，如图实线部分 (4)先作出 ylog2x 的图象，再将其图象向下

5、平移一个单位，保留 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，即得 y|log2x1|的图象，如图所示 考向二 识图与辨图 例 2 (1)(2020 山东省枣庄市模拟)著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 f(x)x(exex)x21的图象大致是( ) 8 / 28 答案 c 解析 函数的定义域为x|x 1，f(x)x(exex)x21x(exex)x21f(x)，则函数 f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除

6、 a；当 x1时，f(x)0恒成立，排除 b，d故选 c (2)函数 f(x)axb(xc)2的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) aa0，b0，c0 ba0，b0，c0 ca0，b0，c0 da0，b0，c0 答案 c 解析 由 f(x)axb(xc)2及图象可知，xc，c0，则 c0.当 x0 时，f(0)bc20，所以 b0，当 y0 时，axb0 xba0，所以 a0.故选c (3)已知定义在区间0,2上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2x)的图象为( ) 9 / 28 答案 b 解析 yf(x)作关于y轴对称的图象yf(x)向右平移2个单位yf(2x)作关于x轴对称的

7、图象yf(2x)故选 b 函数图象的识辨 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势 (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性 (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复 (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象 2(2020 山东省第一次仿真联考)函数 f(x)ln |x1|x1|的部分图象大致是( ) 10 / 28 答案 a 解析 设 g(x)ln |x|x|，因为 g(x)g(x)，所以 g(x)的图象关于 y轴对称所以 f(x)的图象关于直线 x1 对称，排除 c，d；当1x0 时，ln |x1|0，所以 f(x)

8、0，排除 b故选 a 3下列四个函数中，图象如图所示的只能是( ) ayxlg x byxlg x cyxlg x dyxlg x 答案 b 解析 (特殊值法)当 x1 时，由图象知 y0，而 c，d 中 y0，而 a 中 y110lg 110910b)，若 f(x)的图象如图所示，则 g(x)axb的图象是( ) 11 / 28 答案 a 解析 由图可知 b1,0a1，若 f(x)在区间m,4上的值域为1,2，则实数 m的取值范围为_. 答案 8，1 解析 作出函数 f(x)的图象，当 x1时， 函数 f(x)log2x2单调递减，且最小值为 f(1)1. 令 log2x22，得 x8，当

9、x1 时，函数 f(x)13x243x23在(1,2)上单调递增，在2，)上单调递减，则最大值为 2，且 f(4)232. 综上可知，所求实数 m的取值范围为8，1 角度 2 利用图象解决方程根的问题 例 4 已知函数 f(x) log x，x0，2x，x0，若关于 x 的方程 f(x)k有两个不等的实数根，则实数 k 的取值范围是_. 答案 (0,1 解析 作出函数 yf(x)与 yk 的图象，如图所示， 由图可知 k(0,1 利用函数的图象解决方程根的问题的思路 13 / 28 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 f(x)0 的根就是函数 f(x)图象与 x 轴交

10、点的横坐标，方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐标 6已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是_. 答案 12，1 解析 先作出函数 f(x)|x2|1 的图象，如图所示，当直线 g(x)kx 与直线 ab 平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过点 a 时，斜率为12，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，实数 k 的取值范围为12，1 . 角度 3 利用函数图象解决不等式问题 例 5 (2019 全国卷)设函数 f(x)的定义域为 r，满足 f(x1)2f(x)，且当x(0,1时

11、，f(x)x(x1)若对任意 x(，m，都有 f(x)89，则 m 的取值范围是( ) a，94 b，73 c，52 d，83 答案 b 解析 当 x(0,1时，f(x)x(x1)， 当 x(0,1时，f(x)14，0 . f(x1)2f(x)，当 x(1,0时，x1(0,1，f(x)12f(x1)12(x14 / 28 1)x，f(x)18，0； 当 x(2，1时，x1(1,0，f(x)12f(x1)14f(x2)14(x2)(x1)，f(x)116，0；当 x(1,2时，x1(0,1，f(x)2f(x1)2(x1)(x2)，f(x)12，0 ；当 x(2,3时，x1(1,2，f(x)2f(

