高考数学一轮复习课时作业(四十三)　空间点、直线、平面之间的位置关系 (2)

1、1 / 5 课时作业(四十三) 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础过关组 一、单项选择题 1已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( ) a一定是异面直线 b一定是相交直线 c不可能是平行直线 d不可能是相交直线 解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若 bc，则 ab，与已知 a，b 为异面直线相矛盾。 答案 c 2已知平面 平面 ，直线 a，b，那么直线 a 与直线 b 的位置关系一定是( ) a平行 b异面 c垂直 d不相交 解析 由平面 平面 ，直线 a，b，知直线 a 与直线 b 的位置关系是平行或异面，

2、即两直线不相交。故选 d。 答案 d 3在长方体 abcd- a1b1c1d1中，与直线 a1b 异面的是( ) a直线 ab1 b直线 cd1 c直线 b1c d直线 bc1 解析 如图所示，易知 d1ca1b，ab1与 a1b 相交，b1c 与 a1b 异面，bc1与 a1b 相交。故选 c。 答案 c 4下面四个说法中正确的是( ) a如果两个平面有四个公共点，那么这两个平面重合 b两条直线可以确定一个平面 c若 m，m，l，则 ml d在空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 解析 对于 a，若四个公共点不在同一条直线上，则这两个平面重合，若四个公共点在同一条直线上，则这两个平面可

3、能相交；对于 b，两条异面直线不能确定一个平面；对于 c，若 m，m，则 m是平面 与 的公共点，又 l，则 ml；对于 d，在空间中，相交于同一点的三条直线可能在同一平面内，也可能不在同一平面内。故选 c。 答案 c 5(2021 湖北武汉测试)在四面体 abcd 的棱 ab，bc，cd，da 上分别取点 e，f，g，h，若直线ef，gh相交于点 p，则( ) a点 p 必在直线 ac 上 b点 p 必在直线 bd 上 c点 p 必在平面 abd 内 d点 p 必在平面 bcd 内 解析 因为 ef 在平面 abc 上，gh 在平面 adc 上，且 ef，gh 相交于点 p，所以 p 在平面

4、 abc 与平面 adc 的交线上，又直线 ac 是平面 abc 与平面 adc 的交线，所以点 p 必在直线 ac 上。故选 a。 答案 a 6.(2021 湖北名师联盟第一次联考)如图，在正方体 abcd- a1b1c1d1中，e，f 分别是 ab，a1d1的中点，o 为正方形 a1b1c1d1的中心，则( ) a直线 ef，ao是异面直线 b直线 ef，bb1是相交直线 c直线 ef 与 bc1所成的角为 30 d直线 ef，bb1所成角的余弦值为33 解析 连接 af，eo，of，易知四边形 aeof 为平行四边形，所以直线 ef，ao 相交，故 a 不正确；直线 ef，bb1是异面直

5、线，故 b 不正确；以点 d 为原点，分别以da，dc，dd1的方向为 x，y，z 轴的正方2 / 5 向，建立空间直角坐标系，如图所示，设该正方体的棱长为 2，则 d(0,0,0)，b(2,2,0)，e(2,1,0)，f(1,0,2)，b1(2,2,2)，c1(0,2,2)，则bc1(2,0,2)，fe(1,1，2)，bb1(0,0,2)，所以|cosfe，bc1|6114 4432，|cosfe，bb1|4114263，所以直线 ef 与 bc1所成的角为 30 ，直线 ef，bb1所成角的余弦值为63。故 c 正确，d 不正确。 答案 c 7如图所示，是某个正方体的表面展开图，l1，l2

6、是两条面对角线，则在正方体中，有下面关于 l1与 l2的四个结论，其中正确的是( ) a互相平行 b异面垂直 c异面且夹角为3 d相交且夹角为3 解析 将展开图还原成正方体，如图所示，则 b，c 两点重合，故 l1与 l2相交，连接 ad，则abd 为正三角形，所以 l1与 l2的夹角为3。 答案 d 二、多项选择题 8下列四个命题，其中正确的是( ) a存在与两条异面直线都平行的平面 b过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行 c过平面外一点可作无数条直线与该平面平行 d过直线外一点可作无数个平面与该直线平行 解析 将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线

7、异面且与该平面平行，故 a 正确；当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面不存在，故 b 不正确；c正确；d正确。故选acd。 答案 acd 9在正方体 abcd- a1b1c1d1中，过对角线 ac1的一个平面交 bb1于点 e，交 dd1于点 f，得四边形aec1f，则下列结论正确的是( ) a四边形 aec1f 可能是菱形 b四边形 aec1f 在底面 abcd 内的投影不可能是正方形 c四边形 aec1f 所在平面不可能垂直于平面 acc1a1 d四边形 aec1f 一定不是梯形 解析 当点 e，f 分别是 bb1，dd1的中点时，四边形 aec1f 是菱形，a 正确；四边形 aec1

