高考数学二轮复习专题检测（十一）空间位置关系的判断与证明

1、专题检测（十一）专题检测（十一） 空间位置关系的判断与证明空间位置关系的判断与证明 a 组“633”考点落实练 一、选择题 1设 为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) a若 a，b，则 ab b若 a，ab，则 b c若 a，ab，则 b d若 a，ab，则 b 解析：选 b 若 a，b，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 a 错误；易知 b 正确；若 a，ab，则 b 或 b，故 c 错误；若 a，ab，则 b 或 b或 b与 相交，故 d错误故选 b. 2设 l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) a若 l，l，则 b若 l，l，则 c若 ，l，则 l

2、d若 ，l，则 l 解析：选 b 对于 a，若 l，l，则 或 与 相交，故 a 错误；易知 b 正确；对于 c，若 ，l，则 l或 l，故 c错误；对于 d，若 ，l，则 l与 的位置关系不确定，故 d 错误故选 b. 3.如图，在三棱锥 d- abc 中，若 abcb，adcd，e 是 ac 的中点，则下列命题中正确的是( ) a平面 abc平面 abd b平面 abd平面 bcd c平面 abc平面 bde，且平面 acd平面 bde d平面 abc平面 acd，且平面 acd平面 bde 解析：选 c 因为 abcb，且 e 是 ac 的中点，所以 beac，同理，deac，由于 de

3、bee，于是 ac平面 bde.因为 ac平面 abc，所以平面 abc平面 bde.又ac平面 acd，所以平面 acd平面 bde.故选 c. 4已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题： 若 m，n，nm，则 ； 若 m，m，则 ； 若 m，n，mn，则 ； 若 m，n，mn，则 . 其中正确的命题是( ) a b c d 解析：选 b 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线

4、也平行，故不正确故选 b. 5在长方体 abcd- a1b1c1d1中，abbc1，aa1 3，则异面直线 ad1与 db1所成角的余弦值为( ) a15 b56 c55 d22 解析：选 c 如图，连接 bd1，交 db1于 o，取 ab的中点 m，连接 dm，om，易知 o 为 bd1的中点，所以 ad1om，则mod 为异面直线 ad1与 db1所成角因为在长方体 abcd- a1b1c1d1中，abbc1，aa1 3，ad1ad2dd212，dmad212ab252，db1ab2ad2dd21 5，所以 om12ad11，od12db152，于是在dmo 中，由余弦定理，得 cosmo

5、d12522522215255，即异面直线 ad1与 db1所成角的余弦值为55.故选 c. 6.如图，在矩形 abcd 中，ab 3，bc1，将acd沿 ac折起，使得 d 折起后的位置为 d1，且 d1在平面 abc 上的射影恰好落在 ab 上，在四面体 d1abc 的四个面中，有 n 对平面相互垂直，则 n等于( ) a2 b3 c4 d5 解析：选 b 如图，设 d1在平面 abc 上的射影为 e，连接 d1e，则 d1e平面 abc， 因为 d1e平面 abd1， 所以平面 abd1平面 abc. 因为 d1e平面 abc，bc平面 abc， 所以 d1ebc，又 abbc，d1ea

6、be， 所以 bc平面 abd1， 又 bc平面 bcd1， 所以平面 bcd1平面 abd1， 因为 bc平面 abd1，ad1平面 abd1， 所以 bcad1，又 cd1ad1，bccd1c， 所以 ad1平面 bcd1，又 ad1平面 acd1， 所以平面 acd1平面 bcd1. 所以共有 3 对平面互相垂直故选 b. 二、填空题 7正方体 abcd- a1b1c1d1的棱长为 2，点 m 为 cc1的中点，点 n 为线段 dd1上靠近d1的三等分点，平面 bmn 交 aa1于点 q，则线段 aq 的长为_ 解析：如图所示，在线段 dd1上靠近点 d 处取一点 t，使得dt13，因为

7、 n 是线段 dd1上靠近 d1的三等分点，故 d1n23，故nt213231，因为 m 为 cc1的中点，故 cm1，连接 tc，由 ntcm，且 cmnt1，知四边形 cmnt为平行四边形，故 ctmn，同理在 aa1上靠近 a 处取一点 q，使得 aq13，连接 bq，tq，则有 bqctmn，故 bq与 mn共面，即 q与 q重合，故 aq13. 答案：13 8.如图，acb90 ，da平面 abc，aedb 交 db 于点 e，afdc 交 dc 于点 f，且 adab2，则三棱锥 d- aef 体积的最大值为_ 解析：因为 da平面 abc，所以 dabc，又 bcac，daaca