12、x1)4f(x2)4(x2)(x3)，f(x)1,0；f(x)的图象如图所示 若对任意 x(，m，都有 f(x)89，则有 2m3.设 f(m)89，则4(m2)(m3)89，m73或 m83.结合图象可知，当 m73时，符合题意故选 b 利用函数图象解决不等式问题的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解 7如图，函数 f(x)的图象为折线 acb，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是( ) ax|1x0 bx|1x1 cx|1x1 dx|1x2 答案 c 解析 令 g(x)ylog2(x1

13、)，作出函数 g(x)的图象如图 15 / 28 由 xy2，ylog2(x1)，得 x1，y1.结合图象知不等式 f(x)log2(x1)的解集为x|10，又 1e1e10，sine1e10， f(1)cos1 sine1e10，排除 d故选 c 16 / 28 答题启示 使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案 对点训练 (2020 山东省潍坊市高三 6 月模拟)函数 f(x)(3x1)ln x23x1的部分图象大致为( ) 答案 b 解析 因为 f(x)(3x1)ln (x)

14、23x1(3x1)ln x23x1f(x)，所以 f(x)是奇函数，故排除 a，c；因为 f12()3 1 ln 1223 1，且 3 10,3 10，ln 1220，所以 f120，故选 b 性质检验法 2(2019 浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y1ax，ylogax12(a0，且 a1)的图象可能是( ) 答案 d 解析 当 0a1 时，函数 yax的图象过定点(0,1)，在 r 上单调递增，于是函数 y1ax的图象过定点(0,1)，在 r 上单调递减，函数 ylogax12的图象过定点12，0 ，在12， 上单调递增显然 a，b，c三个选项都不符合故选 d 答题启示 利用性质识别

15、函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用 对点训练 函数 f(x)ln x1x的图象是( ) 答案 b 解析 因为 f(x)ln x1x，所以 x1x(x1)(x1)x0，解得1x1，所以函数的定义域为(1,0)(1，)，可排除 a，d因为函数 ux1x在(1,0)和(1，)上单调递增，函数 yln u 在(0，)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数 f(x)在(1,0)和(1，)上单调递增，故选 b 图象变换法 3(多选)已知 f(x) 2x，1x0，x，01)，则

16、函数 yf(1x)的大致图象是( ) 19 / 28 答案 d 解析 解法一：先画出函数 f(x) 3x(x1)，log x(x1)的草图，作函数 f(x)的图象关于 y 轴对称的图象，得函数 f(x)的图象，再把所得的函数 f(x)的图象，向右平移 1 个单位，得到函数 yf(1x)的图象，故选 d 解法二：由已知函数 f(x)的解析式，得 yf(1x) 31x(x0)，log (1x)(x0)，故该函数图象过点(0,3)，排除 a；过点(1,1)，排除 b；在(，0)上单调递增，排除 c选 d 一、单项选择题 1函数 yx22|x|的图象是( ) 答案 b 解析 由 yx22|x|知其是偶

17、函数，故图象关于 y 轴对称，排除 c当 x0时，yx22x(x1)21.当 x0 时，y0，当 x1 时，y1，排除 a，d故选 b 2设 ab 时，y0，由此可以排除 a，b又当 xb时，y0，从而可以排除 d故选 c 20 / 28 3(2020 海口高考调研考试)函数 f(x)ln |x|1x21的图象大致是( ) 答案 a 解析 因为函数 f(x)的定义域关于原点对称，且 f(x)ln |x|1(x)21ln |x|1x21f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故排除 b；又当 0 x1时，f(x)1时，f(x)0，故排除 d故选 a 4(2020 潍坊一模)

