材料力学I实用教案

1、16-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法(ji f). . 静定(jn dn)(jn dn)与超静定(jn dn)(jn dn)的概念静定(jn dn)图a中的内力FN1 ,FN2 能用二个独立的平衡方程求解静定问题. .第1页/共66页第一页，共67页。2(b)一次超静定(jn dn)为减小杆1 ,21 ,2中的内力或节点A A的位移, ,增加了杆3.3.图b b中内力FN1 ,FN2 ,FN3FN1 ,FN2 ,FN3不能用二个独立的平衡(pnghng)(pnghng)方程求解超静定问题. .未知数个数(3)(3)与独立的平衡(pnghng)(pnghng)方程个数(2)(2)之差(

2、1) (1) 超静定次数(1).(1).第2页/共66页第二页，共67页。3FAFBl(a)FAxABq q(b)l/2l/2FAxABFBFACFC静定(jn dn)梁一次超静定(jn dn)梁第3页/共66页第三页，共67页。4. . 解超静定问题的一般(ybn)(ybn)步骤基本(jbn)(jbn)静定系(primary (primary statically determinate statically determinate system)system)1.1.解除多余约束杆3123第4页/共66页第四页，共67页。52.在基本静定系上加上原荷载(hzi)及多余反力并使多余约束处满足

3、位移( (变形(bin xng)(bin xng)相容方程相当(xingdng)(xingdng)系统 (equivalent system)(equivalent system)A12BCA3ADA AA AFN3A FFN3第5页/共66页第五页，共67页。63. 3. 对相当(xingdng)(xingdng)系统求解A12BCA3ADA AFN3A FFN3l1（1 1）平衡(pnghng)(pnghng)方程cos2N3N1FFF（2 2）相容(xin rn)(xin rn)方程1coslAAA FN1FN2第6页/共66页第六页，共67页。7（3 3）物理(wl)(wl)方程111

4、N11AElFlAElFA3313Ncos （4 4）求解(qi ji)(qi ji)cos2cos311332111NAEAEAFEFcos231133333NAEAEAFEFA12BCA3ADA AFN3A FFN3l1FN1FN2超静定结构的内力一般(ybn)(ybn)与刚度有关. .第7页/共66页第七页，共67页。8基本静定系ABl补充(bchng)(bchng)方程：048384534 EIlFEIqlC可求出多余(duy)(duy)反力FCFCFC相容方程:Cq+CFc=0 相当系统ABl/2ql超静定梁yxl/2l/2CABq第8页/共66页第八页，共67页。9. 注意事项 (

5、1) 超静定次数=多余约束数=多余反力数=位移相容(xin rn)方程数=补充方程数,故任何超静定问题都是可以求解的. (2) 求出多余反力后,超静定结构的内力(nil)和位移等均可用相当系统进行计算. (3) (3) 无论怎样选择多余约束, ,只要相当系统的受力情况(qngkung)(qngkung)和约束条件与原超静定系统相同, ,则所得最终结果是一样的. .第9页/共66页第九页，共67页。10 (4) 多余约束的选择虽然(surn)是任意的,但应以计算方便为原则.图示连续梁,若取B处支座(zh zu)为多余约束则求解比较复杂.xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq第10页/

6、共66页第十页，共67页。116-2 拉压超静定问题拉压超静定问题. . 拉压超静定(jn dn)(jn dn)基本问题【例1】求图a示等直杆AB的约束反力和C截面的位移(wiy).杆的刚度为EA.【解】取固定(gdng)端B为多余约束,R为多余反力.相当系统如图b,相容方程:B0AFalBC(a)AFalBCR B=0(b)第11页/共66页第十一页，共67页。12（1）平衡方程）平衡方程 FAF R =0（2）相容）相容(xin rn)方程方程B BF+ BR0（3）物理方程）物理方程EAFaBF EARlBR （4）求解(qi ji)lFaR lalFFA)( EAlaalFEAaFAC

7、)( 由相当(xingdng)系统图b:AFalBCR B=0(b)FAAlB BRRAFalB BFC第12页/共66页第十二页，共67页。13拉压超静定问题的相当系统应满足(mnz)变形相容方程:DlDlAC+DlBC0.变形和位移在数值上密切相关,可用已知的位移条件B0代替相容方程.3.小变形情况下,利用叠加法求位移时,均是利用构件原始尺寸进行计算,所以 BRRl/EA,而不用 BRR(l+ BF)/EA ,A为在F力作用下变形后横截面的面积.第13页/共66页第十三页，共67页。qlAB(1)平衡平衡(pnghng)方程方程0FqlFNANB(2)相容相容(xin rn)方程方程0l(

