人教版高中数学选修2-1 练习：第三章 3.1 3.1.5 空间向量运算的坐标表示

1、1 1 1x y z1 1 1x y z课时作业A 组基础巩固1已知 a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则 b 等于( )A(2，4,2) C(2,0，2)B(2,4，2) D(2,1，3)解析：ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2 ，1)(2，4,2)，故选 A. 答案：Ax y z2若非零向量 a(x ，y ，z )，b(x ，y ，z )，则 是 a 与 b 同向或反1 1 1 2 2 22 2 2向的( )A充分不必要条件 C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件x y z解析：若 ，则 a 与 b 同向或反向，反之不成立2 2 2答案：A3.以正方体 ABCD-A

2、 B C D 的顶点 D 为坐标原点 O，如图建立空间直角坐标系，1 1 1 1则与DB 共线的向量的坐标可以是( )1A (1， 2， 2)B (1,1， 2)C ( 2， 2， 2)D ( 2， 2，1)解析：设正方体的棱长为 1，则由图可知 D(0,0,0)，B (1,1,1)，1DB (1,1,1)，1与DB 共线的向量的坐标可以是( 2， 2， 2)1答案：C4已知点 A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC 的形状是( )A等腰三角形 C直角三角形B等边三角形 D等腰直角三角形2 2 22 2 22222|a|b| 999ìî1ì

3、;5125 2 10 解析：AB(3,4，8)，AC(5,1，7)，BC(2，3,1)， |AB| 3 4 8 89，|AC| 5 1 7 75， |BC| 22321 14， |AC| |BC| 751489 |AB| .ABC 为直角三角形答案：C5已知向量 a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 为( )65A.A. 652C 4D 8a· b 4解析：cosa，b ，sina，b 1cos a，b149265 65 ，S|a|b|sina，b3×3× 65.答案：B6已知 a(1,0,2)，b(6，21，2)，且 ab，

4、则 _. 解析：ab，atb.16t，í0t 22t.，ït ， íïî.1 1 7 .7答案：107已知点 A(1，1,3)，B(2，2)，C(3，3,9)三点共线，则实 数 _. 解析：AB(1,1， 23)，AC(2，2,6)2ìîìîìîìî 若 A，B，C 三点共线，则ABAC，1 1 23即 ，2 2 6解得 0，0，所以 0.答案：08已知 a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，则|ab2c|_. 解析：a(1,0,1)，b(2，1,1

5、)，c(3,1,0)，ab2c(1,0,1)(2，1,1)(6,2,0)(9,3,0)，|ab2c| 923 90 3 10.答案：3 109已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5) (1)若APBC，且|AP|2 14，求点 P 的坐标； (2)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积 解析：(1)APBC，可设APBC， 又BC(3，2，1)，AP(3，2， )， 又|AP|2 14，2 22 22 14， ±2，AP(6，4，2)或AP(6,4,2)设点 P 的坐标为(x，y，z)，AP(x，y2，z 3)x6，íy24， z32，x6， 解得

6、íy2，z1，x6， 或íy24，z32.x6， 或íy6，z5.故所求点 P 的坐标为(6，2,1)或(6,6,5)14 2|AB|AC|22111 11 22 211 812×2 28 (2)由题中条件可知：AB(2，1,3)，AC(1，3，2) AB· AC 236 7 1cosAB，AC ， 14× 14 3sinAB，AC . 以AB，AC为邻边的平行四边形的面积 3S|AB|AC|sinAB，AC14× 7 3.10.如图，已知正三棱柱 ABC-A B C 的各条棱长都相等，P 为 A B1 1 1 1 上的点，

7、A PA B，且 PCAB.求：(1) 的值；(2) 异面直线 PC 与 AC 所成角的余弦值1解析：(1)设正三棱柱的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标 系，则 A(0，1,0)，B( 3，0,0)，C(0，1,0)，A (0，1,2)，B ( 3，1 10,2)，C (0,1,2)，1 于是AB( 3，1,0)，CA (0，2，2)，A B( 3，1，2)1 1因为 PCAB， 所以CP· AB0，即(CA A P)· AB0，1 1 也即(CA A B)· AB0. CA · AB 1故 .A B· AB1 æ 3 3 &#

