电路_李裕能_第10章拉普拉斯变换及网络函数

1、第10章拉普拉斯变换及网络函数本章的主要内容有：拉普拉斯变换的基本概念，拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系；拉普拉斯变换的基本性质；拉普拉斯反变换；电路定律的运算形式，运算电路，应用拉普拉斯变换分析线性电路中的过渡过程；网络函数的定义及其性质，复频率平面及网络函数的零点与极点；极点、零点与冲激响应，极点、零点与频率响应;拉普拉斯变换与正弦稳态相量法之间的对应关系。10.1拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系概述求解动态电路的两种方法比较经典法  在第九章，主要介绍了用时域分析法分析一阶电路和二阶电路的动态过程，其要点是运用数学方法，列写换路后电路的微分方程、解微分方程、由电路的初始条

2、件确定积分常数。这种方法也称为经典法。时域分析法有其优点：数学推导严密，物理概念清晰。但是运用时域分析法分析高阶电路时就比较麻烦：首先，将描述储能元件电压、电流关系的一阶微分方程组化为单一变量的高阶微分方程的运算复杂；其次，求解高阶微分方程的特征方程的特征根运算量大；最后，确定电路的初始条件、定积分常数相当麻烦。另外，当电路中有冲激电源或者冲激响应时，时域分析法在确定初始条件时也比较困难。复频域分析法  复频域分析法的要点是将时域电路转换成运算模型，正如在正弦稳态相量法分析稳态电路时将时域电路转化成相量模型，将描述动态电路的微分方程，变换成为相应的代数方程，将求解微分方程的

3、全解转化成求解代数方程，由代数方程的解对应找出原微分方程的解。这种方法的优点在于将描述动态过程时域电路转换成为复频域形式的运算电路，由运算电路形成代数方程，它既不需要列写电路的微分方程；也不需要由电路的初始条件确定积分常数。这种方法也称为积分变换法。10.1.1拉普拉斯变换、由傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换与拉普拉斯变换都是积分变换，时域函数f ( t ) 的傅里叶变换为要使上式的积分收敛，函数f ( t )在无限区间内必须满足绝对可积，即d t 存在，其傅里叶变换才能确定，显然这是傅里叶变换的局限性

4、。电路中某些常见的函数不能直接应用傅里叶变换，因为在通常情况下，如果当t 趋向于无限大时，函数f ( t ) 的幅度不衰减，则上述积分不收敛，所以它就不存在傅里叶变换。为了克服这一困难，可以将时域函数f ( t )乘以一个衰减系数，其中为正实数，当t趋向于正无限大时，f ( t )趋近于零，从而使积分收敛。f ( t )的傅里叶变换为相应的傅里叶反变换为令，则上式称为双边拉普拉斯正变换。在电路理论中，通常把换路瞬间定为t = 0，着重研

5、究t0时电路中的响应。如果用函数f ( t )表示换路之后电路中的激励或响应，我们对时间段- 0 - 之间f ( t)是什么内容并不关心，也就是说，当t0时f ( t)不进行计算，将f ( t)定义在t0区间。这样，可以应用数学上的单边拉普拉斯变换分析动态电路。、拉普拉斯变换本书只讨论单边拉普拉斯正变换，故将它简称为拉普拉斯变换或称拉氏变换。即是一个复数，称之为复频率。f ( t)是以时间t为自变量的实函数，称之为原函数F( s )&#

6、160;是以复数s为自变量的复函数，称之为f ( t)的象函数L  f ( t)表示求f ( t)的象函数，即对f ( t)进行拉普拉斯正变换。、拉普拉斯反变换 由于，故d= d s / j。当= -时，s =- j；当= 时，s =+ j。将这些关系代入上式称为拉普拉斯反变换。原函数与象函数之间存在一一对应的关系，这种对应在数学中已经证明都是唯一的。例10-1  求单位阶跃函

7、数 f ( t)=(t)的象函数。例10-2求单位冲激函数的象函数。例10-3求指数函数的象函数。、一些较常见函数的拉普拉斯变换对单边拉普拉斯变换在t 0区域内有定义，故本表中的原函数f ( t )均应理解为f ( t )(t)。10.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换具有很多重要性质，本节只介绍一些常用的性质，利用这些性质可以帮助求得一些复杂的原函数的象函数或者使原函数的微分方程变换为象函数的代数方程。运用积分变换法分析线性电路的动态过程，其要点是将描述动态电路的原函数的微分方程变换成为相