8、3)物理物理(wl)方程方程lNEAdxxFl0)(2qlFNA(4)求解求解2qlFNB【例例2】图示杆两端固定图示杆两端固定,受均布载荷受均布载荷q作用作用,求约束求约束反力反力.qABFNAFNBlqxFxFNAN)(qdxFN(x)FN(x)+dFN(x)qdxxFdN)(第14页/共66页第十四页，共67页。15【例3】试求各杆的内力(nil).已知梁AB为刚性,各杆的刚度均为EA.aaaACDB132EFFa【解】二次超静定问题FN245oFFAyFAxFN1FN3aaaACBDCF3基本静定系基本静定系AB取杆1和杆2为多余(duy)约束,FN1和FN2为多余(duy)反力.第1

9、5页/共66页第十五页，共67页。16（1）平衡）平衡(pnghng)方程方程032222N3N1NaFaFFaaFmAFN245oFFAyFAxFN1FN3aaaACBD对相当对相当(xingdng)系统系统第16页/共66页第十六页，共67页。17（2）相容）相容(xin rn)方程方程123122llll D l2FC l1EFCA l1 l3 l2BD3CD45oC D 12第17页/共66页第十七页，共67页。18（3）物理）物理(wl)方程方程EAaFlEAaFlEAaFl23N32N21N1D l2FC l1EFCA l1 l3 l2BD3CD45oC D 12第18页/共66页

10、第十八页，共67页。19)(12. 121012124)(56. 02101262)(28. 02101233N2N3N1NN3拉拉拉拉拉拉FFFFFFFFFFF （4）求解(qi ji)第19页/共66页第十九页，共67页。20II. 装配应力(yngl)和温度应力(yngl)(1) 装配(zhungpi)应力超静定杆系(结构(jigu)由于存在多余约束,故如果各杆件在制造时长度不匹配,则组装后各杆中将产生附加内力装配内力,以及相应的装配应力.第20页/共66页第二十页，共67页。21（1 1）对( (装配) )平衡节点(ji din)A(ji din)A列平衡方程0cos21N3NFFFN

11、1FN2FN3l3AA （2 2）相容(xin rn)(xin rn)方程eAAl3cos1lAA（3 3）物理(wl)(wl)方程333N33111N11AElFlAElFl第21页/共66页第二十一页，共67页。22（4 4）求解(qi ji)(qi ji) 21113333Ncos2AElAEleF ( (拉力）各杆的装配应力(yngl)(yngl)只需将装配内力( (轴力) )除以杆的横截面面积即得. .计算超静定杆系( (结构) )中装配内力的关键是建立正确(zhngqu)(zhngqu)的相容方程. . 压力压力 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFF

12、F第22页/共66页第二十二页，共67页。BAC12aaA1B1C13lC1C第23页/共66页第二十三页，共67页。（2）相容(xin rn)方程ell31（1）平衡(pnghng)方程EAlFl113333AElFl（3）物理(wl)方程N2N1N322FFFaaFN1FN2FN3EAllAEAeEAEFFF22223333213（4）求解 l1l eBAC12A1C1B13 l3第24页/共66页第二十四页，共67页。25(2) 温度(wnd)应力超静定杆系由于存在多余约束, ,杆件因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力. .计算温度应力的关键在于建立正确的相容方程和物理方

13、程. . 铁路上无缝(w fn)(w fn)线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩, ,其横截面上会产生相当可观的温度应力. .第25页/共66页第二十五页，共67页。AABl0 lB lFFRBAB lT第26页/共66页第二十六页，共67页。0FTlllEAlFlRBFlTllTTEAFlRBTEAFlRBTAABlB lFFRBAB lT第27页/共66页第二十七页，共67页。LLLLFTFT2211AELFLNF1111LTLT11AELFLNF2222LTLT22021NNFFAEAETAEAEFFNN112212221121)(12FN1FN2第28页/共66页第二十八页，共67

14、页。29【例6】两端固定的圆截面等直杆AB,在截面C处受扭转力偶矩Me作用(zuyng),如图a所示.已知杆的扭转刚度为GIp.试求杆两端的约束反力偶矩及C截面的扭转角.6-3 扭转扭转(nizhun)超静超静定问题定问题第29页/共66页第二十九页，共67页。30【解】1. 平衡(pnghng)方程0eBAMMMMAMB2. 相容(xin rn)方程0CBACAB第30页/共66页第三十页，共67页。313. 物理(wl)方程PAACGIaMPBCBGIbM4. 求解(qi ji)lbMMAelaMMBeMAMB第31页/共66页第三十一页，共67页。(2)相容相容(xin rn)方程方程0

