土的工程参数的统计

1、第11章 土的工程参数的统计分析在岩土工程勘察中，通过钻探、取土、室内土工试验和现场原位测试等，可以取得大量的土的工程性状的试验数据。由于土工参数具有很大的变异性，因此依据在特定时刻、特定部位采样的有限的试验数据带有很大的局限性，使工程师对土工性状的估计与实际性状之间存在着某些差异，即具有不确定性。试验数据必须经过一定的统计分析，才能确定有一定可靠性的设计参数，才能对土工性状作出概率的预测。土工参数的不确定性来源于：1、土层本身固有的空间变异性；2、取样的扰动；3、测试对的应力条件、应变条件和排水条件与实际的不一致引起的差异；4、试验误差；5、尺寸效应、时间效应等。对待土工参数不确定性的方法有

2、两种。一种是采用“平均”的土性值，在设计中假定土为具有这种平均性质的均匀材料，并采用一定的安全系数，保证工程的安全。这样的方法称为定值法，在确定安全系数时，考虑到土的变异性、计算模式的简化、荷载的不确定性等。要凭经验作出判断。由于定值法数学处理比较简单，所以它为工程技术人员广泛采用。另一种是考虑土的不确定性的分析方法，土工参数采用随机变量概率模型描述，土工参数的概率分布面数和特征值，以试验数据为基础，运用参数估计和概率分布的假设检验方法确定。在设计中用破坏概率的概念会代替单一值的安全系数。这样的方法称为概率分析法。11-1 试验数据的整理与经验分布 对所取得的试验数据，表面看来有大有小，似乎是

3、一堆杂乱无章的数据。但经过一定方法的处理，可以显示出它们的规律性，井可用一些特征值来概括表示试验数据。进行概率统计分析，有一重要的前提，即参加统计计算的试验数据应属于同一的统计单元体，在统计中称之为同母体。在工程地质中，把地质成因、年代、岩性特征、土的物理力学性质基本相一致的划为一个统计单元体。描述统计单元体特征的指标很多。如土的物理性质指标有：容重、含水量、孔隙比、液限、塑限、塑性指数、相对密度等。土的力学性质指标有：抗剪强度指标、压缩性参数(压缩系数、压缩模量、压缩指数等)、固结系数等。土的原位测试数据有：标贯击数N、锥尖阻力qc、十字板不排水抗剪强度cu、旁压模量EM及极限压力pL、平板

4、载荷试验的变形模量E0及临塑压力p0、极限压力pj等。对一个统计单元体依据若干个取样所得的试祥，用统一标准的仪器和方法测得某一指标若干个试验数据；或在一个统计单元体内，在若干平面位置于不同深度取得莱一原位测试的若干试验数据，可以看作为某指标的子样、数据的个数N称为子样的样本容量，而每一数据则称为个体，亦即N个个体构成一个子样，子样包含的个体数目一般总是有限的。无限个个体或从实用的角度言相当多个个体则构成总体。我们要解决的问题就是用于样统计的结果来估计总体的特征。为此必须先从一组数据中归纳出于样的经验分布、子样的经验分布可以用图示法或数值法表示。以表11-1某一土层的含水量数据为例，整理时可作散

5、点图、频数分布图、频率分布图和累计频率分布图，这些分布图也可称为直方图。1、作深度h和含水量关系印散点图(图11-la)l即以横轴表示含水量，纵轴表示土样的深度。由散点图可以看出，该土层的含水量在37.050.2范围内变化，而且含水量的变化与深度无相关性。2、把含水量的变化范围划分为若干个等间距的区间，如以2为一区间，统计各区间内测定值出现的个数n，(n即频数)。各区间频数M的总和等于总的测定值个数N，即，绘出各区间的频数，即频数分布图(图11-1b)。3、对各个区间数据出现的频数除以N，可计算各区间的频率p；各区间频率的总和应等于1，即，见表11-2。以各区间的含水量中值作为这个区间内所有数

6、据的代表性数值，可绘制频率分布图(图11-1c)。4、按区间中值由小到大的次序，计算小于等于区间中值的频率相加得到累计频电可得累计频率分布图(图11-1d)。表11-1含水量数据并非连续变量，而是离散的随机变量，所得到的分布为离散的经验分布。显然划分区间数目的多少影响经验分布，当区间取得很小时，在有些区间会无观测值出现；当区间取得很大；则可能把全部观测值都包含在一个区间内，这都不能清楚反映数据的经验分布。一般区间数目应根据样本容量来确定，样本容量大的数据，区间可以多划一些(即区间范围可小些)；反之就应少划一些区间数目M可以用Sturges式来估计： （11-1）式中：N样本容量（观测数据总个数

