巴特沃斯滤波器实用教案

1、本节内容本节内容(nirng)：1.1.模拟滤波器的设计总述；模拟滤波器的设计总述；2.2.巴特沃斯低通滤波器的设计原理；巴特沃斯低通滤波器的设计原理；3.3.关于关于(guny)(guny)巴特沃斯低通滤波器设计的例题；巴特沃斯低通滤波器设计的例题；第1页/共28页第一页，共29页。I. 模拟(mn)滤波器的设计总述 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干(rugn)典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表

2、供设计人员使用。 第2页/共28页第二页，共29页。 典型滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器:具有单 调下降的幅频特性；切比雪夫（Chebyshev）滤波器：幅频特性在通带或阻带有波动，可提高(t go)选择性；贝塞尔（Bessel）滤波器：通带内有较好的线性相位；椭圆（Ellipse）滤波器：选择性最好，但相位特性的非线性严重。第3页/共28页第三页，共29页。选频型模拟滤波器按频率特性可分为低通，高选频型模拟滤波器按频率特性可分为低通，高通，带通和带阻滤波器。它们通，带通和带阻滤波器。它们(t men)的理想的理想幅频特性如图所示：幅频特性如图所示：)(jaH低通带通带阻高通)

3、(jaH)(jaH)(jaH000c 图6.2.1 各种( zhn)理想滤波器的幅频特性 第4页/共28页第四页，共29页。模拟滤波器设计模拟滤波器设计(shj)(shj)指标指标 图6.1.1 典型模拟低通滤波器幅频特性及其指标(zhbio)描述第5页/共28页第五页，共29页。 滤波器的技术指标给定后，需要设计滤波器的技术指标给定后，需要设计(shj)(shj)一个传输函数一个传输函数Ha(s)Ha(s)，希望其，希望其幅度平方函数满足给定的技术指标，一幅度平方函数满足给定的技术指标，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.6) 2()( )()()

4、()aasjaaHjHs GsHjHj 2()( )()()()aasjaaHjHs GsHjHj 第6页/共28页第六页，共29页。 Butterworth低通滤波器具有通带最平幅度逼近特性，是一全极点型滤波器，且极点均匀分布上c的圆上,并且与虚轴对称。其最主要特点：在通带内，幅频最平坦，随着频率(pnl)的升高而单调下降。其幅度平方函数为 II.巴特沃斯低通滤波器的设计(shj)原理221()1()aNcHj(6.2.7) 第7页/共28页第七页，共29页。在=c=c附近，随加大，幅度迅速(xn s)(xn s)下降，幅度特性与和N N的关系如下图所示： 图6.2.3 巴特沃斯幅度特性(t

5、xng)和N的关系 幅度下降(xijing)(xijing)的速度与阶数N N有 关， N N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降(xijing)(xijing)的速度愈快，总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。第8页/共28页第八页，共29页。 将幅度平方将幅度平方(pngfng)(pngfng)函数函数|Ha(j)|2|Ha(j)|2写成写成s s的函数：的函数： 21( )()1()aaNcHs Hssj(6.2.8) 此式表明幅度平方(pngfng)函数有2N个极点，极点sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje (6.2.9) k=0,1,2,

6、3k=0,1,2,3，2N-12N-1。 当当N=3N=3时：时：第9页/共28页第九页，共29页。图6.2.4 三阶(sn ji)巴特沃斯滤波器极点分布 极点在极点在s s平面呈象限平面呈象限(xingxin)(xingxin)对称，分布对称，分布在在ButtterworthButtterworth圆上，圆上，共共2N2N点点 极点极点(jdin)(jdin)间的角度间隔为间的角度间隔为/ N / N radrad第10页/共28页第十页，共29页。 为形成因果稳定(wndng)的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s

7、)的表示式为10( )()NcaNkkHsss(6.2.10) 第11页/共28页第十一页，共29页。23012321334135jccjcjccjcsessesesse 取s平面左半平面的极点(jdin)s0,s1,s2组成Ha(s)： 32233( )()()()aajjcccH sssseg：设N=3，极点有6个，它们(t men)分别为23012321334135jccjcjccjcsessesesse 23012321334135jccjcjccjcsessesesse 第12页/共28页第十二页，共29页。 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计(shj)统一，将所有的频率归一化。这

8、里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 G(s/c) 令=/c，p=s/c=j/c,称为归一化频率；p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101( )()aNkkccHsss(6.2.11) 101( )()aNkkHppp(6.2.12) G第13页/共28页第十三页，共29页。 式中，pk为归一化极点( jdin)，用下式表示： 121()22,0,1,1kjNkpekN(6.2.13)显然(xinrn)， Sk=cpk(6.2.14) 这样，只要根据技术指标求出阶数N，再求出N个极点(jdin)Pk，按照(6.2.12)得到归一化低通原型系统函数Ga(p)