8、，所以 bc平面 adc，所以 bcaf.又 afcd，bccdc，所以 af平面dcb，所以 afef，afdb.又 dbae，aeafa，所以 db平面 aef，所以 de为三棱锥 d- aef 的高因为 ae 为等腰直角三角形 abd 斜边上的高，所以 ae 2，设afa，feb，则aef 的面积 s12ab12a2b22122212，所以三棱锥 d- aef 的体积 v1312 226(当且仅当 ab1 时等号成立) 答案：26 9在长方体 abcd- a1b1c1d1中，abad4，aa12.过点 a1作平面 与 ab，ad分别交于 m，n 两点，若 aa1与平面 所成的角为 45

9、，则截面 a1mn 面积的最小值是_ 解析：如图，过点 a 作 aemn，连接 a1e，因为 a1a平面 abcd，所以 a1amn，所以 mn平面 a1ae，所以 a1emn，平面 a1ae平面 a1mn，所以aa1e 为 aa1与平面 a1mn所成的角，所以aa1e45 ，在 rta1ae 中，因为 aa12，所以 ae2，a1e2 2，在 rtman 中，由射影定理得 me enae24，由基本不等式得 mnmeen2 meen4，当且仅当 meen，即 e 为 mn 的中点时等号成立，所以截面 a1mn 面积的最小值为1242 24 2. 答案：4 2 三、解答题 10(2019 全国

10、卷)图是由矩形 adeb，rtabc 和菱形 bfgc 组成的一个平面图形，其中 ab1，bebf2，fbc60 .将其沿 ab，bc 折起使得 be 与 bf 重合，连接 dg，如图. (1)证明：图中的 a，c，g，d四点共面，且平面 abc平面 bcge； (2)求图中的四边形 acgd的面积 解：(1)证明：由已知得 adbe，cgbe， 所以 adcg，故 ad，cg 确定一个平面，从而 a，c，g，d 四点共面由已知得abbe，abbc，故 ab平面 bcge.又因为 ab平面 abc，所以平面 abc平面bcge. (2)取 cg 的中点 m，连接 em，dm.因为 abde，a

11、b平面bcge，所以 de平面 bcge，故 decg. 由已知，四边形 bcge 是菱形，且ebc60 ，得 emcg，故cg平面 dem.因此 dmcg. 在 rtdem中，de1，em 3， 故 dm2.所以四边形 acgd的面积为 4. 11.如图所示，已知 ab平面 acd，de平面 acd，acd 为等边三角形，adde2ab，f为 cd 的中点 求证：(1)af平面 bce； (2)平面 bce平面 cde. 证明：(1)如图，取 ce的中点 g，连接 fg，bg. 因为 f为 cd的中点， 所以 gfde 且 gf12de. 因为 ab平面 acd，de平面 acd，所以 ab

12、de， 所以 gfab. 又因为 ab12de，所以 gfab. 所以四边形 gfab 为平行四边形，则 afbg. 因为 af平面 bce，bg平面 bce， 所以 af平面 bce. (2)因为acd 为等边三角形，f为 cd的中点， 所以 afcd. 因为 de平面 acd，af平面 acd， 所以 deaf. 又 cdded， 所以 af平面 cde. 因为 bgaf，所以 bg平面 cde. 又因为 bg平面 bce， 所以平面 bce平面 cde. 12如图 1，在直角梯形 abcd中，adbc，abbc，bddc，点 e 是 bc边的中点，将abd沿 bd折起，使平面 abd平面

13、 bcd，连接 ae，ac，de，得到如图 2所示的几何体 (1)求证：ab平面 adc； (2)若 ad1，ac 与其在平面 abd 内的正投影所成角的正切值为 6，求点 b 到平面ade的距离 解：(1)证明：因为平面 abd平面 bcd，平面 abd平面 bcdbd， 又 dcbd，dc平面 bcd， 所以 dc平面 abd. 因为 ab平面 abd， 所以 dcab. 又因为折叠前后均有 adab， 且 dcadd， 所以 ab平面 adc. (2)由(1)知 dc平面 abd， 所以 ac 在平面 abd 内的正投影为 ad， 即cad 为 ac 与其在平面 abd 内的正投影所成的

