凸函数的性质与应用

1、湖南理工学院 本科毕业论文摘 要本文首先给出了凸函数的几种定义,然后给出了凸函数的几个重要性质,最后举例说明了凸函数在微积分和不等式证明中的应用.关键词: 凸函数的积分性质;凸函数的不等式AbstractIn this paper,firstly we list several kinds of definition for convex functions, then we give several important properties about convex functions, finally we discuss the applications of convex functi

2、on in differential calculus and the proof of inequality.Keywords: integral properties of convex functions ; inequality of convex functions II 湖南理工学院 本科毕业论文目 录摘要Abstract0 引言. 11 凸函数的概念. 12 凸函数的判定. 23 凸函数的性质. 44 凸函数的应用. 104.1 凸函数在数学分析中的应用. 104.2 利用凸函数的性质证明不等式. 135 小结. 15参考文献. 1610 引言凸函数是一类非常重要的函数,其概念最

3、早出现在Jensen 1905编写的文献中.自20世纪初建立凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在数学等其他领域获得广泛应用.诸如模具设计、运筹与控制理论等方面具有重要的理论和实践意义.同时它在基础数学和应用数学的众多领域中被广泛应用,现已成为数学规划、对策论、数理经济等学科的理论基础和有力工具.文献,作者给出了凸函数的8种定义，其次,凸函数也是一种性质特殊的函数116,截止目前,对凸函数的研究已经从定义的研究9-12到凸性的研究16,再到凸性应用方面的研究.对函数凸凹性的研究,在数学中的多个分支都有用处,于是研究凸函数的一些性质就显得十分必要了. 1 凸函数的概念函数图象的特点是：曲线上任意

4、两点间的弧段总在这两点连线的线段下方. 一般地，设函数在区间上有定义,若曲线上任意两点间的弧段总位于两点连线段的下方,则称函数是凸函数.图行表示如下(见图1),即可知 xOAl2l3l1CBy 图1以上定义仅对凸函数作了直观描述,下面我们给出精确定义.定义1 设在区间上有定义,在区间上为凸函数当且仅当,有上式中“”改成“”则是严格凸函数的定义.定义2 设在区间上有定义, 在区间上为凸函数当且仅当有定义3 设在区间上有定义, 在区间上为凸函数当且仅当,有定义4 在区间I上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线下方,则凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则曲线是严格凸的.注1：定义2与定

5、义3等价.注2：若连续,则定义1,2,3都是等价的.2 凸函数的判定下面介绍凸函数的判定定理.定理1 函数是区间上的凸函数的充要条件为对于上的任意三点, , ,总有.定理2 设在区间上可导,则下述论断互相等价:1）是区间上的凸函数;2）是区间上的增函数;3）对区间上的任意两点,有.证明：在区间上任取两点,对充分小的正数,由于,所以由定理1得 ,因是区间上的可导函数,令可得,所以是区间上的增函数.在以,为端点的区间上,由Langrange中值定理和是区间上的增函数得,移项后得,且当时仍可得到相应的结论.任取区间上的任意两点,其中,由3）并利用与得分别用和乘以上述两式并相加,便得则是区间上的凸函数

6、.定理3 设是区间上的二阶可导函数,则在区间上是凸函数的充要条件为,.3 凸函数的性质下面我们将看到凸函数的一些性质性质1 若是区间上的凸函数,则a.若,则在上为凸函数；b.若,则称在上为凹函数.性质2 若,是区间上的凸函数,则在上为凸函数.证明：因,为上的凸函数,则在上任意两点,和正数,总有,.因此,为凸函数.推论1 若为凸函数,则为凸函数.性质3 若,为区间上的凸函数,则为凸函数.推论2 若是上的凸函数,则 ()为上的凸函数.性质4设,都为区间上非负单调递增(递减)的凸函数,则在区间上是凸函数.证明 因,都是上的非负单调递增(递减)的凸函数,则对上任意两点,有,又因为,是非负的凸函数,即对

7、上任意两点,和总有,.所以 即证.注：非负不能少.性质5 a.若是奇函数,且当时,是凸函数(凹函数),那么当时,是凹函数(凸函数).b.若是偶函数,且当时,是凸函数(凹函数),那么当时,是凸函数(凹函数).性质6 若是上的连续递增的凸函数,则是递增的凹函数.证明 因是上的凸函数,所以对上任意两点,和有.又在上连续单调递增,故反函数单调性不变,则有,所以是递增的凹函数. 性质7 若为区间上的凸函数,为单调增加的凸函数,则亦为凸函数.证明 因为凸函数,即对上任意两点,和总有.又为单调增加的凸函数,所以.即亦为凸函数.下面我们将看到有关凸函数的几个定理定理4设在区间上有定义,则下列四个条件等价（其中

8、各不等式要求对任意恒成立）：（i）在I上为凸函数；（ii）；(iii)；(iv) .推论3若在区间上为凸函数,则上任意三点,有.注：几何意义是分别连接曲线上的两点,的弦的斜率不超过与的弦的斜率,不超过与的弦的斜率.推论4 若在区间上的凸函数,则过的弦的斜率 是关于的增函数（若为严格凸的,则严格增）.推论5 若为区间上的凸函数,则上任意四点有推论6 若为区间上的凸函数,则对上的任一内点,单侧导数皆存在,皆为增函数,且 这里表示的全体内点组成之集合.（若为严格凸的,则与为严格递增的）.证明 因为是内点,故使得,从而（利用推论）,.再由推论所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且.