9、,若给定c,再去归一化，即将p=s/c代入Gs(p)中(或求出Sk),便得到期望设计的系统函数Ha(s)。第14页/共28页第十四页，共29页。将极点表达式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到(d do)Ga(p)的分母是p的N阶多项式，如下：归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk，K=0,1,2,N-1，以及极点Pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中还给出了Ga(p)的因式分解形式(xngsh)中的各系数，这样只要求出阶数N，查表就可以得到Ga(p)及各极点，而且还可以选择级联型和直连型结构的系统函数表示形式(xngsh)，避免了因式分解的运算工作。 bpbpbpbppGNNNNN

10、a0122111 (6.2.15)第15页/共28页第十五页，共29页。表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数(cnsh) 第16页/共28页第十六页，共29页。第17页/共28页第十七页，共29页。第18页/共28页第十八页，共29页。 将=s代入(6.2.7)式中，再将|Ha(js)|2代入(6.2.3)式中，得到(d do)：(6.2.16) (6.2.17) 由(6.2.9)和(6.2.10)可知，只要求出巴特沃斯滤波器的阶数N和3dB截止频率c，就可求出滤波器的系统(xtng)函数Ha(s)，故，巴特沃斯滤波器的设计实质就是根据设计指标求阶数N和3dB截止频率c的过程。下面先介绍

11、阶数N的确定方法。/10/10221()101()10psapNcaNsc 阶数N的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过渡带，阻带的幅度下降速度,它由技术指标p，p，s和s确定(qudng)。将=p代入幅度平方函数(6.2.7)中,再将幅度平方函数|Ha(js)|2代入(6.2.2)中，得到：/10/10221()101()10psapNcaNsc第19页/共28页第十九页，共29页。 由(6.2.16)和(6.2.17)式得到(d do)：1010101/,101psaspspspak /10/10101()101psapNas令1010101/,101psaspspspak 则N由下式表

12、示(biosh)： lglgspspkN (6.2.18c) (6.2.18a) (6.2.18b) lglgspspkN 第20页/共28页第二十页，共29页。 用上式求出的N可能有小数(xiosh)部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出，由(6.2.16)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 由(6.2.17)式得到(d do)： (6.2.19)(6.2.20) 通带指标(zhbio)刚好满足要求，阻带指标(zhbio)有富余阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余10

13、.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 第21页/共28页第二十一页，共29页。 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计(shj)步骤如下：(1)根据技术指标p,p,s和s,用 (6.2.18)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.13)式,求出归一化极点 pk,将 pk代入(6.2.12)式,得到归一化低通原型 系统函数Ga(p)。 (3)将Ga(p)去归一化。将p=s/c代入Ga(p), 得到实际的滤波器系统函数Ha(s): Ha(s)= Ga(p)| p=s/c第22页/共28页第二十二页，共29页。 例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB

14、，阻带(z di)截止频率fs=12kHz，阻带(z di)最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg 2.4psaspassppkffNN 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN III.III.关于关于(guny)(guny)巴特沃斯低通滤波器设计的例题巴特沃斯低通滤波器设计的例题0.10.11010.024210122.42lg 0.02424.25,5lg 2.4psaspassppkf

15、fNN 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg 2.4psaspassppkffNN 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg 2.4psaspassppkffNN 第23页/共28页第二十三页，共29页。 (2) 按照(nzho)(6.2.13)式，其极点pK为3455016523754,jjjjjsesesesese按照(6.2.12)式，归一化传输(chun sh)函数为401( )()akkHppp第24页/共28页第二十四页，共29页。 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起(yq)，形成因

16、式分解形式。 5432432101( )aHppb pb pb pb pbG G极点(jdin)(jdin)：-0.3090-0.3090j0.9511;-0.8090j0.9511;-0.8090j0.5878;-1.0000j0.5878;-1.0000五阶多项式这里不如直接(zhji)(zhji)查表6.2.16.2.1简单，由N=5N=5，直接(zhji)(zhji)查表得到：式中：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361第25页/

17、共28页第二十五页，共29页。(3) (3) 为将Ha(p)Ha(p)去归一化，先求3dB3dB截止频率cc。 按照(nzho)(6.2.19)(nzho)(6.2.19)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 将c代入(6.2.20)式，得到(d do)： 将p=s/c代入Ga(p)中得到(d do)：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsbG G10.1210.12(101)2 5.2755/(101)2 10.525/psaNcpaNsckrad skrad s 第26页/共28页第二十六页，共29页。THANK