14、角 依题意知 tancaddcad 6， 因为 ad1，所以 dc 6. 设 abx(x0)，则 bd x21， 易知abddcb，所以abaddcbd， 即x16x21，解得 x 2， 故 ab 2，bd 3，bc3. 由于 ab平面 adc， 所以 abac，又 e为 bc的中点，所以由平面几何知识得 aebc232， 同理 debc232， sade121 32212222， dc平面 abd vabcd13cdsabd33， 设点 b到平面 ade 的距离为 d， 则13dsadevbadevabde12vabcd36， d62，即点 b 到平面 ade 的距离为62. b 组大题专攻

15、强化练 1如图，三棱柱 abc- a1b1c1中，底面 abc 是等边三角形，侧面 bcc1b1是矩形，aba1b，n是 b1c的中点，m 是棱 aa1上的点，且 aa1cm. (1)证明：mn平面 abc； (2)若 aba1b，求二面角 a- cm- n的余弦值 解：(1)证明：如图 1，在三棱柱 abc- a1b1c1中，连接 bm. 因为 bcc1b1是矩形，所以 bcbb1.因为 aa1bb1，所以 aa1bc. 又 aa1mc，bcmcc，所以 aa1平面 bcm， 所以 aa1mb，又 aba1b，所以 m 是 aa1的中点 取 bc 的中点 p，连接 np，ap，因为 n 是

16、b1c 的中点，所以 npbb1，且 np12bb1， 所以 npma，且 npma，所以四边形 amnp 是平行四边形，所以 mnap. 又 mn平面 abc，ap平面 abc，所以 mn平面 abc. (2)因为 aba1b，所以aba1是等腰直角三角形，设 ab 2a， 则 aa12a，bmama.又在 rtacm 中，ac 2a，所以 mca. 在bcm 中，cm2bm22a2bc2，所以 mcbm， 所以 ma1，mb，mc 两两垂直，如图 2，以 m 为坐标原点， ma1，mb，mc的方向分别为 x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 m(0，0，0)，c(0，0，a)

17、，b1(2a，a，0)， 所以mc(0，0，a)，na，a2，a2，则mna，a2，a2. 设平面 cmn 的法向量为 n1(x，y，z)，则n1mc0，n1mn0，即az0，axa2ya2z0，得 z0， 取 x1得 y2.故平面 cmn 的一个法向量为 n1(1，2，0) 因为平面 acm 的一个法向量为 n2(0，1，0)， 所以 cosn1，n2n1n2|n1|n2|2 55. 因为二面角 a- cm- n 为钝角， 所以二面角 a- cm- n 的余弦值为2 55. 2.如图，在四棱锥 p- abcd 中，pa平面 abcd，底面 abcd 为菱形，e为 cd的中点 (1)求证：bd

18、平面 pac； (2)若abc60 ，求证：平面 pab平面 pae； (3)棱 pb上是否存在点 f，使得 cf平面 pae？说明理由 解：(1)证明：因为 pa平面 abcd， 所以 pabd. 因为底面 abcd 为菱形， 所以 bdac. 又 paaca， 所以 bd平面 pac. (2)证明：因为 pa平面 abcd， ae平面 abcd， 所以 paae. 因为底面 abcd 为菱形，abc60 ，且 e为 cd的中点， 所以 aecd.所以 abae. 又 abpaa，所以 ae平面 pab. 因为 ae平面 pae，所以平面 pab平面 pae. (3)棱 pb上存在点 f，使

19、得 cf平面 pae. 取 pb的中点 f，pa 的中点 g，连接 cf，fg，eg， 则 fgab，且 fg12ab. 因为底面 abcd 为菱形，且 e 为 cd的中点， 所以 ceab，且 ce12ab. 所以 fgce，且 fgce. 所以四边形 cegf 为平行四边形所以 cfeg. 因为 cf平面 pae，eg平面 pae， 所以 cf平面 pae. 3如图 1，在直角梯形 abcd 中，adbc，bad2，abbc12ada，e 是ad 的中点，o 是 ac 与 be 的交点，将abe 沿 be 折起到图 2 中a1be 的位置，得到四棱锥 a1bcde. (1)证明：cd平面 a1oc； (2)当平面 a1be平面 bcde 时，四棱锥 a1bcde的体积为 36 2，求 a的值 解：(1)证明：在图 1中，因为 abbc12ada，e是 ad的中点， bad2，所以 beac. 即在图 2中，bea1o，beoc， 从而 be平面 a1oc， 又 cdbe， 所以 cd平面 a1oc. (2)由已知，平面 a1be平面 bcde， 且平面 a1be平面 bcdeb