8、f 在底面abcd 内的投影一定是正方形，b 错误；当点 e，f 分别是 bb1，dd1的中点时，ef平面 acc1a1，此时四边形 aec1f 所在平面垂直于平面 acc1a1，c 错误；四边形 aec1f 一定是平行四边形，不可能是梯形，d 正确。故选 ad。 答案 ad 三、填空题 10圆心和圆上任意两点可确定的平面有_。 解析 若圆心和圆上的两点共线，则可确定无数个平面；若圆心和圆上的两点不共线，则可确定 1 个平面。 答案 1 个或无数个 11.(2021 辽宁沈阳模拟)如图，已知圆柱的轴截面 abb1a1是正方形，c 是圆柱下底面半圆 ab 的中点，c1是圆柱上底面半圆 a1b1的

9、中点，那么异面直线 ac1与 bc 所成角的正切值为_。 3 / 5 解析 如图，在圆柱下底面圆的圆周上取点 d，其中 c 与 d 的连线垂直于 ab，连接 c1d，ad，因为 c是圆柱下底面半圆 ab 的中点，所以 adbc，所以直线 ac1与 ad所成的角等于异面直线 ac1与 bc所成的角。易知 c1d圆柱下底面，所以 c1dad。因为圆柱的轴截面 abb1a1是正方形，所以 c1d 2ad，所以直线 ac1与 ad 所成角的正切值为 2。所以异面直线 ac1与 bc 所成角的正切值为 2。 答案 2 四、解答题 12.如图所示，a 是bcd 所在平面外的一点，e，f 分别是 bc，ad

10、的中点。 (1)求证：直线 ef 与 bd 是异面直线； (2)若 acbd，acbd，求 ef 与 bd 所成的角。 解 (1)证明：假设 ef 与 bd 不是异面直线，则 ef 与 bd 共面，从而 df 与 be 共面，即 ad 与 bc 共面，所以 a，b，c，d 四点在同一平面内，这与 a 是bcd 所在平面外的一点相矛盾。故直线 ef 与 bd 是异面直线。 (2)取 cd 的中点 g，连接 eg，fg，则 acfg，egbd， 所以相交直线 ef 与 eg 所成的角，即异面直线 ef 与 bd 所成的角(或其补角)。 又因为 acbd，则 fgeg。 在 rtegf 中，由 eg

11、fg12ac， 求得feg45 ， 即异面直线 ef 与 bd 所成的角为 45 。 13如图，在三棱锥 p- abc 中，pa底面 abc，d 是 pc 的中点。已知bac2，ab2，ac2 3，pa2。求： (1)三棱锥 p- abc 的体积； (2)异面直线 bc 与 ad 所成角的余弦值。 解 (1)sabc1222 32 3，三棱锥 p- abc 的体积为 v13sabc pa132 324 33。 (2)如图，取 pb 的中点 e，连接 de，ae，则 edbc， 所以ade(或其补角)是异面直线 bc 与 ad 所成的角。 在ade 中，de2，ae 2，ad2， cosadea

12、d2de2ae22adde2222222234。 故异面直线 bc 与 ad 所成角的余弦值为34。 素养提升组 14.如图所示，在长方体 abcd- a1b1c1d1中，abbc2，且异面直线 bd1与 aa1所成角的余弦值为63，则该长方体外接球的体积为( ) 4 / 5 a24 b8 6 c6 6 d8 解析 因为 aa1dd1，所以异面直线 bd1与 aa1所成的角为dd1b，则 cosdd1b63。连接 bd(图略)，在 rtdd1b 中，设 dd1x。因为 bd ab2ad22 2，所以 bd1 8x2，所以x8x263，所以 x4，则长方体外接球的直径为 bd12 6，半径 r

13、6，v43( 6)38 6。故选 b。 答案 b 15(2020 新高考卷)已知直四棱柱 abcd- a1b1c1d1的棱长均为 2，bad60 ，以 d1为球心， 5为半径的球面与侧面 bcc1b1的交线长为_。 解析 如图，连接 b1d1，易知b1c1d1为正三角形，所以 b1d1c1d12。分别取 b1c1，bb1，cc1的中点 m，g，h，连接 d1m，d1g，d1h，则易得 d1gd1h 2212 5，d1mb1c1，且 d1m 3。由题意知 g，h 分别是 bb1，cc1与球面的交点。在侧面 bcc1b1内任取一点 p，使 mp 2，连接 d1p，则d1p d1m2mp2( 3)2

14、( 2)2 5，连接 mg，mh，易得 mgmh 2，故可知以 m为圆心， 2为半径的圆弧 gh 为球面与侧面 bcc1b1的交线。由b1mgc1mh45 知gmh90 ，所以gh的长为142 222。 答案 22 16如图，正方形 abcd 的边长为 2，ecd 为正三角形，平面 ecd平面 abcd，m是线段 ed的中点，n 是线段 ac 上的动点。 (1)探究 m，n，b，e 四点共面时，n 点的位置，并证明； (2)当 m，n，b，e 四点共面时，求 c 到平面 mnbe 的距离。 解 (1)当 n 是线段 ac 的中点时，m，n，b，e 四点共面。证明如下。 如图，连接 bd，过相交直线 bd，de 有且只有一个平面 bde， 因为 m 是线段 ed 的中点，所以 m在平面 bde 内， 因为四边形 abcd是正方形，所以当 n 是线段 ac 的中点时， n 是正方形 abcd的中心，必为 bd 的中点，所以 n 在平面 bde 内。 分析可知，当 n 是线段 ac 的中点时，m，n，b，e四点共面。 (2)由(1)知，m，n，b，e四点共面时，平