15、1212IGLTP1111(1)平衡平衡(pnghng)方程方程021MTTe21Me【例【例7】抗扭刚度为】抗扭刚度为G1IP1的实心圆轴的实心圆轴1,套在抗扭刚度为套在抗扭刚度为G2IP2的空心圆轴的空心圆轴2内内.设二者无相对滑动设二者无相对滑动,求施加求施加(shji)Me时时,横截面上的切应力和切应变横截面上的切应力和切应变.T2T1(3)物理方程物理方程IGLTP2222第32页/共66页第三十二页，共67页。,0,12211111RIGIGMGPPe,212211222RRIGIGMGPPe(4)求解求解(qi ji),0,122111111RIGIGMGITPPeP,21221

16、12222RRIGIGMGITPPeP【思考】切应力和切应变【思考】切应力和切应变(yngbin)沿半径连续吗沿半径连续吗?第33页/共66页第三十三页，共67页。346-4 简单简单(jindn)超静定梁超静定梁.超静定(jn dn)梁的解法相当(xingdng)系统相容方程: wB=0选悬臂梁为基本静定系一次超静定梁B第34页/共66页第三十四页，共67页。35相当系统相容方程: wB=0用叠加法求解相当(xingdng)系统EIqlwBq84EIlFwBBF33第35页/共66页第三十五页，共67页。36由相容(xin rn)(xin rn)方程wB=wBq+wBF=0wB=wBq+wB

17、F=0得03834EIlFEIqlBqlFB83由静力平衡(pnghng)(pnghng)方程得 281,85qlMqlFAA相当系统相容方程: wB=0EIqlwBq84EIlFwBBF33第36页/共66页第三十六页，共67页。37该梁的剪力图(lt)(lt)和弯矩图可由相当系统求得. .【思考】该梁可否取简支梁为基本静定(jn dn)(jn dn)系求解? ?如何求? ?第37页/共66页第三十七页，共67页。38【例8】求杆AD的轴力FN.梁AC和杆AD弹性模量(tn xn m lin)为E;杆AD横截面积为A,梁AC惯性矩为I .a2a2qqABClD【解】选梁AC为基本(jbn)静

18、定系,杆AD为多余约束lDFNlAa2a2qqABCFNwA相容(xin rn)方程:wA=l相当系统1.对杆ADEAlFlN第38页/共66页第三十八页，共67页。39aABwAFN1FNa2aABCFNwAFN2aFNBa2aABCFNwAFNEIaFEIaaFB323)2)(2NN)(33N1EIaFwAFN)(3N21EIaFwwwAFNAFNAFN)(323N2EIaFawBAFN2.对梁AC(1) 仅施加(shji)FN第39页/共66页第三十九页，共67页。40a2a2qqABCwAq)(1274EIqawAqEIaFEIqawwwAqAFNA3N4127EIaFEIqaEAlF

19、3N4N1273.由wA=l得) (12734NAalIAqaF(2)仅施加(shji)q(3)同时(tngsh)施加FN和qa2a2qqABCFNwA第40页/共66页第四十页，共67页。41 试求图a a所示等截面连续梁的约束反力FA , FB , FC,FA , FB , FC,并绘出该梁的剪力图和弯矩图. .已知梁的弯曲(wnq)(wnq)刚度EI=5EI=5106 Nm2.106 Nm2.例题例题(lt) 6-8第41页/共66页第四十一页，共67页。421. 该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ,仅有两个平衡(pnghng)方程.故为一次超静定问题.例题例题(lt) 6-8解：

20、第42页/共66页第四十二页，共67页。43 2. 若取中间支座B处阻止(zzh)其左、右两侧截面相对转动的约束为“多余”约束,则B截面上的一对弯矩MB为“多余”未知力,相当系统如图b.例题例题(lt) 6-8第43页/共66页第四十三页，共67页。44BB 相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对(xingdu)转角等于零,即例题例题(lt) 6-83. 查关于梁位移(wiy)公式的附录可得 EIMEIBB3m424m4N/m102033 EIMEIBB3m5m56m2m5m2m3N10303 第44页/共66页第四十四页，共67页。45 4. 将qB qB代入位移(wiy)相容条件补充方程,

21、从而解得 这里的负号表示MB的实际(shj)转向与图b中所设相反,即为MB负弯矩.mkN80.31 BM例题例题(lt) 6-8第45页/共66页第四十五页，共67页。465. 利用利用(lyng)图图b可得约束力分别为可得约束力分别为 kN64.11kN66kN05.32CBAFFF例题例题(lt) 6-8第46页/共66页第四十六页，共67页。47绘出剪力图(lt)和弯矩图分别如图c,d所示.(c)(d)FS例题例题(lt) 6-8第47页/共66页第四十七页，共67页。48 超静定梁多余(duy)约束的选择可有多种情况,例如,若以支座B为多余(duy)约束,FB为多余(duy)未知力,位

