第十八章勾股定理导学案

1、第十八章 勾股定理 河南省汤阴县实验中学 梁舜南18.1勾股定理（一）课前准备：每小组制作四个全等直角三角形引言：直角三角形三边之间有着怎样的关系呢？早在公元前1100年，我国劳动人民就知道了。他们把直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。若勾是三，股是四，则弦就是五。后来人们进一步验证了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方-这就是著名的勾股定理。一、 阅读课本64页-65页的探究，完成下列问题：1、 如图，等腰直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和与以斜边为边长的正方形面积之间有着怎样的关系？2、 利用课本图18.1-2的方格纸求出正方形A

2、.、B、C和正方形A、B、C的面积，并说明求面积的方法。SA=_， SB=_，SC=_。则_+_=_SA=_，SB=_，SC=_.。则_+_=_3、 由以上两题中的面积关系，猜想：如果直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么_二、 动手操作：每个小组利用自制的四个全等直角三角形进行拼图验证你上面的猜想，从而体验勾股定理的证明方法。三、 运用勾股定理计算：1、在RtABC中C=900， a=3,b=4, c=_; a=6,c=7 , b=_; b=40, c=41, a=_ 运用勾股定理计算时，一定要说明三角形是直角三角形，同时要说明哪个角是直角。2、如图，由于受影响，一棵树在离地4

3、m处断裂，树的顶部倒在离根部3m处，这棵树被折断前有多高？（提示：在图中标出字母，写出解题过程。）四、 展示你的能力：1、 在RtABC中，C=900 已知：a=b=5,则c=_ 已知：a=1 c=2 b=_ 已知：c=17 b=8 a=_2、 如图，在RtABC中，C=600 ，AC=4，求边BC和边AB的长。 18.1勾股定理（二）一、阅读课本66页-67页的探究1，思考并回答下列问题：1、木板横着放或者竖着放，是否能从门框内通过？如果不能的话，请你想个办法设法设把木板通过门框。2、交流探究：有一个边长为50cm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少需多长？（结果保留整数）

4、二、阅读课本67页的探究2，思考并完成下列问题。1、在梯子下滑的过程中，梯子长度改变吗？2、在运算过程中，会_次用到勾股定理，可以分别求出_和_.再用_减去_，就可以求出BD的长。3、如图，一个梯子AB长为2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离1.5m，梯子滑动后停在DE位置上，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下滑了多少米？4、有一个10m长的梯子AB如图放置，已知BH=8m，在B下方1m的C处有一个钉子，现在梯子突然下滑，幸好被钉子挡住，在HA的延长线上的D处有一个花盆，已知AD=1.1m，问：这次梯子下滑会碰到花盆吗？为什么？18.1 勾股定理（三）一、利用勾股定理在数

5、轴上描出表示无理数的点。自学课本68页探究3，完成下列练习。1、5可以写成哪两个正整数的平方和_以为斜边的直角三角形，其直角边长度为正整数、则直角边长可以是_2、（1）在数轴上画出表示的点 （2）在数轴上做出表示的点3、 你知道表示-和+2的点在哪里吗？在数轴上把它们画出来。二、用勾股定理解决其它非直角三角形中的问题1、如图，等边三角形的边长为6。(1)求高AD的长（结果保留三位小数）（2）、求这个三角形的面积（结果保留1位小数） 2、已知：如图在ABC中，AD是BC边上的高，且AC=,AB=,AD= 求BC的长。3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。（要求画出图

6、形，标上字母，写出解题过程）4、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在RtABC中，若直角边AC=8，BC=6，将四个直角三角形中边长为8的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，求这个风车外围的周长。18.2勾股定理的逆定理（一）一、根据三角形三边的数量关系判断直角三角形阅读课本73页-74页内容，完成下列问题。1、由古埃及人画直角的方法猜想：如果一个三角形的三边为3、4、5，且32+42=52.那么这个三角形是_三角形。2、因为62+82=102，所以，画一个以6cm、8cm、10cm为边长的三角形，用量角器测量一下，看这个三角形是_三角

7、形。3、由上面的动手操作，请猜想：如果三角形的三边长为a、b、c且满足a2+b2=c2,那么这个三角形是_三角形。二、阅读课本74页的探究，回答下列问题：1、在A/B/C/中，你能求出A/B/与AB的关系吗？从而得出ABC与A/B/C/有什么关系？C/与C的大小关系是什么？2、用_可以证明勾股定理的逆命题是正确的？这个定理叫_.即：若三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,则这个三角形是_三角形（要说清哪个角是直角）三、运用勾股定理的逆定理求解。1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： 、a=15 b=8 c=17 a=13 b=14 c=15 a=15 b=20 c=25

