【2019秋季课程北师大版初二数学】第17讲：三角形内角和定理_教案

1、第17讲三角形内角和定理Q ¢-囱1WWWJDUIlJCNJr本讲作者李卫红（修订）涂珍（审核）!适用学科j初中数学I适用年级j初二I适用区域i北师版区域i课时时长（分钟）i120I知识点I( )1. 三角形内角和定理；2. 三角形内角和定理的推论；3. 三角形内角和定理与推论与折叠、旋转、动态几何问题综合；I4. 三角形内角和定理及推论的综合及探究题。!教学目标1. 经历实践活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理；2. 能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题；3. 帮助学生树立几何知识源于客观实际的观念，激发学生学习的兴趣。I"-I教学重

2、点1I*三角形的内角和定理。i教学难点I三角形的内角和定理推理的过程。【教学建议】本节课经历证明三角形内角和定理及其推论的过程，发展推理过程，使学生熟悉辅助线的添加方法; 通过多种方法证明三角形内角和定理，提高学生一题多解的能力【知识导图】教学过程一、导入我们在小学就已经知道三角形的内角和等于180° ,这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？二、知识讲解知识点1三角形内角和定理及证明、三角形内角和定理的证明 回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？1.在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码2.让学生动手把一个三角形的两个角剪下来拼在第三个角的顶点处

3、，用量角器量出 BCD的度数，可得到A+ B+ ACB=180Q 63WIfVWJDUI JCN，AB / CM从而可得到 A+ B+ ACB=1804.把 2和 3剪下按下图所示拼在一起，用量角器量一量 MAN勺度数，会得到什么结果？如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢已知 ABC求证： A+ B+ C=180° .证明：过点C作CEIl AB,并作线段 BC的延长线 CD,则 A= ACE, B= DCE.又 ACB+ ACE+ DCE=180 , A+ B+ ACB=180 .即:三角形的内角和等于 180° .知识点2 三角形内

4、角和定理的推论Q 6#IDUlJCN问题2 :任意一个 ABC的一个外角 ACD与 A B的大小会有什么关系呢?由学生归纳得出:Jr推论1 :三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2 :三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.例1、已知： BAF CBD ACE是厶ABC的三个外角.求证： BAF+ CBD+ ACE=360分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证.证明：（略）.例 2、已知：D是 AB上一点,E 是 AC上一点，BE CD相交于 F, A=62° ACD=35 , ABE=20 .求: （1） BDC度数；（2） BFD度数.解：（略）

5、.三、例题精析类型一三角形内角和定理:例题1【题干】一个三角形三个内角的度数之比为2 : 3： 7,这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形【答案】D【解析】 本题主要考查三角形的内角和定理类型二 三角形内角和定理的推论例题1【题干】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则1+ 2=度。【解析】 本题主要考查三角形的内角和定理的推论类型三 三角形内角和定理与推论与折叠、旋转、动态几何问题综合例题1【题干】如图，在折纸活动中，小明制作了一张 ABC纸片，点D E分别是边AB AC上，将 ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若 A=

6、75,则1+ 2=Q 67WWWJDUilJCN【答案】150【解析】 综合考查三角形的内、外角和 四、课堂运用基础1.如图，在 ABC中， B=67， C=33， AD是厶ABC的角平分线，则 CAD的度数为（）A. 30°B . 35° C . 40° D . 50°【答案】C【解析】 本题主要考查三角形的内角和定理2.如图，直线a/ b, 块含60°角的直角三角板ABC（Z A= 60° ）按如图所示放置.若 Z 1 = 55,则Z2的度数为（）B.110 °C.115D.120°A.105则 A与 1 ,

7、2之间的数量关系是() A=2 ( 1+ 2)【答案】C【解析】 本题主要考查三角形的内角和定理的推论3.如图，把厶ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时,A. A= 1+ 2 B. A= 2- 1 C.2 A= 1 + 2 D.31【答案】 A= ( 1 + 2).2【解析】 设 AED=X , ADE=y ,则 1=(180-2x) ° ， 2=(180 -2y) ° ,1由得,x=(90 - - 1),21由得，y=(90 - 2).2111 A=180-x-y=180-(90- 1)-(90- 2)=( 1 + 2)2221结论为： A= ( 1+ 2

8、).2巩固1.如图，点O是厶ABC的两条角平分线的交点,若 BOC=118A的大小是I【答案】56【解析】 本题主要考查三角形内角和定理 BOC中, BOC=118 , 1 + 2=180° -118° =62°JL Bo和CO> ABC的角平分线， ABC+ ACB=2( 1 + 2)=2 × 62° =124°在厶ABC中， ABC+ ACB=124 , A=180 -( ABC+ ACB)=180 -124° =56°故答案为：56°.2.如图，丨 / m , 1 = 120°, A

9、= 55° ,则 ACB的大小是 【答案】65【解析】 本题主要考查三角形内角和定理的推论3.如图，把厶ABC绕点C顺时针旋转 25° ,得到 A B' CA B'交 AC于点D,若 A DC=90 ,则【答案】65°【解析】 ABC绕点C顺时针旋转25° ,得到 A B' C, ACA =25°,又 A DC=90 , A =90° -25° =65°, A=65.故答案为65°拔高1. 如图,A点在B处的北偏东40°方向,C点在B处的北偏东85°方向，A点在

