中考解直角三角形知识点整理复习

1、Þ中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、 直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：90 ° 90°1、 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。2、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方B弦ca勾Ab股C勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直

2、角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为 c）；222，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）（2）若 c2a2b2，则是以C 为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1） 已知直角三角形的两边求第三边。（2） 已知直角三角形

3、的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。n的线段（4）利用勾股定理，作出长为考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在中，90°锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为，即sinA =ÐA的对边 a =斜边 c锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记为，即cos A=ÐA的邻边 b =斜边 c锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记为，即tan A =ÐA的对边 a =ÐA的邻边 b锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记为，即cot A=ÐA的邻边 b =ÐA的对边 a2、锐角三角函数的概

4、念锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值 三角函数30° 45° 60°123123322221132123334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：(90°A)，(90°A) ；（2）平方关系：sin2A +cos2A =1（3）倒数关系：(90°A)=1sin A（4）商（弦切）关系：cos A5、锐角三角函数的增减性当角度在 0°90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3

5、）正切值随着角 度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做 解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在中，90°，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）（2） 锐角之间的关系：90°（3） 边角之间的关系：正弦，余弦，正切(4) 面积公式：上的高）（为 c 边h l ia2考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直

6、角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解 2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角 ：视线在水平线下方的角。铅垂线视线仰角俯角水平线hi = h : l视线l(2)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度 (坡比)。用字母 表示，即i=hl。坡度一般写成1: m 的形式，如 i =1:5 等。把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么i=hl=tana。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，、的方向角分别是： 45 °、135°、225°。解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）

7、1、解直角三角形的类型与解法已知、解法三角已知条件解法步骤类型B两两直角边（如 a，b）斜边，一直角边（如 c，a）由 A，求A；B90°A，c由 A，求A；B90°A，b2a+bc 2 - a 22c边a一锐角，邻边B90°A，ab· A，cA b C边一角边（如A，b）一角和一锐角锐角，对边 （如A，a）B90°A，b，c斜边，锐角（如 c，A）2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度B90°A，ac· A， bc· A数学模型所用应测数据数量关系根据工具原理iix1，x2x1ax侧倾、ia&#

8、183;直角三角器皮尺水平距离 aia +xix形的边角ia·关系ax2)测量底部可以到达的物体的高度11数学模型所用应测数据数量关系根据工具原理a1a2镜子a3h皮尺镜子目高 a1 水平距离 a水平距离 a23ha3a1a2，ha a1 3a2反射定律ha3a1a2皮尺标杆标杆高 a1 标杆影长 a物体影长 a23ha1aa32a a1 3a2同一时刻物高与影长成正比h侧倾器高 a1h a1a2,矩形的性质和直角三角 形的边角关系a1a2皮尺水平距离 a 倾斜角2ha a 1 2h1侧倾器a1h2h仰角俯角h , a1hh h a （） 1 2 1h2a1矩形的性质和直角三角 形的

9、边角关系水平距离 a13）测量底部不可到达的物体的高度（1）数学模型所用工应测数据数量关系根据具理论h1h仰角h ， xax俯角hah aaa(1)1x高度 a矩形的性质和直角三 皮尺侧倾器, ax角形的边角关系a俯角俯角x haxh高度测量底部不可到达的物体的高度（2）数字模型所用应测距离数量关系根据工具原理Ah1a +x1h1x h1h仰角，仰角h 1a tan atan b 1tan b-tan aa2a1x水平距离 a 侧倾器高 a12ha h a 2 1 2a tan atan1tan b-tanba皮尺侧倾, h, 、h矩形的性质和h1器仰角直角三角形的axah仰角高度 a边角关系

10、仰角仰角, h xh高度 a第三部分 真题分类汇编详解 2007-2012（2007）19（本小题满分 6 分）一艘轮船自西向东航行，在 A 处测得东偏北 21 .3°方向有一座小岛 C，继续向东航行 60 海里到达 B 处，测得小岛 C 此时在轮船的东偏北 63.5°方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛 C 最近？（参考数据：21.3°925，21.3°25， 63.5°910，63.5°2）北C东A B（2008）19（本小题满分 6 分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，

11、其中，AB表示窗户，且AB=2 米， BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线 CD 的最小夹角 a为 18.6 o，最大夹角b为 64.5 o 请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.6o=0.32 ， tan18.6o=0.34 ， sin 64.5o=0.90 ， tan 64.5o=2.1）DbaC（2009）19（本小题满分 6 分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔的高度他们首先从 A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角ÐCFE=21°，然后往塔的方向前进 50

12、米到达 B 处，此时测得仰角ÐCGE =37°，已知测倾器高 1.5 米，请你根据以上数据计算出古塔的高度（参考数据：sin 37°3 3 9 3， tan 37° ， sin 21° ， tan 21° 5 4 25 8）（2010）19（本小题满分 6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦， 80 米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的 窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37°，大厦底部 B 的俯角为 48°求小明家所在居民楼与大厦的距离的长度（结果保留整数）（参考数据：3sin37 o &#

13、187; ，tan37o »53 7 11 ，sin 48o » ，tan48o » 4 10 10）A解：37°DC48°B第 19 题图A（2011）19(6 分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的 40º 减至 35º已知原楼梯长为 5m，调整后的楼梯所占地 面有多长？35º 40ºC B D(结果精确到 0.1m参考数据：40º0.64，40º0.77，35º0.57，35º0.70)（2012）20.（8 分）附历年真题标准答案：（2007

14、）19（本小题满分 6 分）解：过 C 作的垂线，交直线于点 D，得到与ooF设x 海里，CD在中，x ·63.5°BBCC，在中，(60 x)海里，AAD( 60x ) ·21.3° x·63.5°(60x)·21.3°，即2 x =25(60+x)解得，x15答：轮船继续向东航行 15 海里，距离小岛 C 最近 6 （2008）19（本小题满分 6 分）解：设为 x ，在中， ÐBDC =a=18.6 ，tan ÐBDC =BBCC，BC =CD ×tan ÐBDC =0

15、.34x ············ 2在，ÐADC =b=64.5， tan ÐADC =ACCD， AC =CD ×tan ÐADC =2.1xAB =AC -BC ， 2 =2.1x -0.34xx 1.14C答：长约为 1.14 米（2009）19（本小题满分 6 分）解：由题意知CD AD，EF AD， ÐCEF =90°，设 CE =x ，CE CE x 8在 RtCEF 中， tan ÐCFE

16、= ，则 EF = = = x ；EF tan ÐCFE tan 21° 3 CE CE x 4在 RtCEG 中， tan ÐCGE = ，则 GE = = = xGE tan ÐCGE tan 37° 3GA B第 19 题图EDEF=FG +EG，8 4x =50 + x x =37.5 ， CD =CE +ED =37.5 +1.5 =39 3 3（米）答：古塔的高度约是 39 米·············&

17、#183;·············································································