18、定义在 r 上的偶函数 f(x)2|xm|1，记 af(ln 3)，bf(log25)，cf(2m)，则( ) aabc bacb ccab dcba 答案 c 解析 由题意得 f(x)2|xm|1 为偶函数，即 f(x)f(x)，则有 2|xm|12|xm|1，解得 m0，所以 f(x)2|x|1，函数图象如图因为 af(ln 3)f(ln 3)，cf(2m)f(1)，1ln 3log25，所以 f(1)f(ln 3)f(log25)，即 cab.故选 c 21 / 28 5(2020 泰安模拟)函数 f(x)与 g(x)2sin32x 1x的图象关于 y 轴对称，则函数 f(x)的部分图象

19、大致为( ) 答案 d 解析 g(x)2sin32x 1x2cosx1x，g22cos21220，g()10.因为函数 f(x)与 g(x)的图象关于 y 轴对称，所以 f2g20，故排除b，cf()g()0，故排除 a故选 d 6函数 yax2bx 与函数 yxab(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( ) 答案 c 解析 yax2bxaxb2a2b24a，对于 a，由二次函数图象可知，a0，b2a0，所以 b0，函数 yxab 的图象不符合要求，同理 b 不符合要求；对于 c，d，由二次函数图象知，a0，b2a0，所以 b0，比较选项 c，d，可知 c 符合要求 7已知函数 f(x)

20、的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是( ) 22 / 28 af(x)ln |x|x bf(x)exx cf(x)1x21 df(x)x1x 答案 a 解析 由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 b，c；若函数的解析式为 f(x)x1x，则当 x时，f(x)，排除 d故选 a 8若函数 f(x) axb，x1，ln (xa)，x1的图象如图所示，则 f(3)等于( ) a12 b54 c1 d2 答案 c 解析 由图象可得 a(1)b3，ln (1a)0，解得 a2，b5，所以 f(x) 2x5，x1，ln (x2)，x1，故 f(3)2(3)51，故选 c 9若函数 yf(x

21、)的图象如图所示，则函数 yf(x1)的图象大致为( ) 23 / 28 答案 c 解析 要想由 yf(x)的图象得到 yf(x1)的图象，需要先作出 yf(x)的图象关于 x 轴对称的图象 yf(x)，然后向左平移 1 个单位长度得到 yf(x1)的图象，根据上述步骤可知 c正确 10. 如图，在oab 中，a(4,0)，b(2，4)，过点 p(a,0)且平行于 ob 的直线 l与线段 ab 交于点 q，记四边形 opqb 的面积为 ys(a)，则函数 ys(a)的大致图象为( ) 答案 d 解析 由题意可知直线 l 的斜率为 2，设其方程为 y2(xa)，0a0 时，y0，函数单调递增，所

22、以函数yx 2x对应的是第二个函数图象；又当 x0 时，函数yx |cosx|0，对应的是第四个函数图象，从而排除选项b故选 a 二、填空题 13把函数 f(x)ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到的图象的函数解析式是_. 答案 yln 12x 解析 根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为 yln 12x . 25 / 28 14若函数 y12|1x|m 的图象与 x 轴有公共点，则实数 m 的取值范围是_. 答案 1,0) 解析 作出 y12|1x|的图象(如图所示)， 欲使 y12|1x|m的图象与 x 轴有交点，则1m0. 15(2020 南京三模)已知函数 f(x)

23、 x2，x0，f(x)，x0，g(x)f(x2)若 g(x1)1，则 x 的取值范围为_. 答案 2,4 解析 函数 f(x) x2，x0，f(x)，x0， 对应的图象如图， 故 g(x1)1， 即 f(x3)11x312x4. x 的取值范围为2,4 16已知 f(x) |ln x|，x0，2|x|，x0，则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数是_. 答案 5 26 / 28 解析 由 2f2(x)3f(x)10得 f(x)12或 f(x)1，作出函数 yf(x)的图象 由图象知 y12与 yf(x)的图象有 2 个交点，y1 与 yf(x)的图象有 3 个交点因此函数 y2f2(x)3f(x)1的零点有 5个 三、解答题 17画出下列函数的图象 (1)yeln x；(2)yx2x1. 解 (1)因为函数的定义域为x|x0且 yeln xx，所以其图