10、C处的北偏西45°方向，求【解析】 DBA=40 , DBC=85 ,DB/ CE, ECB=180 -85° =95° , ABC=85 -40° =45°, ECA=45 , BCA=95 -45° =50°, BAC=180 -50° -45° =85°。2.如图，点D在厶ABC边BC的延长线上，CE平分 ACD A= 80°, B= 40°,则 ACE的大小是【答案】60【解析】 本题主要考查三角形内角和定理的推论3.如图，在厶ABC中， ACB=90 , A=50&

11、#176;,将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD则 EDB=Q 6#WWWJDUlJCNIr【解析】 ACB=90 , A=50°. B=90o - A=90° -50° =40° CDE是厶CDA翻折得到，. CED=/ A=50°,在 BDE 中， CED B+ EDB即 50° =40° + EDB. EDB=10 .故答案为：10°课堂小结本节讲了 2个重要内容：1. 三角形的内角和2. 三角形内角和的推论.拓展延伸P基础1.如图，Rt ABC中， ACB=90 , DE过点C且平行于 AB若 BC

12、E=35 ,则A 的度数为（）A. 35° B.45° C. 55° D. 65°WWWJUXJilXN【答案】C【解析】 本题主要考查三角形的内角和 AB/ DE BCE=35 , B= BCE=35 （两直线平行，内错角相等），又 ACB=90 , A=90° -35° =55° （在直角三角形中,两个锐角互余）.故选C.2.如图，AB/ CD A=45, C=28 ,则 AEC的大小为（）A.17 °B.62°C.63°D.73°【解析】 本题主要考查三角形的外角和3.如图，在

13、Rt ACB中， ACB=90 , A=25 , D是AB上一点.将 Rt ABC沿CD折叠，使 B点落在 AC边上的B'处，则 ADB等于 .【答案】50【解析】 本题主要考查三角形的内角和巩固1.如图，将一块含有 30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果 2= 60°,那么Q 6#WWWJDUnJCN1的度数为()A.60 °B.50 °C.40 ° D.30 °【解析】 本题主要考查三角形内角和及平行线的性质2. 我们知道，三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和请利用这条定理解决下列问题：如图，1

14、= 2= 3.(1) 试说明 BAC=/ DEF.(2) 若 BAC=70 , DFE=50 ,求 ABC的度数.【答案】 证明：在厶ACE中， DEF=Z 3+ CAE 仁 3, DEF=Z 1 + CAE玄 BAC即 BACN DEF;(2)在厶 BCF 中， DFE=Z 2+ BCF 2= 3, DFE=Z 3+ BCF即 DFE=Z ACB BAC=70 , Z DFE=50 ,在厶 ABC 中，Z ABC=180 - Z BA(C Z ACB=180 -70° -50° =60°【解析】见答案Q 613WWWJDUlJCNJc3.如图， BAP+ APD

15、=180 , 1 = 2 ,求证： E= F.1BECP【答案】证明： BAP+ APD=180 （已知）， AB/ CD同旁内角互补,两直线平行）. BAP=Z APC（W直线平行,内错角相等）.又仁 2（已知）， FPA= EAP, AE/ PF（内错角相等，两直线平行）. E= F（两直线平行，内错角相等）.【解析】见答案拔高1.如图,在厶ABC中,D、E分别是 AB AC上的点，点F在BC的延长线上，DE/ BC, A=46° , 仁52° ,则2=度。AA%4Z/8CP【答案】98°【解析】 DEC> ADE的外角, A=46 , 仁52°

16、;, DEC=/ A+ 仁46° +52° =98° DE/ BC,Q ® 615WWWJDUilJCNCG屋Il-tBF垂直于直线AH垂直于直线并证明【答案】CCER ACB=90CAD=L CBD=45CAEN BCG又BF CECBGL BCF=90 ACE玄 CBG在厶AEC和厶CGB中 AEC CGB(ASA)AE=CG14Q 6D屋Il(1)直线(2)直线 CAE=Z BCG AC=BC ACEL CBGCD AB, ACD=/ BCD=452.已知：在厶ABC中，AC=BC ACB=90 ,点 D是AB的中点，点 E是AB边上一点CE于点F

17、,交CD于点G (如图)，求证： AE=CG(1)证明：I点D是AB中点CE垂足为点H ,交CD的延长线于点M(如图)，找出图中与 BE相等的线段又 ACE+ BCF=90縊手穴教肓XUedOXom(2)BE=CM.证明： CH HM CDL ED, CMA MCH=9° , BEC+ MCH=9° , CMA BEC又 ACMCBE=45 ,在 BCE和 CAM中， BEC玄 CMA ACM CBE BC=AC BCE CAM(AAS) BE=CM.【解析】见答案3. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题。1探究1:如图1,在厶ABC中，0

18、是 ABC与 ACB的平分线Bo和Co的交点，通过分析发现 BOC=90 + 2A,理由如下： BO和CO分别是 ABC和 ACB的角平分线11 1= ABq 2= ACB221 1 + 2=( ABC+ ACB)2又 ABC+ ACB=180 - A11 1 + 2=(180 ° - A)=90° - A,221 BOC=180 -( 1 + 2)=180 ° -(90 ° - A)21=90° + A2探究2:如图2中，O是 ABC与外角 ACD的平分线BO和CO的交点，试分析 BOC A有怎样的关系？请 说明理由。探究3:如图3中，O是外角 DBC与外角 ECB的平分线BO和CO的交点，则 BOC A有怎样的关系?(只 写结论，不需证明)结论：.Q 619WWWJDUlJCN【答案】1(1)