8、应的象函数的代数方程，然后求解代数方程，得到响应的象函数。最后由响应的象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的原函数。因此，在运用积分变换法分析线性电路的过渡过程中，拉普拉斯反变换显得尤为重要。拉普拉斯反变换的方法有：、由定义式计算 在本章第一节里，已经讨论过拉普拉斯反变换的定义式根据定义式，可以将象函数F（s）变换成为原函数f ( t )。但是上述积分是复变函数的积分，不便于直接求解，因而一般不采用定义式来求原函数。、直接查表 在本章第一节里，已经将一些较常用的函数的拉普拉斯变换式列入表9 - 1之中，可供随时查阅。更为复杂的函数变换式还可在数学

9、手册中查阅。、部分分式法 直接查表来确定某些象函数的原函数，当然十分方便、快捷。然而它只能查出一些简单的象函数的原函数，如果象函数的表示式比较复杂，则难于直接查出它的原函数。部分分式法的作用，就是将比较复杂的象函数分解成为较为简单的部分分式，然后再查表求出原函数。 设象函数为上式中F1( s )、F2( s )都是复变量s 的多项式，m、n 是正整数。 （1）当mn，且F2( s ) = 0 只含有单根 当mn时，F（s）为真分式。如果F2( s ) =&

10、#160;0 的单根分别为p1、p2、pn，它们可以是实数，也可以是复数。则F（s）可以展开为下列形式其中k1、k2、kn 是待定系数。为了求出ki，用（s  pi ） 乘以上式的两边，得到令s = pi，即可得出待定系数从而得出例 10-8求象函数F ( s ) =的原函数 f ( t )。解  F1 ( s ) = 5s + 12，&

11、#160;F2 ( s ) = s (s2 +5s + 6 )，F2 ( s ) = 0 的根为：p1 = 0、p2 = - 2、p3 = - 3。于是将 象函数F ( s )分解为部分分式求出原函数此外，在式(10-6)中，也正因为它的分子分母都等于零，还可以用罗比塔法则来计算待定系数。将分子分母分别对s取导数，然后

12、再用s = p1 代入。即同理可以求得待定系数k2、k3、kn。其中这种求待定系数的方法称为分解定理。由分解定理求得系数k1、k2、k3、kn之后，再求出原函数 f ( t )。例 10-9用分解定理求象函数F ( s ) =的原函数 f ( t )。 求出原函数例10-10求象函数F ( s ) =的原函数 f ( t )。 解 

13、60;F1 ( s ) = s ， F2 ( s ) = s2 + 2s + 5，F2 ( s ) = 0 的根为：p1 = - 1 + j 2 =+ j、p2 = - 1 - j 2 =- j。于是将 象函数

14、F ( s )分解为部分分式 由以上计算可以看出，F2 ( s ) = 0 的根p1、p2是共轭复数；待定系数k1、k2也是共轭复数。原函数由此可见，凡是求出F2 ( s ) = 0 的根是复数，就必然会有成对的共轭复根。 故若有共轭复根，则只要计算出待定系数k1，就可以根据上式求出它的原函数。中间繁琐的数学推导过程可以省去。 或直接用配方的方法，中有（2）当m<n，但有重根如果F2( s ) = 0

15、 有重根，部分分式的展开式将有所不同，下面通过一个例题来说明其处理方法。 例 10-11求象函数F ( s ) =的原函数 f ( t )。系数k1、k2 仍然按照前面的计算方法求得k3 不能用上述方法求。将的两边各乘以(s + 1 )2 得出上式两边对s 求导令s = -1于是可以求出原函数例 10-12求象函数F ( s ) =的原函数 f&#

16、160;( t )。 于是可以求出原函数故若分母具有重根，则展开式为（3）当m>n当mn时，象函数 F(s)=为假分式。首先可以用代数中讲述的除法，将F1( s )除以F2( s )，将假分式化为真分式，然后再将真分式分解成部分分式，最终求出原函数。例 9-13  求象函数F ( s )=的原函数 f ( t )。解  由于象函数F ( s )的分子F1( s&

17、#160;)幂的次数高于分母F2( s )幂的次数，先将F1( s )除以F2( s )得          F ( s ) =s+1 将余式G ( s ) =展开为部分分式其待定系数为于是可以求出原函数10.4拉普拉斯变换在线性电路分析计算中的应用10.4.1电路元件特性方程的复频域形式、电阻元件电阻元件上电流和电压的时域关系为u (&