7、）。已知数据的上限b和下限a，则区间间隔即： （11-2）区间间隔可按式(11-2)计算后取整。图11-1的直方图呈阶梯形，如果数据不断增多，区间间隔不断减小，则阶梯形的直方图逐渐变为光滑曲线。频率分布图和累计频率分布图相当于概率统计中的概率密度函数与概率分布面数(图11-2)。这种取值是连续的随机变量，称为连续型随机变量。它的概率分布称为连续型分布。图11-2a为概率密度函数；因11-2b为概率分布函数。具有如下性质：（1）、（2）、（3）、 （11-3）具有如下性质：（1）、（2）、若，则 （3）、 （11-4）11-2 土的工程参数常用的概率分布模型对于大多数实际情况，土的工程参数的变异

8、性可以用以下分布之一很好地描述：(1)均匀分布；(2)正态分布；(3)对数正态分布；(4)Beta分布。一、均匀分布（图11-3a）随机变量x在a，b区间内有定义，且出现的概率是相等的，即均匀分布。均匀分布的概率密度函数为常数： （11-5）均匀分布的概率函数： （11-6）其数学期望： （11-7）故数学期望就是概率密度函数分布形心的位置，即a与b的平均值。方差S2的定义是随机变量与其平均值(数学期望值)之差的平方的数学期望： （11-8）均匀分布的方差为： （11-9）方差的平方根称为标准差，用子样的方差可估计总体方差： （11-10）总体标准差用表示当n很大时。标准差是用以衡量随机变量离

9、散程度的离散特征参数。它的量纲与随机变量的量纲相同，常用无量纲的指标变异系数V来衡量变量的离散性。 （11-11）二、正态分布(图11-3b)正态分布是岩土工程中常用的一个极重要的分布。许多土工参数经检验均服从正态分布。正态分布亦称高斯分布。正态分布是一个连续型随机变量的概率分布，其概率密度分布由下式给出： （11-12）式中：-平均值；-标准差。，是用来描述正态分布的重要分布特征参数，可用一个简略的符号来表示正态分布，记为。在整个实数轴上都有定义，且到处为正，到处连续，可以证明。如令为一变换后的新变量u，即，u称为标准化变量，它的数学期望；标准差即等于1。此标准化变量的分布称为标准正态分布，

10、记为N(0，1)，其概率密度函数为： （11-13）标准正态分布的概率分布函数为： （11-14）已制成表格，见表11-3。由表11-3可以直接查出对于服从标准正态分布的变量的值，标准正态分布时不同情形的概率为：上式中，即为置信水平，为显著性水平，与间存在以下关系： （11-19）利用式（11-18）可以求得时，亦即当时发生的概率。表11-4列出一些较有用的不同k值得概率。在实际工程中，对试验数据进行筛选时，按作为舍弃的依据。由表11-4可知数据处于范围以外出现的概率为1-0.9970.003，可以认为是不可能事件，不属于偶然误差；而属于错差或系统误差，可以舍弃。三、对数正态分布当随机变量是正

11、态分布时，称该变量服从对数正态分布，对数正态分布的概率密度函数由下式给出： （11-20）可以证明： （11-21）式中：-x的变异系数，即： （11-22） （11-23）四、贝塔(Beta)分布贝塔分布的概率密度函数的一般形式为： （11-24）式中：a，b-x的分布范围的下限和上限；-分布的尺度参数；-Beta函数 （11-25）为gamma函数，定义为： （11-26）当c>0，上式是收敛的。函数的递推公式是：可根据表11-5给出的表(c=1-2)计算任意值的函数值。 由式(11-25)可以计算Beta分布中的函数。Beta分布是一种适应性非常广泛的分布模型。调整和分布形状就会发

12、生变化可由矩形或均匀分布变为对称或非对称的曲线，见图11-4。，是由实测数据估计的。该变量x分布在a，b范围内。先变换为归一化变量y：，对于已知的实测数据，可以计算其子样的平均值和子样方差估值，用(11-34)、(11-35)可分别求得归一化变量y的数学期望和方差。由式（11-32）和式（11-33）即可求得尺度参数和，再由式(11-25)和式(11-28)可计算函数，从而得式(11-24)的Beta分布的概率密度函数f(x)。在以上几种常用的分布模型中，正态分布是最常用的。因为可以利用标准正态分布表使概率的统计计算工作大大简化，而且误差也不大。但标准正态分布的定义城为正负无限大，而土工参数往

13、往是有限定域，因此用正态分布会使概率统计分析失真。Beta分布则适应性强，对于均匀分布、三角形分布、对称或不对称的都能很好拟合。11-3 试验数据的特征参数的分析计算描述试验数据的特征参数包括：位置特征参数、离散性特征参数、分布特性参数和相关特征参数。一、位置特征参数 常用的位置特征参数有：平均值、极大值、极小值、众数和中位数等。 1平均值：有算术平均值、几何平均值和调和平均值计算平均值是最常用的，一般用表示： （11-36）2最大值与最小值最大值和最小值确定了试验数据的变化范围。 （11-41） 由于最大值最小值只决定于个别的试验数据，偶然性很大.在勘察资料整理时，于上下限各舍去总数的10后