8、246; (2)由(1)知CPç ， ，1÷，AC (0,2,2)，è ø CP· AC 32 2cosCP，AC ，|CP|AC |12所以异面直线 PC 与 AC 所成角的余弦值是 .12 22222 62651 1 5B 组能力提升 1已知 A(1,0,0)，B(0， 1,1)，O(0,0,0)，OA OB与OB的夹角为 120°，则 的值为( )A±66B66C66D± 6 解析：OA(1,0,0)，OB(0，1,1)， OAOB(1，)， (OAOB)· OB2， |OAOB| 1 12 ，|O

9、B| 2.cos 120°2 2· 121 1 ， .又2 2· 126<0 ， .答案：C2.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A B C ，CACC 2CB，则1 1 1 1直线 BC 与直线 AB 夹角的余弦值为( )1 1A.55B.53C.2 553D.解析：设|CB |a，则|CA |CC |2a，1A(2a,0,0)，B(0,0，a)，C (0,2a,0)，B (0,2a，a)，1 1 AB (2a,2a，a)，BC (0,2a，a)，1 1 AB · BC 5cosAB ，BC ，故选 A.1 1|AB |BC |1

10、1答案：A3若 A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，则|AB|的取值范围是_解析：|AB|æ 1 3ö5 52225 5 55 5 52 2 2525 5555 55522522222525 52cos 22sin 2 2 94cos sin sin 13，1 |AB|5.答案：1,54已知 a(1,2,3)，b(3,0，1)，cç ，1， ÷，给出下列等式：è ø|abc|a bc|；(ab)· ca·(bc)；(abc)ab2c；(a· b)· ca·

11、;(b· c)其中正确的等式是_(只填序号)19 7 1解析：对，abc( ，3， ) (19,15,7)， 9 23 1abc( ，1， ) (9,5,23)，|abc|15119 15 7 635，|abc|1525223 15635.正确1 3对，(ab)· c(4,2,2)·( ，1， )2 2 (2,1,1)·(1,5，3) ×2×(1)1×51×(3)0，14 8a·(bc)(1,2,3)·( ，1， )1 (1,2,3)·(14,5，8)1 1×142×

12、;53×(8) 0，正确127对，(abc) |abc| ，a2b2c1223 3202(1)1( )123 127 ( ) ，4æ 1ö æ1 1 ö æ 3 ö22 241 æ 3 ö41æ 1 ö4 æ1 1 ö æ 1ö æ1 1 1ö2 222 2 242 1 1 æ 1ö æ 1ö4281 1717æ1 1 ö æ 7 1ö2 28 2

13、 æ 1 3 1ö2 8 2ç ÷222282正确对，(a· b)· c0· c0，a·(b· c)(1,2,3)×00，正确答案：5在棱长为 1 的正方体 ABCD-A B C D 中，E，F 分别是 D D，BD 的中点，G1 1 1 1 11在棱 CD 上，且 CG CD，H 为 C G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：1(1)求 EF 与 C G 所成角的余弦值；1(2)求 FH 的长解析：如图所示，建立空间直角坐标系 D-xyz，D 为坐标原点，则有 Eç0，0， &#

14、247;，Fç， ，0÷，C(0,1,0)，C (0,1,1)，Gç0， ，0÷.è ø è ø è ø(1)因为C Gç0， ，0÷(0,1,1)è øç0， ，1÷，è øEFç， ，0÷ç0，0， ÷ç， ， ÷.è ø è ø è ø 17 3所以|C G| ，|EF| ，1EF·

15、 C G ×0 ×ç ÷ç÷×(1)1 2 2 è ø è ø3 . EF· C G 51所以 cosEF，C G .1|EF|C G|151即异面直线 EF 与 C G 所成角的余弦值为 .1(2)因为 Fç， ，0÷，Hç0， ， ÷，è ø è ø所以FHç ， ， ÷，è ø 所以|FH|æ 1ö æ3ö &#

16、230;1ö 41 ç÷ç÷ ，è ø èø èø 882æ 1ö æ1 3 ö22 2 æ 1ö225|AC|PB|41即 FH 的长为 .6.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，BAD90°，ABDC，PA底面 ABCD，且 PAAD1DC AB1.(1) 证明：平面 PAD平面 PCD；(2) 设 AB，PA，BC 的中点依次为 M、N、T，求证：PB平面 MNT； (3)求异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值解析：BAD90°且 PA底面 ABCD，以 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AP 为 x，y，z 轴建立如图所示坐标系A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，D(1,0,0)，C(1，1,0)，M(0,1,0)，Nç0，0， ÷，Tç， ，0÷.è ø è ø (1)证明：DC(0,1,0)，AD(1,0,0)，AP(0,0,1) DC· AD0，DC&#