18、#160;t ) = R i ( t )   两边取拉普拉斯变换电阻元件上电流和电压的复频域关欧姆定律的象函数形式。电阻元件的复频域等效电路如图所示，又称为电阻的运算电路。、电感元件电感阻元件上电流和电压的时域关系为u ( t ) = L两边取拉普拉斯变换U(s ) = s L I ( s ) - L( 0 - ) 电

19、感元件上电流和电压的复频域关系 s L称为电感元件的复频域感抗(也称为电感的运算阻抗)( 0 - ) 表示电感元件在换路前瞬间的电流值L ( 0 - ) 附加电压源，反映了电感初始电流对电路的影响串联复频域等效电路如图1 / s L称为电感元件的复频域感纳(也称为电感的运算导纳)( 0 - ) / s 附加电流源，反映了电感初始电流对电路的影响画出并联复频域等效电路如图所示。、电容元件  

20、;     电容元件上电流和电压的时域关系为( t ) = C两边取拉普拉斯变换  I(s ) = s C U ( s ) - C u ( 0 - )电容元件上电流和电压的复频域关系s C称为电容元件的复频域容纳(也称为电容的运算导纳)u ( 0 - ) 表示电容元件在换路前瞬间

21、的电压值C u ( 0 - ) 附加电流源反映了电容初始电压对电路的影响 画出并联复频域等效电路如图所示1 / sc称为电容元件的复频域容抗(也称为电容的运算阻抗)u ( 0 - ) / s 附加电压源反映了电容初始电压对电路的影响画出串联复频域等效电路如图所示。小结：将电路中的负载电阻R、电感L、电容C都用相应的复频域等效电路表示；电路中的电源电压源、电流源取拉普拉斯变换后的象函数；各待求量电压、电流用象函数表示，就构成了原电路的复频域等效电路

22、(即运算电路)。例 10-14  试画出图所示电路的等效运算电路。 补充  图(a)、(b)、(c)所示电路原已达稳态， 时把开关S合上，分别画出运算电路。解 (a)电路如图运算电路如图所示 (b)电路如图所示运算电路如图所示(c)电路如图所示运算电路如图所示注意  设有耦合处原边电压，副边电压为，则(取同名端” ”为 极性端)(取同名端” ”为 极性端)则相应的象函数表示为10.4.2 电路定律的复频域形式、基尔霍夫电流定律的复频域形式在电路中，任一节点任何时刻电

23、流的代数和恒等于零，用时域形式表示为       = 0     两边取拉普拉斯变  = 0                             

24、                在电路中，任一节点任何时刻电流象函数的代数和恒等于零。这就是基尔霍夫电流定律的复频域形式。、 基尔霍夫电压定律的复频域形式在电路中，任一回路任何时刻电压的代数和恒等于零，用时域形式表示为      = 0    两边取拉普拉斯变换   = 0 &#

25、160;                                          在电路中，任一回路任何时刻电压象函数的代数和恒等于零。这就是基尔霍夫电压定律的复频域形式。由基尔霍

26、夫定律推导出的电路计算方法(节点法、回路法等)和电路定理(叠加定理、戴维南定理等)都适用于复频域分析法的计算。10.4.3用拉普拉斯变换分析线性电路的过渡过程利用拉普拉斯变换分析线性电路的过渡过程的方法，称为复频域分析法，习惯上称为运算法。其主要步骤如下：（1）根据换路前瞬间t = 0- 电路的工作状态，计算出电感电流i L( 0- ) 和电容电压uc( 0- ) 的值，以便确定电感元件的附加电源L i L( 0- ) 和电容元件的附加电源uc(

27、 0- ) / s；（2）按照换路后的接线方式画出运算电路，正确标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示，各待求量用象函数表示；（3）选择适当的方法(支路法、节点法、回路法等)列写运算电路的方程；（4）求解上述方程，计算出响应的象函数；（5）运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数。例 10-15图10-13(a)所示电路中，知R1 = R2 = 1 ，C = 1 F，L = 1 H，E = 10 V。求

28、开关S 闭合之后流过开关的电流S ( t )。图10-13  例 10-15 电路解（1）计算电感电流L( 0- ) 和电容电压uc( 0- ) 的值电感元件的附加电源               L L( 0- ) = 1×5 =