8、 2、在ABC中，AB=13cm,AC=24cm ,中线BD=5cm,求证：ABC是等腰三角形。（画出图形，写出证明过程）3、若ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断ABC的形状。4、如图，某工厂A前面有一条笔直的公路，原来有两条路AB、AC可以从工厂A到达公路，经测量AB=6千米，AC=8千米，BC=10千米，现要修建一条公路，使工厂A到公路的距离最短，请你帮工厂设计一种方案，并求出最短公路的长。18.2 勾股定理的逆定理 （二）一、知道原命题和逆命题的关系，会写一个命题的逆命题。1、_叫命题。命题由_和_两部分组成，_是已知项，_是由已知项推

9、出的事项。2、如果_成立，那么_一定成立的命题叫_；如果_成立时，不能保证_一定成立的命题叫_。3、命题的正确性经过推理证实是_的真命题叫做_.。4、命题有_,有_；_一定是真命题。二、阅读73页-74页课文，完成下列问题。1、若两个命题的_、_正好相反，则这两个命题叫做_命题。2、写出下列命题的逆命题，并说明这些命题的逆命题成立吗?两直线平行，内错角相等。如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；全等三角形的对应角相等； 到角两边距离相等的点在角的平分线上。3、一般地，如果一个定理的_经过证明是_，它也是一个定理，称这两个定理_.三、用勾股定理的逆定理解决一些简单的问题：1、一根30米长的细绳

10、折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你判断这个三角形的形状。2、古希腊的哲学家柏拉图曾经指出，如果m表示大于1的整数，a=2m,b=m2-1,c=m2+1，那么a、b、c为勾股数你认为对吗？为什么?你能利用这个结论找一些勾股数吗？3、在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400。问甲巡逻艇的航向？4、如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC,求证：AF

11、EF.18.2 勾股定理的逆定理（三）一、会灵活应用勾股定理及逆定理解题1、在RtABC中，C=900，a=8,b=15；则C=_在RtABC中，B=900，a=3,b=4；则C=_在RtABC中，C=900，c=10,a：b=3:4 ，则a=_,b=_已知直角三角形的两边长分别是3和5，则第三边的长为_2、 已知x-6+(z-10)2=0，则由x、y、z的长为三边的三角形是_三角形。、三角形的三边为3、4、5；则其面积为_.、ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm,求AC的长。二、加深勾股定理与逆定理之间的关系1、如图，在四边形ABCD中，B=900，AB=1

12、，BC=1，DC=,AD=，试求DCB的大小。2、若ABC的三边a、b、c满足a：b：c=1:1：，试判断ABC的形状。3、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A(10，0),C（0,4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，求当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标。18章 勾股定理全章复习一、选选、算算、填填1.下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 _cm22下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（  ）    A6，7，8    B5，6，7 

13、;   C4，5，6    D3，4，53一个三角形的三边的比为51213，它的周长为60cm，则它的面积是cm24若等边ABC的边长为2cm，那么ABC的面积为（  ）    Acm2    B2 cm2   C3 cm2     D4cm25、直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm；其中斜边上的高为（）A6cm B85cm Ccm Dcm6.已知一个RtABC的两边长分别为3和4，则第三边长是_ ；7.在Rt

14、ABC中， a，b，c分别是三条边，B=90°，已知a=6，b=10，求边长c谈谈你的学习收获二、学以致用1. 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺求竹竿高与门高2. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试8mOBBAA3.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m现将梯子的底端A向外移动到A,使梯子的底端A到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下

15、降到B，那么BB也等于1m吗?勾股定理检测题1. ABC的三边分别为AB=，BC=，AC=（8分）（1）探究这个三角形是不是直角三角形 （2）如果是直角三角形，分析哪个是直角.2.甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A码头分别向北偏东23°和北偏西67°的方向出发，甲轮船的速度为每小时24海里，乙轮船的速度为每小时32海里，则下午1时两船相距多少海里？（8分）3.如图，在平面直角坐标系中，P点在第二象限，OP与轴的正半轴的夹角为30°，OP=2.求P点的坐标.（8分）4、.过直线l外的点A、B作l的垂线，垂足分别为M、N，已知AM+BN=12,MN=5.若一只蚂蚁从A点出发，爬到直线l上的某点迅速向终点B爬行.求蚂蚁爬行的最短距离 .（8分）5、.如图，已知正方形ABCD的边长为1，以AE为折痕使点D落在AC上F处，求DE的长.（10分）6、.在等边ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想PQC的形状，并论证你的猜想(10分).7如图，ABC中，C90º，AD是角平分线，CD1.5，BD2.5求AC的长（10分）（第7题）8今有一个水面边长为10尺的正方形水池，在正中央有一