22、移条件为wB=0,相当系统如图(e)所示.有如以支座C为多余(duy)约束,FC为多余(duy)未知,位移条件为wC=0,相当系统如图(f)所示. 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的.(f)FC(e)FB例题例题(lt) 6-8第48页/共66页第四十八页，共67页。49* *II. II. 支座沉陷和温度(wnd)(wnd)变化对超静定梁的影响 超静定梁由于有“多余”约束存在(cnzi),(cnzi),因而支座的不均匀沉陷和梁的上, ,下表面温度的差异会对梁的约束力和内力产生明显影响, ,在工程实践中这是一个重要问题. .第49页/共66页第四十九页，共67页。50(1) 支座(zh z

23、u)不均匀沉陷的影响 图a a所示一次超静定梁, ,在荷载作用下三个支座若发生沉陷A A 、B B 、C,C,而沉陷后的支点A1 A1 、B1 B1 、C1C1不在同一直线上时( (即沉陷不均匀(jnyn)(jnyn)时),),支座约束力和梁的内力将不同于支座均匀(jnyn)(jnyn)沉陷时的值. .而支座均匀(jnyn)(jnyn)沉陷时梁的约束力和内力, ,由于支座沉陷量与梁的跨度相比是微小的, ,故可认为与支座无沉陷时相同. .第50页/共66页第五十页，共67页。51210CABBBBw 现按如图a a中所示各支点沉陷B B C C A A的情况进行分析. .此时(c sh),(c

24、sh),支座B B相对于支座A A 、C C 沉陷后的点A1 A1 、C1 C1 的连线有位移第51页/共66页第五十一页，共67页。52于是,如以支座B1作为“多余”约束,以约束力FB为“多余”未知力,则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图b)在荷载 q 和“多余”未知力FB共同作用下应满足(mnz)的位移相容条件就是210CABBBBw 第52页/共66页第五十二页，共67页。53于是得补充(bchng)(bchng)方程由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIq

25、lF其中的wBwB按叠加原理(yunl)(yunl)有( (参见图c c、d):d):第53页/共66页第五十三页，共67页。54再由静力平衡(pnghng)(pnghng)方程可得 23833CABCAlEIqlFF第54页/共66页第五十四页，共67页。55(2) 梁的上,下表面温度差异(chy)的影响 图a a所示两端固定(gdng)(gdng)的梁ABAB在温度为 t0 t0 时安装就位, ,其后, ,由于梁的顶面温度升高至 t1, t1,底面温度升高至 t2, t2,且 t2t1, t2t1,从而产生约束力如图中所示. . 由于未知的约束力有6 6个, ,而独立(dl)(dl)的平衡

26、方程只有3 3个, ,故为三次超静定问题. .l第55页/共66页第五十五页，共67页。56 现将右边的固定端B B处的3 3个约束(yush)(yush)作为“多余”约束(yush),(yush),则解除“多余”约束(yush)(yush)后的基本静定系为左端固定的悬臂梁. .它在上, ,下表面有温差(wnch)(wnch)的情况下, ,右端产生转角qBtqBt和挠度wBt(wBt(见图c)c)以及轴向位移Bt.Bt.第56页/共66页第五十六页，共67页。57 如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响,则由上,下表面温差和“多余”未知力共同(gngtng)引起的位移符合下列相容条件时

27、,图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 第57页/共66页第五十七页，共67页。58式中一些符号(fho)(fho)的意义见图c c、d d、e.e.0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 第58页/共66页第五十八页，共67页。59 现在先来求qBtqBt和wBtwBt与梁的上, ,下表面(biomin)(biomin)温差(t2- t1)(t2- t1)之间的物理关系. . 从上面所示的图a a中取出的微段dx, dx, 当其下表面和上表面的温度由t0t0分别升高至t2t2和t1t1时, ,右侧(yu c)(yu c)截面相对于左侧截面的转角dq dq 由图b b可知为 xhtthmmnnhnnldd120 上式中的负号用以表示(biosh)(biosh)图a a所示坐标系中该转角 dq dq 为负. .第59页/共66页第五十九页，共67页。60将此式积分(jfn),(jfn),并利用边界条件0| 0|dd|000 xxxwxw， 得 212122 xhttwxhttll ，根据上式可知, ,该悬臂梁因温度影响