14、，再确定试验数据的变化范围。3众数与概率密度函数分布曲线峰值相应的变量值，即出现次数最多的数值，也即误差最小的数值，这个值称为众数。4中位数(或简称中值)把试验数据按由小到大顺序排列，当试验数据总数N为奇数时，取第个值；当试验总数N为偶数时，取第个和第个值得平均值即为中位数，亦即小于和大于中位数的概率均为1/2。对于对称的分布曲线，算术平均值、众效和中位致是相同的。对于非对称的分布曲线，算术平均值、众数和中位数就不一致。二、离散性特征参数离散特征参数是用来描述试验数据的波动特征。常用的离散特征参数有极差、标准差和变异系数等。1极差极差是最简单的离散特性参数 （11-42）由于只是依据个别试验数

15、据得到的，并未充分利用全部试验数据，故代表性较差。2均方差（标准差S）对于正态分布的试验数据，均方差为： （11-43）当N>30时，可以用下式计算： （11-44）具有与x值相同的因次，它的大小反映了一组试验数据偏离平均值的平均波动。式（11-43）或式（11-44）中的的计算太繁琐，可改用下式计算： （11-45）于是 （11-46）如把x变换为新变量u，则，则式（11-46）可写成下式，可使计算简化： （11-47）3变异系数V对于不同的试验数据，要比较它们的离散程度，不能单看均方差的绝对值，而应比较均方差与平均值的比值即变异系数V才比较合理。 （11-48）变异系数V既反映了土性

16、参数的固有变异性，也反映了取土技术和试验方法等对土性参数的试验误差。一般来说，变异系数越大，反映试验结果的可取性越差。表11-6列出了国外文献中的一些土工参数的变异系数资料。表11-7列出了上海各土层土工参数的变异系数。三、分布特征参数分布特征参数是用来描述分布曲线图形的特征：曲线的对称性和曲线的峰度。1标准偏度系数g1是用来检查分布曲线的形状是否对称。 （11-49）当=0时，为对称分布； >0时，为正偏度； <0时，为负偏度。其直观意义见图11-5。2标准峰度系数是用来检验曲线峰部的凸平度。 (11-50)当 =0时，符合标准正态分布的峰形； >0时，为狭窄尖峰曲线； &

17、lt;0时，为伸展低峰曲线。其直观意义见图11-6。四、相关特征参数相关特征参数是用来表征一组试验数据相互之间可能存在的相关关系。一般可计算线性相关系数 （11-51）式中：-时滞。当=0，表示试验数据之间无相关关系，可认为是相互独立的数据。当=±1，表示试验数据之间存在完全相关的关系。一般，表示试验数据间存在一定的相关关系，越大，表明相关性越强。*岩土参数的统计与选用1基本要求岩土参数应根据工程特点和地质条件选用，并按下列内容评价其可靠性和适用性。取样方法和其他因素对试验结果的影响。采用的试验方法和取值标准。不同测试方法所得结果的分析比较。测试结果的离散程度。测试方法与计算模型的配

18、套性。2岩土参数统计方法和要求岩土的物理力学指标，应按场地的工程地质单元和层位分别统计。应按下列公式计算平均值、标准差和变异系数： （1.91） （1.92） （1.93）式中 岩土参数的平均值； 岩土参数的标准差； 岩土参数的变异系数。分析数据的分布情况并说明数据的取舍标准。3岩土参数的相关型和非相关型主要参数宜绘制沿深度变化的图件，并按变化特点划分为相关型和非相关型。需要时应分析参数在水平方向上的变异规律。相关型参数宜结合岩土参数与深度的经验关系，按下式确定剩余标准差，并用剩余标准差计算变异系数。 （1.94） （1.95）式中 剩余标准差； 相关系数；对非相关型，。4岩土参数的标准值岩土

19、参数的标准值可按下列方法确定： （1.96） （1.97）式中 统计修正系数。（ 注：式中正负号按不利组合考虑，如抗剪强度指标的修正系数应取负值。）统计修正系数也可按岩土工程的类型和重要性、参数的变异性和统计数据的个数，根据经验选用。5勘察报告提供岩土参数值的规定在岩土工程勘察报告中，应按下列不同情况提供岩土参数值：一般情况下，应提供岩土参数的平均值、标准差、变异系数、数据分布范围和数据的数量；承载能力极限状态计算所需要的岩土参数标准值，应按式(1.96)计算。当设计规范另有专门规定的标准值取值方法时，可按有关规范执行。11-4 设计参数的估计试验数据经过以上的统计计算，得到的一系列特征参数，只是反映了在整个土层中有限点(取样点或试验点)的土工参数，亦即是从试验数据得出的仅仅是子样的平均值即均方差，而不是总体的。我们只能从有限的子样数据来推断总体的性状参数估计总体平均值和方差的真值。实际上真值是不知的，只能得到总体平均值和方差的最佳估计和给出一定置信水平的区间估计(平均值的一定置信水平的置信界限)。一、总