29、0;5  ( V )  电容元件的附加电源（2）按照换路后的接线方式画出运算电路，标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示，待求量用象函数表示，如图10-13(b)所示；（3）选择回路电流法求解运算电路。如图所示，标出两个回路电流I1( s )、I2( s )的绕行方向；回路1、2的电压方程为（4）求解上述方程，计算出响应的象函数解上述方程得（5）运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数即例 9-16图10-14 (a)所示电路中，已知R1 = R2 =

30、 200 ，R3 = 400，U1 = 50 V，U2 = 40 V，L = 2 H。求开关S 闭合之后电压。图 9-14 例9-16 电路解电感电流的值电感元件的附加电源按照换路后的接线方式画出运算电路，标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示，待求量用象函数表示，如图10-14(b)所示。选择节点电压法求解运算电路。如图所示，选择b为参考点，其节点电压方程为代入元件参数，求解上述方程，计算出响应的象函数解得运用拉普拉

31、斯反变换，求出响应的原函数例 10-17图9-15(a)所示电路中，已知U = 6V，R = 2.5，L = 6.5 m H，C = 0.3F，电感线圈原边与副边的变比为1:70，电路原已处于稳定状态。求开关S 断开后a、b处的最高电压。 图10-15 例 10-17电路图解电感电流L( 0- ) 的值          

32、60;    L( 0- ) = U / R = 6 / 2.5 = 2.4 A电感元件的附加电源               L  L( 0- ) = 6.5×10 - 3×2.

33、4 = 15.6 ×10 - 3 V    按照换路后的接线方式画出运算电路如图所示。回路电流法列回路电压方程为代入元件参数，求解上述方程，计算出I ( s ) 的象函数( t ) 的原函数电感电压当= 0 时，电感电压有极大值。由此计算出极大值出现的时间          t =

34、0;6.94×10 - 5 s电感电压的极大值为a、b处的最高电压小结：、运算法与相量法用运算法求解动态电路的过渡过程与用相量法求解正弦稳态电路有相似的思想。比较如下：相量法 运算法用相量法求解正弦稳态电路时，将时域正弦量转换成相量，或将响应相量转换成时域正弦量都较简单，而且相量的值有明确的意义：有效值和初相位。所以计算出响应的相量后，一般不必写出时域表达式，而用运算法求解动态电路的过渡过程时，必须要将响应象函数进行拉普拉斯变换反变换转换成时域表达式，拉普拉斯反变换是比较麻烦的。、拉普拉斯变换的线性电路过渡过程分析主要有三大步。第一步：由换路前的稳态(直

35、流、正弦交流等)电路求出、。若是直流稳态，电感相当于短路，电容相当于断路，若是正弦稳态，先用相量法求解后，表达成时域三角函数形式，再取时求出、。第二步：作出运算电路模型。注意要用换路后的结构，电源函数要进行拉普拉斯变换、元件用运算阻抗或运算导纳表示，储能元件的附加电源的值和方向不能忘，第三步：将求出的响应象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的时域表达式。典型例题例1如图(a)所示电路：求及。解作电路，如图(b)所示，得运算电路模型如图(c)由结点法注意及的作用，相当于开关动作。例2在图示电路中，电源电压V，求时，电流和。 解t<0以前，L、C上无储能，后的运算电路如图(b)所示由回路法此题

36、也可以用叠加先求出在通过时间延迟再得到在。10.5 网络函数的定义及其性质10.5.1 网络函数、网络函数的定义对于单输入电路，在零状态条件下，响应的象函数R(s)与激励的象函数E(s)之比称为网络函数，即、基本要点 (1)H(s)是在动态元件初始状态为零的前提下的一个概念；(2)H(s)是响应与激励的象函数之比，而不是时域函数之比；(3)对于同一电路，取不同的响应，其网络函数也不同，所以根据响应与激励是否是同一端口的象函数，响应和激励是电流象函数还是电压象函数，网络函数可分为驱动点函数和转移函数，驱动点函数又分为驱动点阻抗、驱动点导纳。转移函数又分为转移阻抗、转移导纳、转移电压比和转移电流比

