直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)

1、直线的倾斜角与斜率（20131125）讲义类型一：倾斜角与斜率的关系1已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；【变式】直线的倾斜角的范围是( )A B C D类型二：斜率定义2已知ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率. 【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )ABCD类型三：斜率公式的应用3求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是124已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，

2、求实数a的值【变式1】已知，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【变式2】已知直线的斜率，是这条直线上的三个点，求和的值类型四：两直线平行与垂直5四边形的顶点为，试判断四边形的形状 【变式1】已知四边形的顶点为，求证：四边形为矩形【变式2】已知，三点，求点，使直线，且【变式3】若直线与直线互相垂直，则实数=_直线的倾斜角与斜率(20131125)作业姓名 成绩 题组一直线的倾斜角1.已知直线l过点(m,1)，(m1，tan1)，则 ()A一定是直线l的倾斜角 B一定不是直线l的倾斜角C不一定是直线l的倾斜角 D180°一定是直线l的倾斜角2如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜

3、角为，斜率为k，则 ()Aksin>0Bkcos>0 Cksin0Dkcos0题组二直线的斜率及应用3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1<k2<k3，则下列说法中一定正确的是()Ak1k21 Bk2k31 Ck1<0 Dk204已知a>0，若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a_.5已知两点A(1，5)，B(3，2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是_题组三两条直线的平行与垂直6已知两条直线l1：axbyc0，直线l2：mxnyp0，则anbm是直线l1l2的()A充分不必要

4、条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7已知直线a2xy20与直线bx(a21)y10互相垂直，则|ab|的最小值为 ()A5 B4 C2 D18已知直线axby20与曲线yx3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为()A.B C. D9设直线l1的方程为x2y20，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，则l2的方程是_题组四直线的倾斜角和斜率的综合问题10.若关于x的方程|x1|kx0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是_11已知点A(2,3)，B(5,2)，若直线l过点P(1,6)，且与线段AB相交，则该直线倾斜角的取值范围是_12已知点M(

5、2,2)，N(5，2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标(1)MOPOPN(O是坐标原点)(2)MPN是直角直线的倾斜角与斜率（20131125）讲义答案类型一：倾斜角与斜率的关系1已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：，总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.举一反三：【变式】（2010山东潍坊，模拟）直线的

6、倾斜角的范围是A BC D【答案】B解析：由直线，所以直线的斜率为设直线的倾斜角为，则又因为，即，所以类型二：斜率定义2已知ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知BAO=OAC=30°直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，kAB=tan150°= kAC=tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三

7、个条件直线向上方向轴正向小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.举一反三：【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )ABCD【答案】由题意，则本题选题意图：对倾斜角变化时，如何变化的定性分析理解.选B.类型三：斜率公式的应用3求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可.解析：且，经过两点的直线的斜率，即即当时，为锐角，当时，为钝角总结升华：本题求出，但的符号不能确定，我们通过确定的符号来确定的符号.当时，为锐角；当时，为钝角.举一反三：【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或经检验不适合，

8、舍去.故【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12【答案】，即当时，两点的直线的斜率是124已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值思路点拨：如果过点AB，BC的斜率相等，那么A，B，C三点共线.解析：A、B、C三点在一条直线上，kAB=kAC总结升华：斜率公式可以证明三点共线，前提是他们有一个公共点且斜率相等.举一反三：【变式1】已知，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【答案】经过，两点直线的斜率经过，两点的直线的斜率所以，三点在同一条直线上【变式2】已知直线的斜率，是这条直线上的三个点，求和的值【答案】由已知，得；因为，

9、三点都在斜率为2的直线上，所以，解得，类型四：两直线平行与垂直5四边形的顶点为，试判断四边形的形状 思路点拨：证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.解析：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，即四边形为平行四边形又，即四边形为矩形总结升华：证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.举一反三：【变式1】已知四边形的顶点为，求证：四边形为矩形【答案】由题意得边所在直线的斜率边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，则；所以四边形为平行四边形，又因为，即

10、平行四边形为矩形【变式2】已知，三点，求点，使直线，且【答案】设点的坐标为，由已知得直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率由，且得解得，所以，点的坐标是【变式3】（2011浙江12）若直线与直线互相垂直，则实数=_【答案】 因为直线与直线互相垂直，所以，所以直线的倾斜角与斜率(20131125)作业答案姓名 成绩 题组一直线的倾斜角1.已知直线l过点(m,1)，(m1，tan1)，则 ()A一定是直线l的倾斜角B一定不是直线l的倾斜角C不一定是直线l的倾斜角D180°一定是直线l的倾斜角解析：设为直线l的倾斜角，则tantan，k，kZ，当k0时，.答案：C2如图，直线l经过

11、二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k，则 ()Aksin>0 Bkcos>0Cksin0 Dkcos0解析：显然k<0，<<，cos<0，kcos>0.答案：B题组二直线的斜率及应用3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1<k2<k3，则下列说法中一定正确的是 ()Ak1k21 Bk2k31 Ck1<0 Dk20解析：结合图形知，k1<0.答案：C4(2008·浙江高考)已知a>0，若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a_.解析：A、B、C三点共线，k

12、ABkBC，即，又a>0，a1.答案：15已知两点A(1，5)，B(3，2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是_解析：设直线AB的倾斜角为2，则直线l的倾斜角为，由于0°2180°，0° 90°，由tan2，得tan，即直线l的斜率为.答案：题组三两条直线的平行与垂直6.(2009·陕西八校模拟)已知两条直线l1：axbyc0，直线l2：mxnyp0，则anbm是直线l1l2的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：l1l2anbm0，且anbm0/ l1l2，故anbm是直线l1

13、l2的必要不充分条件答案：B7(2009·福建质检)已知直线a2xy20与直线bx(a21)y10互相垂直，则|ab|的最小值为 ()A5 B4 C2 D1解析：由题意知，a2b(a21)0且a0，a2ba21，aba，|ab|a|a|2.(当且仅当a±1时取“”)答案：C8(2010·合肥模拟)已知直线axby20与曲线yx3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为()A.B C. D解析：曲线yx3在点P(1,1)处的切线斜率为3，所以.答案：D9(2009·泰兴模拟)设直线l1的方程为x2y20，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直

14、线l2，则l2的方程是_解析：l1l2，k1，k22，又点(0,1)在直线l1上，故点(1,0)在直线l2上，直线l2的方程为y2(x1)，即2xy20.答案：2xy20题组四直线的倾斜角和斜率的综合问题10.若关于x的方程|x1|kx0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是_解析：数形结合在同一坐标系内画出函数ykx，y|x1|的图象如图所示，显然k1或k0时满足题意. 答案：k1或k011(2009·青岛模拟)已知点A(2,3)，B(5,2)，若直线l过点P(1,6)，且与线段AB相交，则该直线倾斜角的取值范围是_解析：如图所示，kPA1，直线PA的倾斜角为，kPB1，直线PB的倾斜角为，从而直线l的倾斜角的范