9、同理,在此式中,令时,可知存在,且.最后由推论5中的不等式重新取相应的极限,可知与皆为增函数.推论7 若在区间上为凸的,则在任一内点上连续.事实上推论6知与存在,所以在处左右都是连续的.定理5 设函数在区间上有定义,则为凸函数的充要条件为,使得,有.证明（必要性）因为凸函数,由上面的推论6知,存在且.由此任取一则时有因,所以对任一:恒有.(充分性)设是区间上的任意三点,由已知条件可知,由此令和,可以得到,由定理1可知为凸的.定理6 设在区间上有导数,则在上为凸函数的充要条件是递增.证明 （充分性）,不妨设及记,则或 （1）由于则（1）是等价于 （2）应用定理,使得,但,.故（2）式左端按已知条

10、件递增,得知,从而上式0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论6,在内为递增的,因存在,故亦在内为递增的,若有右端点,按照已知条件在点有左导数,易知同理,若有左端点,则即在上为递增的.定理7 （不等式）若为上的凸函数,则 , ,有.证明 应用数学归纳法.当时,由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何与都有现设及,.令则,由数学归纳法假设可推得即对任何正整数,上述不等式成立.推论8设在区间上是凸函数,则对于任意的和都有.4 凸函数的应用接下来将我们介绍凸函数在数学分析、不等式中的应用.4.1 凸函数在数学分析中的应用例1 设函数在区间上是凸函数,试证：在上的任一闭子区间上有界.证明 设为任

11、一闭子区间，（证明在上有上界）取.因为凸函数,所以其中.故在上有上界；（证明在上有下界）记为的中点,则,有关于的对称点,因为为凸函数,所以,从而有,即是在上的下界.例2 设是区间内的凸函数,试证：在上的任一内闭区间上满足条件.证明 要证明在区间上满足条件,即要证明：使得有 （3）因为, ,使得,若取.由凹函数的性质,有其中分别表示在上的上下界,从而 （4）若可取由的凸性,有 从而由此可知(4)式成立.若,则（4）式明显成立.这就证明了（4）式对一切皆成立.因此（4）式当与互换位置也成立,故有,令则（3）式也获证.例3 设为区间内的凸函数,并且有界,试证明极限 与存在.证明 设时为内任意三点,根

12、据的凸性当x递增时也递增.又因为,根据单调有界原理,有极限,从而亦存在.例4设是区间上连续的凸函数.试证:,有.证明 令 则 (5)同理,令,亦有从而 （6)其中与关于中点对称.由于是凸函数,故由（6）式得另外,由（5）式,应用的凸性4.2 利用凸函数的性质证明不等式例 5 设及则有不等式成立：当且仅当与成正比例时等号成立.证明 取,因为,所以在上为凸函数,由定理7的推论9得:即,亦即令则有,于是有令,则有当与成正比例时,即 (为正常数,)当与不成正比例时,不全相等,又因为在为严格凸函数,故严格不等式成立.例6应用不等式证明：设,有 证明 取函数,.由是区间上严格凹函数,则对及1. ,则上式等

13、号成立；2.若不全相等,则由不等式 （7）即 （8）即因为在上单调递增,综合（7）（8）结论得,命题成立.5 小结凸函数的性质及其应用还有很多方面值得探讨,例如利用凸函数的性质验证级数的敛散性,广义凸函数求极值等问题,由于篇幅有限没能一一介绍,在以后的研究中还需不断探索和完善.致谢 本文是在彭定忠老师的指导和帮助下完成的, 谢谢老师,老师您辛苦了!参考文献1华东师范大学数学系, 数学分析M. 北京:高等教育出版社, 1980.2 裘兆泰. 数学分析学习指导M. 北京: 科学出版社,2004.3 徐利治. 大学数学解题法诠释第一版M. 安徽：教育出版社,1999.4 徐利治. 数学分析的方法和例

14、题选讲M. 北京:高等教育出版社,1984.5 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法M. 北京:高等教育出版社,1988.6 张从军. 数学分析M. 安徽:安徽大学出版社, 2000.7 欧阳光中,姚允龙. 数学分析概要二十讲M. 上海：复旦大学出版社,1999.8 张筑生. 数学分析新讲M. 北京：北京大学出版社,1991.9 华东师范大学数学系. 数学分析第三版M. 北京:高等教育出版社,2001.10刘国华等, 关于凸函数的八个等价定义J. 河北建筑科技学院学报, 2003, 20(3):82-83.11俞文辉, 凸函数不同定义间的关系及其应用J. 南昌高专学报, 2005, 60(5):112-113.12郭素霞, 关于凸函数定义的讨论J. 衡水师专学报, 2000, 2(4):49-52.13钟伟等, 凸函数的几种不同定义及应用J. 九江学院学报, 2007, 11(3):74-77.14刘鸿基,