37、。    例 10-18图10-16(a)所示电路中，已知E=6V，R1=6，R2 = 4，L=0.2 H，C=0.1 F。求响应为2的网络函数。图 10-16 例10-18 电路解绘出图10-16(a)所示电路的等效运算电路如图10-16(b)所示。应用网孔电流法，有解得由于响应和激励不是同一对端子上的函数，故称它为转移导纳。10.5.2 网络函数的性质网络函数具有以下性质：（1）网络函数H ( s )是一个实系数有理分式，它的分子和分母多项式

38、的根为实数或共轭复数。（2）网络函数的原函数就是电路的冲激响应。    现在来分析网络函数与冲激响应的关系。根据网络函数定义当电路的激励为：e ( t ) =( t ) ，其象函数 E(s ) = 1，故有R(s)= H(s)电路的冲激响应即是说，网络函数的原函数就是电路的冲激响应。（3）在一般情况下，网络函数分母多项式的根就就称之为相应电路复频特性的固有频率。    设电路中某一支路电压(电流)

39、的零输入响应象函数其中p1、p2、pn 是F2( s ) = 0的根。其响应为上式中的待定系数k1、k2、kn取决于电路的初始状态；而p1、p2、pn取决于电路中元件的联接方式和元件参数，它们直接影响着响应的变化规律，所以称它们为电路复频特性的固有频率(或自然频率)。电路中的不同响应均具有相同的固有频率。网络函数的极点就是对应网络响应的固有频率(决定其自由响应的形式)。从解微分方程的角度，任何一个电路的全响应包括自由响应与强迫响应。强迫响应形式决定于激励的形式，自由响应形式由微分方程特征方程的特征根，也即固有频率决定。若对微分方程两边进行拉普拉

40、斯变换，则可得H(s)=R(s)/E(s)。所以特征方程的特征根即为H(s)的极点。10.6复频率平面及网络函数的极点与零点10.6.1复频率平面网络函数H(s)的分子和分母都是s 的多项式，而s =+ j，称之为复频率。以s 的实部作为横轴、s的虚部 j作为纵轴构成的坐标平面叫做复频率平面(也称为s平面)。网络函数可以表示为其中，H0是一个实常数；z1、z2、zn 是N( s ) = 0的根；p1、p2、pn 是D( s ) = 0的根。10.

41、6.2 网络函数的极点与零点当s 分别等于z1、z2、zn 时，N( s ) = 0，网络函数H ( s )等于零，故称z1、z2、zn为网络函数的零点。当s 分别等于p1、p2、pn 时，D( s ) = 0，网络函数H ( s )变为无限大，故称p1、p2、pn 为网络函数的极点。在复频率平面上，用“”表示H ( s )的零点，用“×”表示H (

42、0;s )的极点，就构成了网络函数H ( s )的零、极点分布图。网络函数的零、极点分布与网络的时域响应和频率响应有密切关系，这些内容将在后面两节讨论。例 10-19求网络函数H ( s ) =的零、极点，并画出零、极点分布图。解  N ( s ) = s2 - s - 12 = ( s + 3 ) ( s -

43、0;4 )，N ( s ) = 0的根：s1 = - 3，s2 = 4。的根为、。所以网络函数H(s)有两个零点：；有三个极点：、。网络函数H(s)的确零点、极点分布图如图10-17所示。图10-17  例10-18图10.7 零点、极点与冲激响应网络函数H(s)的极点在复频率平面上分布的位置与电路的单位冲激响应有着密切的关系。极点在复频率平面上的位置不同，电路的单位冲激响应的波形就不同。当网络函数H(s)的分母具有单根时，其冲激响应为其中p1、p2、pn是D(s)

44、=0的根。现在依据根的不同情况进行分析：（1）网络函数H(s)的极点为负实数分母D(s)=0的根为负实数，其冲激响应是衰减的指数函数，且极点离坐标原点越远，响应衰减越快。这种电路是稳定的。（2）网络函数H(s)的极点为正实数分母D(s)=0的根为正实数，其冲激响应是随时间增长的指数函数，且极点离坐标原点越远，响应增长越快。这种电路是不稳定的。（3）网络函数H(s)的极点为共轭复数且实部为负数时，其冲激响应是衰减的正弦函数，且极点离虚轴越远，响应衰减越快。这种电路是稳定的。（4）网络函数H(s)的极点为共轭复数且实部为正数时，其冲激响应是增长的正弦函数，且极点离虚轴越远，响应增长越快。这种电路是不稳定的。（5）网络